Задача

В олимпиадах

Московская олимпиада школьников — 2013

Раздел

Баллы

25

Сложность

7
Средняя: 7 (1 оценка)

Автор

16.02.2013, 14:42 (Данил Фёдоровых)
06.01.2016, 13:49
В стране, имеющей форму отрезка $[0; 1]$, есть города $А(0), Б(0,25), В(0,5), Г(0,75), Д(1)$ (в скобках указана координата точки на отрезке, в которой находится город). В городе А проживает 1 миллион человек, в Б — 2 миллиона, в В — 3 миллиона, в Г — 4 миллиона, в Д — 5 миллионов. Президент страны решил построить современный стадион, причем сделать это можно как в городе, так и в любой другой точке страны (отрезка). В какой точке отрезка следует построить стадион, чтобы минимизировать суммарное расстояние до стадиона всех жителей страны?

Комментарии

Стадион нужно строить в городе, что бы уменьшить суммарное расстояние до стадиона. Понятно, что это город не А и не Д, т.к. они находятся на окраинах отрезка. И если выбирать эти точки, то суммарное расстояние будет не минимальным, а скорее наоборот, например в точке А- максимальным. Следовательно у нас остаются города Б, В, Г. Посмотрим на численность населения этих городов. Из оставшихся в городе Б население меньше всего, значит этот город нам не подходит. Остается выбор между городами В и Г. Если мы выбираем город В, то жителям самых больших городов ( Г и Д) придется ехать туда, следовательно суммарное расстояние будет большим. Значит мы выбираем город Г. И суммарное расстояние будет равно: 1*0.75+2*0.5+3*0.25+0+5*0.25=0.75+1+0.75+0+1.25=3.75
Не очевидно, что стадион должен быть в городе.
Очевидно, что он должен находиться на отрезке(В;Д).
1)Предположим, что он его построят на отрезке (В;Г]
и обозначим эту точку за N, где n - расстояние от точки В до N. n принадлежит (0;0.25]
значит суммарное растояние будет равно :
1*(0,5+n) +2*(0.25+n)+3*n+4*(0.25-n)+5*(0.5-n)=4.5 -3n . Что бы это расстояние было минимальным, возьмем максимально возможное n равное 0,25( значит N соответствует Г) и получим расстояние = 4,5 -3*0,25=3,75.
2) Предположим, что этот стадион построят на отрезке (Г;Д). M- точка где будет стадион. m- расстояние от Г до Д, n принадлежит (0;0.25)
значит суммарное расстояние равно :
1*(0,75+m)+2(0.5+m)+3(0.25+m)+4*m+5(0.25-m)=3.75+5m
по скольку m принадлежит (0;25) то на отрезке(Г;Д) суммарное расстояние будет больше суммарного расстояния на отрезке (В;Г] при любых m.
Из всего этого следует, что N совпала с Г, а значит стадион нужно строить в городе Г.
Да, можно изменить условие задачи (количество городов и размер населения в них) так, что одним из оптимальных решений будет постройка стадиона не в городе. Попробуйте подобрать такой пример.
А с таким условием мое решение будет засчитано верным??
Если Вы доказали, все, что утверждаете, то конечно.
Ну лично я считаю, что все доказала. А мнения экспертов я,к сожалению, не знаю.
в городе Г
ср. вот с этой задачей.
Важны ли расстояния между городами?