Возможности фермера (вопрос из теста)

Попробуйте рассуждать так (разберу только первый пункт):

Фермер может вырастить или 100 яблок, или 200 груш, или 300 слив. Он произвел 50 яблок. Теперь он может произвести либо 50 яблок, либо 100 груш, либо 150 слив (так как альтернативные издержки фиксированы). Но яблоки он уже не будет производить, тогда у нас остается обычное линейное КПВ: Или 100 груш, или 150 слив. Если он произведет 50 груш, то потеряет 75 слив (так как альт. стоимость = 1.5), и его производственных возможностей хватит ровно на производство еще 75 кг слив. Таким образом, фермер полностью использует ресурсы и эта точка лежит на КПВ.

Предлагаю еще два варианта рассуждений,
1.Вообще говоря, при производстве более двух типов благ, мне кажется, удобно говорить о количестве ресурсов. Пусть ресурсов у нас $R$(Удобнее вместо $R$ сразу взять единицу, дальше будет понятно, почему) , тогда
на 1кг яблок уходит $\frac{1}{100}R$ (Так как используя всё, что есть можно произвести 100кг)
груш - $\frac{2}{100}R$
слив = $\frac{1}{300}R$
Тогда возможности производства описываются уравнением
$\frac{Я}{100}R+\frac{Гр}{200}R+\frac{Сл}{300}R \le R$
Сокращаем на R
$\frac{Я}{100}+\frac{Гр}{200}+\frac{Сл}{300} \le 1$
Подставляем сюда данные из условия, если неравенство выполняется, то такой объем пр-ва возможен.
Это способ я нахожу наиболее простым.

Можно рассуждать чуть по-другому, хотя суть одна и та же.
2.Из условия следует, что производство 1кг яблок равносильно производству 2кг груш.
Тогда от трехмерной КПВ можно перейти к линейной,заменив все яблоки на вдвое больше груш.Изначально имеем $Сл=300-3/2Гр$, тогда Кпв будет выглядеть так $Сл=300-\frac{3}{2}(2Я+Гр)$
Если разделить обе части на 300, то получим то, что в итоге вышло в первом способе)

Я, конечно, привык к тому, что при постоянных альтернативных издержках КВП линейная (в случае многих товаров, соответственно, задаётся уравнением $a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=1$); вроде как по-другому и быть не может. Но всё-таки мне захотелось строго вывести это из условия задачи. Вот что у меня получилось.
Нижеизложенный способ подходит для любого n; чтобы стало лучше видно, что делать при большом n, я добавлю четвёртое благо – апельсины, которых можно произвести 400 кг при максимальном использовании ресурсов.

Итак, "издержки выращивания 1 кг любого вида плодов, выраженные в килограммах любого другого вида плодов, постоянны". Например, $\frac{\Delta я}{\Delta г}=const$. Это значит, что если мы зафиксируем количество остальных фруктов, то, увеличив груши на $\Delta г $, мы "увеличим" яблоки на $\Delta г $, умноженное на эту самую константу (константа будет отрицательная, и мы на самом деле уменьшим, то есть "увеличим" на отрицательное число). Чему равна эта константа? Нужно рассмотреть какие-нибудь две точки, и посчитать отношение дельт между ними. Пусть в первой мы производим только груши, во второй – только яблоки. Тогда $const=\frac{100-0}{0-200}=-\frac 1 2$.
Рассмотрим функцию я(г,с,а), которая показывает максимальное количество яблок в зависимости от производства остальных фруктов. Рассмотрим две точки: в первой мы производим ноль груш, во второй – г груш. Используя найденную константу, составляем уравнение:
$\frac{я(г,с,а)- я(0,с,а)}{г-0}=-\frac 1 2$, или, по-другому:
$ я(г,с,а)= я(0,с,а)- \frac 1 2 г \quad(ур. 1)$ – и это верно при любых г,с,а.
Теперь будем менять не груши, а другие фрукты. Получаем аналогичные соотношения:
$ я(г,с,а)= я(г,0,а)- \frac 1 3 с \quad(ур. 2)$
$ я(г,с,а)= я(г,с,0)- \frac 1 4 а \quad(ур. 3)$
Наша цель – выразить я(г,с,а) через г,с,а. Смотрим на первое уравнение. Нам не хватает знания я(0,с,а). Получим его, подставив во второе уравнение г=0: $ я(0,с,а)= я(0,0,а)- \frac 1 3 с$. Теперь нам не хватает знания я(0,0,а). Получим его, подставив в третье уравнение г=с=0: $ я(0,0,а)= я(0,0,0)- \frac 1 4 а= 100- \frac 1 4 а $. Мы воспользовались здесь тем, что когда мы производим одни только яблоки, их получится 100 кг. Ну всё, подставляем всё по цепочке в уравнение (1):
$ я(г,с,а)= - \frac 1 2 г - \frac 1 3 с - \frac 1 4 а +100$
Итак, граница производственных возможностей задаётся уравнением
$я+\frac{г}{2}+\frac{с}{3}+\frac{а}{4}=100$.

Кстати, из этого решения видно, что достаточно потребовать постоянства нормы замещения между каким-то одним товаром и всеми остальными, а постоянство нормы замещения между любыми другими парами отсюда вытекает (это видно из уравнения границы производственных возможностей).

Да ну, нарисовать трёхмерную КПВ и проверить на пренадлежность точки КПВ к такому вытянутому элипсу =))
Кстати, Гриша, я правильно понял, что твоё доказательство для 4 продуктов, можно представить в общем виде (если Amax > Bmax > Cmax > Dmax), то D+C/$\frac{Cmax}{Dmax}$+B/$\frac{Bmax}{Dmax}$+A/$\frac{Amax}{Dmax}$=Dmax, где Xmax - максимально возможное количество производства продукта Х при нулевых затратах ресурсов на другие продукты?
И абсолютно так решается задача про то, как какой - то известный экономист делает коктейли из 4 продуктов (регион 2008 года, 1 задача)?

Насчет высказывания Димы по поводу способа с трехмерной КПВ:
Не будем постулировать - докажем, что из условия задачи вытекает, что КПВ - плоскость.
1
Изначально мы имеем, что при нулевом производстве одного из благ КПВ линейно, то есть на границах трехмерной КВП "сечение" состоит из трех отрезков прямых.
2
Теперь заметим,что КПВ должно быть линейно не только при нулевом производстве одного блага, но и при любом другом постоянном производстве этого блага(чтобы это доказать можно сказать:пусть на такое пр-во блага $X$ тратим $N$ ресурсов, $N$-константа в рассматриваемых условиях, значит ресурсы на два других не зависят от $X$, ну и собственно условие "работает на нас" - тогда так как альтернативные издержки...и т.д.)
Значит,пусть производство одного блага фиксировано и равно $X_1$, тогда имеем две точки на границах трехмерной КПВ, пусть это $Z_1$ и $Y_1$,
3
Мы уже доказали что при постоянном объеме пр-ва $X$, КПВ принадлежит прямой, тогда данная прямая задана точками $Z_1$ и $Y_1$, осталось их соединить.
4-5
В силу произвольности выбора $X_1$, вся КПВ состоит из бесконечного числа параллельных отрезков концы которых лежат на отрезках прямых, которые мы рассматривали изначально(синие), следовательно GDP - плоскость.

На рисунке всё гораздо проще:

"Кстати, из этого решения видно, что достаточно потребовать постоянства нормы замещения между каким-то одним товаром и двумя другими..."