Диалог об эластичности

— Отличная погодка сегодня! – воскликнул Оптимист, заходя в отдел продаж.
— Днем обещают дожди... – ответил Пессимист.
— В этом месяце объем продаж нашего товара вырос, и это при том, что функция спроса на него осталась прежней! – радовался Оптимист.
— Еще бы, мы ведь снизили цены. Те же единицы продукции, что еще месяц назад мы продавали по более высокой цене, в этом месяце пошли в продажу по сниженной цене, и на этом мы потеряли часть выручки, – возразил Пессимист.
В олимпиадах: 
Заключительный этап ВОШ — 2016

Налоги на заработную плату (10 класс)

При обсуждении местного бюджета между представителями разных политических партий возникли дебаты по вопросам регулирования рынка труда. Депутатам нужно было принять непопулярное решение о введение налога в размере 3 ден. ед. Одна политическая партия, защищающая интересы работников, предлагала ввести налог, который должен выплачивать работодатель за каждого работника в размере 3 ден. ед. Депутаты, представляющие интересы предпринимателей, настаивали на введении налога на заработную плату, выплачиваемого каждым работником, в размере 3 ден. ед.
В олимпиадах: 
Высшая проба (Олимпиада ВШЭ) — 2015

Эластичность спроса по цене

Кривая спроса имеет вид P = 19 – Q2 .
1) Найти эластичность спроса при цене 8.5 ден. ед..
2) Найти значение эластичности в середине доступных объемов продаж.
3) Найти цену и объем покупок при эластичности, равной единице.

Амбициозный альтруист

Ученик Иван готов заниматься только двумя вещами: рассказывать, чего он добился сейчас(о достижениях), и рассказывать, чего он добьется в будущем(о планах). Планов у него гораздо больше, чем достижений, там что говорить о будущем он может гораздо больше. График его альтернативных издержек рассказа о достижениях имеет вид $y=4x^3$, где x - количество рассказов о достижениях, а y - альтернативные издержки (в рассказах о планах). Как известно, Ивана хватает максимум на 10 рассказов о его достижениях, причем у него не остается сил на рассказы о планах.

Продажи в понедельник

В понедельник фирма продала 10 единиц продукции по цене 100 руб. за единицу. Во вторник, снизив цену на свою продукцию, фирма продала 11 единиц, что привело к увеличению её прибыли на 25 руб.

Определите, на сколько руб. фирма снизила цену, если затраты фирмы на производство и продажу каждой единицы продукции постоянны и равны 20 руб.

В олимпиадах: 
Высшая проба (Олимпиада ВШЭ) — 2011

Хитрая эластичность

Дан график средней прибыли.

Интересный факт: модуль тангенса угла наклона касательной к точке с эластичностью равной 1 в 2 раза больше, чем модуль тангенса угла наклона касательной к точке с эластичностью равной -1.
(Рассматривается эластичность средней прибыли по количеству)

Найдите оптимальный объём производства.

Куда пропали подарки от ILE?

Однажды щедрый Король Всеросса решил порадовать своих подданных великими дарами. Он распорядился, чтобы сразу после олимпиады всем юным экономистам раздали его подарки. Однако лишь единицы стали обладателями даров. Оказалось, что злая Ворона украла всё, что предназначалось олимпиадникам и начала продавать захваченные подарки. Вскоре она смогла составить спрос на свой товар, и его функция оказалась линейно заданной. Безусловно, Король Всеросса возмутился подобным положением дел, и начал настаивать на том, чтобы Ворона вернула все дары.
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

8.4 Эластичность спроса по доходу

Коэффициент эластичности спроса по доходу показывает, на сколько процентов изменится количество приобретаемого товара, при изменении дохода покупателя на один процент.

$E={\dfrac{Q_{2}-Q_{1}}{I_{2}-I_{n1}}} \cdot {\dfrac{I_{1}}{Q_{1}}}$
$E=Q'(I) \cdot {\dfrac{I}{Q}}$
$E={\dfrac{Q_{2}-Q_{1}}{I_{2}-I_{1}}} \cdot {\dfrac{I_{2}+I_{1}}{Q_{2}+Q_{1}}}$

Если $E$ принадлежит:

8.3 Перекрестная эластичность спроса - эластичность спроса по цене другого товара

Коэффициент перекрестной эластичности показывает, на сколько процентов изменится объем спроса одного товара при увеличении цены другого на один процент:

$E={\dfrac{Q_{i2}-Q_{i1}}{P_{n2}-P_{n1}}} \cdot {\dfrac{P_{n1}}{Q_{i1}}}$
$E=Q_{i}'(P_n) \cdot {\dfrac{P_n}{Q_i}}$
$E={\dfrac{Q_{i2}-Q_{i1}}{P_{n2}-P_{n1}}} \cdot {\dfrac{P_{n2}+P_{n1}}{Q_{n2}+Q_{i1}}}$

8.2 Геометрический смысл эластичности

Геометрический смысл точечной эластичности:

Пусть у нас имеется фрагмент некоторой функции спроса:

Рассмотрим формулу точечной эластичности:

$E_x^y=y'(x)\cdot(\dfrac{x}{y})$

В данной записи геометрический смысл первого сомножителя - тангенс угла наклона касательной, проведенной к функции в некоторой интересующей нас точке, второго - тангенс угла наклона луча, проведенного из начала координат к точке, в которой мы хотим вычислить точечную эластичность. Построим: