Лидер и аутсайдеры

Задача

микроэкономика

Можно решить без знания производной

Средняя: 5 (1 оценка)

Господин N

07.01.2026, 16:20 (Всеволод Геннадьевич)
08.01.2026, 12:51

(2)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

На рынке ауры спрос задаётся функцией $Q_d=1-P$ , где $P$– цена на рынке.
Ауру производят 3 фирмы— 1 лидер и 2 аутсайдера. Фирмы знают всю информацию друг о друге(т.е.на рынке олигополия).Взаимодействие происходит таким образом, что сначала лидер называет свой объем производства, затем две оставшиеся фирмы(аутсайдеры) одновременно называют свой объем производства. Издержки у каждой фирмы одинаковы и задаются функцией $TC=Q^2$.
а)Найдите равновесные объемы производства, цену и прибыль каждой фирмы.
б)Государство обеспокоились тем, что фирма лидер обладает большей властью и ввела на неё(на аутсайдеров налог не
накладывается) потоварный налог по ставке $t$, чтобы фирмы стали производить одинаковый объем товара. Найдите значение $t$.
в) Теперь государство хочет максимизировать налоговые сборы, вводя потоварный налог по ставке $t_2$ на все фирмы.Найдите значение $t_2$.

Решение и ответ

а) Запишем функцию прибыли для аутсайдеров.
$\pi_2=(1-q_1-q_2-q_3)q_2-q_2^2$
Относительно $q_2$ ЭПВВн. Значит:
$ q_2*=(1-q_1-q_3) /4$ (1)
Аналогично мы получаем:
$ q_3*=(1-q_1-q_2) /4$ (2)

Решая систему из 1 и 2 уравнения мы получаем,что:

$q_2*=q_3*=0.2(1-q_1)$

Функция прибыли лидера:
$\pi_1=(1-q_1-q_2-q_3)q_1-q_1^2=0.6(1-q_1)q_1-q_1^2$

Относительно $q_1$ ЭПВВн. Значит
$q_1*=0.6/3.2=0.1875$

Подставим значения и получим, что:
$q_2*=q_3*=0.1625$
$P=0.4875$
$\pi_1*=0,05625$
$\pi_2*=\pi_3*=0,0528125$

б) Запишем функцию прибыли ч по товарным налогом фирмы лидера:
$\pi_1=(1-t-q_1-q_2-q_3)q_1-q_1^2=(0.6(1-q_1) -t)q_1-q_1^2$
Относительно $q_1$ ЭПВВн. Значит:
$q_1*=(0.6-t)/3.2$
Т.к. мы хотим, чтобы фирмы имели одинаковый объем производства, то:
$q_1=q_2=q_3=0.2(1-q_1)$
$q_1=0.2(1-q_1)$
$q_1=1/6$
$q_1=(0.6-t) /3.2=1/6$
$t=1/15$

в) Государство вводит потоварный налог $t_2$ на все три фирмы, чтобы максимизировать налоговые сборы $T = t_2 \cdot Q$, где $Q = q_1 + q_2 + q_3$.

Найдём, как аутсайдеры реагируют на выбор лидера при налоге $t_2$.
У аутсайдера прибыль $\pi_2 = P \cdot q_2 - q_2^2 - t_2 q_2$, где цена $P = 1 - (q_1 + q_2 + q_3)$.

Максимизируем $\pi_2$ по $q_2$, считая $q_1$ и $q_3$ заданными.
Производная:
$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 1 - q_1 - q_3 - 4q_2 - t_2 = 0$.

В силу симметрии аутсайдеров $q_2 = q_3 = q_a$. Подставляем:
$1 - q_1 - q_a - 4q_a - t_2 = 0$
$\Rightarrow 1 - q_1 - t_2 = 5 q_a$
$\Rightarrow q_a = \frac{1 - q_1 - t_2}{5}$.

Теперь задача лидера, который тоже платит налог $t_2$. Его прибыль:
$\pi_1 = [1 - (q_1 + 2q_a)]q_1 - q_1^2 - t_2 q_1$.

Подставляем выражение для $q_a$:
$Q = q_1 + 2q_a = q_1 + \frac{2(1 - q_1 - t_2)}{5} = \frac{2 - 2t_2 + 3q_1}{5}$.
Цена $P = 1 - Q = \frac{3 + 2t_2 - 3q_1}{5}$.

Тогда $\pi_1 = \frac{3 + 2t_2 - 3q_1}{5} q_1 - q_1^2 - t_2 q_1$.

Упрощаем:
$\pi_1 = \frac{3q_1 - 8q_1^2 - 3t_2 q_1}{5}$.

Максимизируем по $q_1$:
$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = \frac{3 - 16q_1 - 3t_2}{5} = 0$
$\Rightarrow 3 - 16q_1 - 3t_2 = 0$
$\Rightarrow q_1 = \frac{3 - 3t_2}{16}$.

Теперь $q_a = \frac{1 - q_1 - t_2}{5} = \frac{1 - \frac{3 - 3t_2}{16} - t_2}{5}$.

Приводим к общему знаменателю 16 в числителе:
Числитель: $\frac{16 - 3 + 3t_2 - 16t_2}{16} = \frac{13 - 13t_2}{16}$,
тогда $q_a = \frac{13 - 13t_2}{80} = \frac{13(1 - t_2)}{80}$.

Общий выпуск $Q = q_1 + 2q_a = \frac{3 - 3t_2}{16} + \frac{26(1 - t_2)}{80}$.

Приводим к общему знаменателю 80:
$q_1 = \frac{15(1 - t_2)}{80}$, $2q_a = \frac{26(1 - t_2)}{80}$,
сумма: $Q = \frac{15(1 - t_2) + 26(1 - t_2)}{80} = \frac{41(1 - t_2)}{80}$.

Налоговые сборы:
$T = t_2 \cdot Q = t_2 \cdot \frac{41(1 - t_2)}{80} = \frac{41}{80}(t_2 - t_2^2)$.

Это парабола, ветви вниз, максимум в вершине:
$t_2 = \frac{1}{2}$.

(все оптимумы можно находить и как виршину попаболы ветвями вниз)

Темы

Свойства

Сложность

Автор