Задача
Раздел
Темы
Сложность
Голосов еще нет
Автор
08.04.2010, 09:20 (Сурен Аванян)
26.05.2015, 17:25
26.05.2015, 17:25
(0)
Г-н Хухры-Мухры продолжает поиски нечистых наруку монополистов.
На этот раз он зашёл в гости к г-ну Стану. Г-н Стан, всё также производит свои орешки.
-Мне нужно знать какова выручка в точке максимальной прибыли - грозно воскликнул Хухры-Мухры
-Ничем не могу помочь - мило ответил Стан, хотя вот возьмите.
Г-н Стан дал Хухре-Мухре листочек А4 , на котором было нарисовано:
-Здесь всё точно нарисовано.
-Ладно и не с таким сталкивались - гордо сказал Хухры-Мухры.
По слухам, ему было известно, что спрос обладает постоянной эластичностью равной -2 и , что
$MC(Q)=B*Q^\frac{9}{5}$
$\frac{P_2}{Q_2}=6.75$
Помогите Хухре-Мухре справиться с задачей.
На этот раз он зашёл в гости к г-ну Стану. Г-н Стан, всё также производит свои орешки.
-Мне нужно знать какова выручка в точке максимальной прибыли - грозно воскликнул Хухры-Мухры
-Ничем не могу помочь - мило ответил Стан, хотя вот возьмите.
Г-н Стан дал Хухре-Мухре листочек А4 , на котором было нарисовано:
-Здесь всё точно нарисовано.
-Ладно и не с таким сталкивались - гордо сказал Хухры-Мухры.
По слухам, ему было известно, что спрос обладает постоянной эластичностью равной -2 и , что
$MC(Q)=B*Q^\frac{9}{5}$
$\frac{P_2}{Q_2}=6.75$
Помогите Хухре-Мухре справиться с задачей.
Комментарии
Прямая p2 27 и правда касается спроса?
Q=$\frac{a}{(p_0)^2}$ -$\frac{2a}{(p_0)^3}$(p-p_0)=$\frac{3a}{(p_0)^2}$-$\frac{2ap}{(p_0)^3}$
Из графика видно, в каких точках данная прямая прямая пересекает оси. Получаем 2 уравнения:
$\frac{3a}{(p_0)^2}$=27
$\frac{2ap_2}{(p_0)^3}$=$\frac{3a}{(p_0)^2}$
также, по условию нам известно, что $\frac{p_2}{q_2}$=6,75, то есть $\frac{(p_2)^3}{a}$=6,75 если применить уравнение кривой спроса. Решая систему из этих 3 уравнений, находим, что а=2916. Значит Q=$\frac{2916}{p^2}$, MR=$\frac{27}{Q^0,5}$
Дальше я сделал предположение, помогающее найти Q в точке оптимума: т.к. Q^$\frac{9}{5}$ число мягко говоря некрасивое, то коэффициент b должен его "упрощать". Из равенства MR и MC получаем $Q^(23/10)$b=27 и тут уже подбором и учитывая, что Q<27 и Q>4 согласно графику, находим, что Q=9, отсюда находим Q=162.
Как я уже сказал основная часть решения строится на догадке, так что назвать это полным решением, которое можно применить на олимпиаде я не могу) Так что буду благодарен, если кто-нибудь выложет полностью обоснованное решение.
Дима в правильном направлении копает)
(Pопт/P2-Pопт)=2 => Pопт=18.
1)обозначим $P_2$ за М (мне так удобнее)
подставим в отношение цены к кол-ву =6.75 и функцию спроса.
Отсюда следует , что M^3=6.75A
2)В точке касания йункции равны и их производные равны , отсюда выведем систему , решим ее , узнаем , что в точке касания P=18 , Q=9 , М=27.
3)Подставим М в уравнение выше и найдем А (54^2)
4)из функции спроса выведем функцию совокупной выручки.
5)Любым удобным способом (индексом Лернера или путем максимизацией прибыли)
найдем отношение цены к МС в точке оптимума , оно равно 2)
6)Видим , что данному условию на графике удовлетворяет лишь одна точка , которая лежит в середине перпендикуляра на ось Q , опущенного из точки касания.
7)про эту точку мы все знаем , в ней Q=9 , подставим в функцию совокупной выручки и получим ответ
CTRL+PrintScreen , вставь картинку в Paint или фото*оп, и там подправь , что тебе надо)
А как вам такой ход: MR = MC; P=2MC => находим B, получаем MC=27/2?:)
МС=9 я имел ввиду.
Да при оптимальном выпуске всё)
1) Проводим касательную, через геометрический смысл эластичности находим Q=9.
2) Пусть точка K имеет координаты (9;P1), тогда должно выполняться
P1/(P2-P1)=2, получаем, что P1=P2/1.5, зная, что P2/Q2=6.75, получим, что P1/Q2=4.5.
3) Опять же замечаем,что ку равное девяти является точкой оптимума, так как в ней цена в 2 раза больше предельных издержек.
4) Теперь можем составить два очень простых уравнения, подставив две точки, (перед этим всё выразив через P1 и a) и сразу найдя P1=18, даже не находя а).
Если бы я написал в условии, что Хухры-Мухры не знает алгебру, но знает геометрию, что бы вы делали?))
В смысле он бы прошёл, а не мы)