Точка насыщения Карлсона

Карлсон может выбрать любую комбинацию чая и варенья, расходы на которую не превышают 10 рублей. Геометрически, множество доступных ему точек — это треугольник, ограниченный бюджетной линией и осями координат.
По условию задачи, чем меньше расстояние от выбранной комбинации до точки $\mathrm{O}(10;5)$, тем больше полезность. Сама эта точка приносит наибольшую полезность на всем множестве мыслимых наборов чая и варенья. Поэтому, если бюджетное ограничение будет позволять приобрести набор $(10;5)$, то Карлсон выберет именно эту точку (например, при ограничении L1). B нашем случае положение бюджетной линии зависит от цены чая. При $P \leq P_0$ ( $P_0$ — цена чая, при которой бюджетная линия проходит через точку O) спрос на чай будет фиксирован и равен 10 литрам. При $P>P_{0}$ оптимальный выбор будет в точке касания бюджетной линии и соответствующей кривой безразличия, т.к. эта точка среди доступных наборов будет наименее удаленной от точки О. Например, при бюджетном ограничении L3 оптимальной будет точка A, при ограничении L4 — точка B.

Увеличивая цену чая, начиная с 0.5, и меняя тем самым положение бюджетной линии, получим множество всех таких оптимальных наборов — кривую ОС (кривая «цена-потребление»). Причем точка $C(0;5)$ лишь указывает на предельное положение оптимального выбора, в действительности же при любой конечной цене на чай его потребление будет положительным.
Воспользуемся формулой бюджетной линии, чтобы найти $P_0$:
$x P_{x}+y P_{y}=I ; 10 P_{0}+5 \cdot 1=10 ; P_{0}=0.5$
Выведем формулу спроса при $P>P_{0}$, воспользовавшись условием касания.
Угловой коэффициент бюджетной линии равен $-\frac{P_{x}}{P_{y}}=-\frac{P_{x}}{1}=-P_{x}$
Найдем угловой коэффициент касательной к кривой безразличия. Уравнение кривой безразличия: $(x-10)^{2}+(y-5)^{2}=R^{2}$. Считая у функцией от x , продифференцируем это тождество по x :
$2(x-10)+2(y-5) \cdot y_{x}'=0$, $y_{x}'=-\frac{x-10}{y-5}$
Учитывая, что оптимальная точка лежит на бюджетной линии, получаем систему:
$\left\{\begin{array}{l}-P_{x}=-\frac{x-10}{y-5} \\
x P_{x}+y \cdot 1=10\end{array} \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}y=5+\frac{x-10}{P_{x}} \\ y=10-x P_{x}\end{array} \Rightarrow x=\frac{5 P_{x}+10}{P_{x}^{2}+1}\right.\right.$
Ответ: $x_D=\left\{\begin{array}{l}10, P_{x} \leq 0.5 \\ \frac{5 P_{x}+10}{P_{x}^{2}+1}, P_{x}>0.5\end{array}\right.$