Счастливые рисоеды

Задача

Заключительный этап ВОШ — 2017

2-й тур: Задачи

математика

макроэкономика

Средняя: 7.3 (14 оценок)

Филипп Картаев

17.04.2017, 23:51 (Елизавета Демьяненко)
04.08.2017, 22:07

(1)

Анна Бондаренко

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

В стране Альфа производится единственный товар – рис. Собранный в конце каждого года урожай риса жители страны могут либо съесть, либо засеять на поля, чтобы в следующем году получить новый урожай. Таким образом, $Y_{t}=I_{t}+C_{t}$, где $Y_{t}$ – собранный в году t урожай, $C_{t}$ – потребление в году t, $I_{t}$ – объём посева в году t (все переменные измеряются в тоннах). Засеяв $I_{t}$ тонн риса в году t, в следующем году можно собрать урожай $Y_{t+1}=80\sqrt{I_{t}}.$

По итогам каждого года каждая семья в стране Альфа либо счастлива, либо несчастлива. Все счастливые семьи похожи друг на друга (после сбора урожая они получают как минимум по тонне риса), каждая несчастливая семья несчастлива по-своему (такие семьи получают меньше тонны риса или не получают рис вовсе, поэтому в течение года выживают кто как может). Общее число семей в стране настолько велико, что, к сожалению, все счастливы быть не могут.

В начале 2017 года к власти в стране Альфа пришёл новый президент. Срок его полномочий – 2 года, и он хочет, чтобы число семей, которые счастливы в течение всего срока его правления, было как можно большим (что будет потом, его не интересует). Президент сам решает, как именно следует распределять весь выращенный рис. Президент знает, что в прошлом году было засеяно 3600 тонн риса.

а) (15 баллов) Какое количество риса следует засеять в 2017 и 2018 годах для достижения цели президента? Сколько семей при этом будет счастливо в каждый из двух указанных годов?
Сколько семей в этом случае будет счастливо в 2019 году?

б) (15 баллов) Представим теперь, что президент задумался о вечном. Какое максимальное количество семей может быть счастливо в экономике страны Альфа на протяжении бесконечно долгого периода времени (то есть начиная с 2017 года и навсегда)? Сколько риса для достижения этой цели следует сеять каждый год?

Решение и ответ

а) Количество счастливых семей равно потреблению риса.
$$\begin{equation}C_{2017}=80\sqrt{3600}-I_{2017} \\
C_{2018}=\sqrt{I_{2017}}\end{equation}$$
(в последнем периоде нет смысла инвестировать, так как президента не волнует, что будет в 2019 году). Чтобы достичь своей цели, президенту следует максимизировать минимум из $C_{2017}$, $C_{2018}$. Для этого, нужно, чтобы указанные переменных были равны. Отсюда получаем уравнение:
$$80\cdot 60-I_{2017}=80\cdot \sqrt{I_{2017}}$$
Отсюда находим: $I_{2017}=1600, C_{2017}=C_{2018}=3200.$

Ответ: в 2017 году следует посадить 1600 тонн риса, а в 2018 году – ноль тонн. 3200 семей будут счастливы на протяжении этих двух лет, однако в 2019 году число счастливых семей окажется равным нулю.

б) Чтобы потребление семей вечно поддерживалось на постоянном уровне, необходимо, чтобы каждый год поддерживался один и тот же уровень инвестиций $I^{*}$ и один и тот же уровень потребления $C^{*}$.

В этом случае ежегодный уровень потребления составит:
$$C^{*}=80\sqrt{I^{*}}-I^{*}$$
Относительно $I^{*}$ – это парабола с ветвями направленными вниз, следовательно, мы можем найти точку максимума: $I^{*}=1600, C^{*}=1600.$

Докажем, что число вечно счастливых семей не может быть больше 1600. Предположим противное: пусть в каждый момент времени есть не менее 1601 счастливой семьи. Тогда:
$$\begin{array}{c}1601\le C_{t}=80\sqrt{I_{t-1}}-I_{t}=80\sqrt{I_{t-1}}-I_{t-1}-(I_{t}-I_{t-1})\le 1600-(I_{t}-I_{t-1}) \\
(I_{t}-I_{t-1})\le -1\end{array}$$
Получаем, что в этом случае инвестиции уменьшаются на единицу каждый год. Следовательно, в конце концов они упадут до нуля, что уж точно не позволит поддерживать требуемый уровень потребления. Таким образом, мы получили противоречие.

Ответ: Таким образом, следует каждый год засеивать по 1600 тонн риса и при этом каждый год 1600 семей в стране Альфа будут счастливы.

Ответ:

а). В 2017 году следует посадить 1600 тонн риса, а в 2018 году – ноль тонн. 3200 семей будут счастливы на протяжении этих двух лет, однако в 2019 году число счастливых семей окажется равным нулю.
б). Следует каждый год засеивать по 1600 тонн риса и при этом каждый год 1600 семей в стране Альфа будут счастливы.

Все задачи этой олимпиады

1-й тур: Задачи

Задача	Баллы
В чём согласны экономисты	30
Международная торговля и рынок труда	30
Оптимальная цена при неизвестном спросе	30
Списывать - норма?	30
Спрос рождает предложение	30

2-й тур: Задачи

Задача	Баллы
В чём согласны экономисты — 2	30
Как построить стадион	30
Краудфандинг	30
Правила приёма	30
Счастливые рисоеды	30

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Сложность

Автор

Все задачи этой олимпиады