Неравенство в Некотором царстве

• совокупный доход всех бедных равен$ Х_1\cdot \alpha\cdot N$, где N – число жителей Некоторого царства;
• средний доход в царстве равен $ \alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2$;
• совокупный доход всех жителей царства равен $(\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2) \cdot N$.

Следовательно,
$$ \beta = \frac{\alpha\cdot X-1\cdot N}{(\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2) \cdot N$} = \frac{\alpha\cdot X_1}{\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} $$

Из условия:
$$ K= \alpha - \beta = \alpha - \frac{\alpha\cdot X_1}{\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} =0.4 $$

Если бы средний доход бедных возрос на 50%, то доля совокупного дохода царства, которую стали бы получать бедные жители
$$ \beta_1= \frac{\alpha\cdot 1.5 \cdot X_1}{\alpha \cdot 1.5 \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2}$$

Из условия:
$$ K_1 = \alpha - \beta_1=\alpha - \frac{\alpha\cdot 1.5 \cdot X_1}{\alpha \cdot 1.5 \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} = 0.3 $$

При этом средний доход в царстве стал бы равен $\alpha\cdot 1.5 \cdot X_1+(1-\alpha)\cdot X_2$. А по условию разница средних доходов составляет 40 монет:
$$ \alpha\cdot 1.5 \cdot X_1+(1-\alpha)\cdot X_2 - (\alpha \cdot X_1+(1-\alpha)\cdot X_2) = 0.5 \cdot \alpha \cdot X_1 = 40 \to \alpha \cdot X_1 =80 \text{ } (1)$$

Запишем выражения $K$ и $K_1$, выполнив замену с учетом (1), получим систему уравнений:

$$\begin{cases}
\alpha - \frac{\alpha\cdot X_1}{\alpha \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} =0.4 \\
\alpha - \frac{\alpha\cdot 1.5 \cdot X_1}{\alpha \cdot 1.5 \cdot Х_1 + (1 – \alpha) \cdot Х_2} = 0.3
\end{cases}$$

Выполним еще одну замену $80 + (1-\alpha)\cdot X_2 =Z $, тогда наша система выглядит намного проще:
$$\begin{cases}
\alpha - \frac{80}{Z} =0.4 \\
\alpha - \frac{120}{Z+40}= 0.3
\end{cases} \to \frac{80}{Z} +0.4 = \frac{120}{Z+40} +0.3 \to \frac{1}{10} = \frac{120Z-80(Z+40)}{Z(Z+40)} \to $$

$$ Z(Z+40) = 120Z-800(Z+40) $$

$$ Z^2 -360Z+32000=0 \to Z_1=200, Z_2=160$$

Если $Z=200$, то $\alpha =\frac{80}{200}+0.4=0.8$, если же $Z_1=160$, то $\alpha = \frac{80}{160}+0.4=0.9$, что не соответствует условию.

Если $\alpha = 0.8$, то из (1) $X_1=\frac{80}{0.8}=100$.

Теперь найдем $Х_2$ (из последней замены):
$$80+(1-0.8)\cdot X_2=200 \to X_2=600$$

А средний доход общества составляет $0.8\cdot 100+0.2 \cdot 600=200$.
Таким образом, средний доход богатых превышает средний доход бедных в 6 раз, а средний доход общества – в 3 раза.