Гелий, латекс, шарики

(а) (2б) Так как на острове Б есть лишь 900 единиц латекса, то на этом острове может быть произведено максимум 450 воздушных шариков (при этом рабочей силы и гелия хватит). Поскольку остров Л располагает лишь 1300 единицами гелия, то на этом острове можно произвести максимум 650 воздушных шариков (при этом рабочей силы и латекса хватит). Следовательно, в сумме будет произведено не более 450+650=1100 воздушных шариков. Ответ: 1100 штук.

(б) (2б) Суммарный запас латекса на двух островах составляет 2300 единиц. Значит, в сумме может быть произведено не более 1150 воздушных шариков. Ответ: не возможен.

(в) (5б) Обозначим за искомое количество воздушных шариков. Очевидно, что – иначе такой обмен не будет взаимовыгодным.
В пункте (б) было доказано, что в сумме на двух островах может быть произведено не более 1150 воздушных шариков. Если при этом в результате обмена острову Б достанется хотя бы 500 воздушных шариков, то острову Л останется не более 650 воздушных шариков, то есть не больше, чем в отсутствие обмена. Такой обмен также не будет взаимовыгодным. Значит, .
Покажем, что любое число шариков от 451 до 499 на острове Б оказаться может.
Пусть остров Б отдаст острову Л 100 единиц гелия. Тогда остров Б сможет произвести самостоятельно 450 шариков (как и в отсутствие обмена). Зато остров Л сможет произвести, используя импортированный гелий,700 воздушных шариков. Если остров Л теперь отдаст (в обмен на гелий) от 1 до 49 воздушных шариков, то на острове Б окажется в итоге от 451 до 499 воздушных шариков, а на острове Л останется от 651 до 699 воздушных шариков. Такой обмен, как видим, будет взаимовыгодным.

(г) (4б) Вновь (из рассуждений о взаимовыгодности) получаем, что . Однако теперь воздушные шарики нельзя перевозить, и, возможно, не все варианты 451, 452, … 499, удастся реализовать.
Теперь каждый остров будет потреблять только воздушные шарики, произведенные у себя. Поскольку запас рабочей силы на острове Л ограничен 950, то остров сможет произвести не более 475 шариков, то есть возникает дополнительное ограничение .
(2 балла)
Покажем, что любое число шариков от 451 до 475 на острове Б оказаться может.
Пусть остров Б может поставит острову Л 50 единиц гелия. Если в обмен на это остров Л поставит острову Б от 2 до 50 единиц латекса, то остров Б как раз сможет произвести от 451 до 475 шариков. При этом заметим, что экспорт латекса не повредит собственному производству шариков на острове Л; с учетом импортированного гелия он сможет произвести 675 шариков независимо от количества экспортированного латекса, и обмен будет взаимовыгодным.