Гаджеты и виджеты -2 или кривая торговых возможностей

Условие с решением и ответом

15.03.2011, 03:10 (Алексей Суздальцев)
11.06.2015, 00:52

(14)

Версия для печати

Только условие

Только решение и ответ

В некоторой стране правительство настолько увлеклось модернизацией экономики, что в ней осталось производство только двух товаров – гаджетов ($g$) и виджетов ($w$). Соответствующая КПВ описывается уравнением $$g=100-w^2.$$ (количества гаджетов и виджетов могут выражаться не только целыми числами). После вступления в ВГТО (Виджето-Гаджетовую Торговую Организацию) страна открылась мировому рынку, на котором 1 виджет оценивается в 4 гаджета; при этом на мировом рынке можно обменять как любое количество виджетов на гаджеты, так и любое количество гаджетов на виджеты.

Найдите множество комбинаций $(w;g),$ которые теперь могут быть потреблены в стране. Изобразите это множество на плоскости и найдите уравнение его границы (эта граница иногда называется кривой торговых возможностей).
С наступлением эпохи войн и политической нестабильности ВГТО вводит против страны санкцию, согласно которой импорт виджетов в страну не может превышать 9 единиц. Как изменится в результате этой меры кривая торговых возможностей страны?

Решение и ответ

Страна выбирает:
- Какую точку ей выбрать на (или под) своей КПВ (сколько товаров произвести);
- Сколько и какого произведенного товара обменять на другой товар на мировом рынке.
Если в результате этих двух действий у страны остается «на руках» ровно $g$ гаджетов и ровно $w$ виджетов, то набор $(w;g)$ доступен для потребления.
Таким образом, нам нужно изобразить на плоскости множество всех наборов, которые можно получить в результате каких-то двух таких операций.
Допустим, страна произвела 8 виджетов и 36 гаджетов (см. рис.). Как нетрудно понять, графически обмен на мировом рынке представляется как движение по красной прямой (ее наклон равен (-4), что как раз соответствует пропорции обмена). При этом движение влево – это обмен виджетов на гаджеты, а движение вправо – обмен гаджетов на виджеты. Значит, если страна решит производить в точке (8;36), то в результате ей будут доступны для потребления все точки на (или под – если она решит «есть» не всё) красной прямой.

Аналогично, если страна решит производить в точке (6;64), то ей будут доступны для потребления все наборы на или под синей прямой.
Теперь, когда принцип ясен, легко увидеть, что множество наборов под прямой «максимально», если прямая касается КПВ. Таким образом, истинной границей множества доступных для потребления наборов является отрезок фиолетовой прямой.
Найдем координаты соответствующей точки касания и уравнение этой прямой.
В точке касания наклон КПВ (альтернативные издержки производства) равен наклону прямой (мировой цене): $-2x=-4,$ откуда $x=2,$ а значит, $y=96.$
Прямая имеет наклон (-4), а значит, описывается уравнением $y=a-4x.$ Зная то, что прямая должна проходить через точку (2;96), окончательно восстанавливаем ее уравнение:
$$y=104-4x.$$
Итоговое множество доступных для потребления наборов изображено на рисунке:
Условия экспорта виджетов не изменились (поэтому при движении по прямым влево ничего не изменится по сравнению с предыдущим пунктом), зато изменились условия импорта. Графически санкция выражается в том, что теперь мы можем «идти» по прямым вправо не сколько угодно: максимум мы можем сделать 9 шагов (если за один шаг принять покупку одного виджета). При этом максимум мы продадим $9\cdot4=36$ гаджетов.
Таким образом, максимальное смещение точки вправо, достигаемое за счет торговли, является смещением на вектор (9;-36). Поэтому новая КТВ является на определенном участке не чем иным, как участком родной КПВ, смещенным параллельно ровно на этот вектор.
На каком участке этот будет происходить?
Из рисунка ясно, что минимальное $w$, при котором мы «почувствуем» санкцию – это $w=2+9=11$ (меньшие объемы потребления виджетов можно получить и при объеме их импорта, меньшем 9).
Соответственно , до $w=11$ новая КТВ совпадет со старой (будет отрезком прямой), а при $w>11$ она будет представлять из себя смещенный участок КПВ. Это смещение показано на рисунке (каждая красная точка КПВ «переезжает», следуя своей красной пунктирной прямой, в красную точку КТВ):

Алгебраически смещение графика функции на 36 единиц вниз и на 9 единиц вправо, как известно, можно получить, если вычесть из значения функции 36 при каждом $w,$ и подставить в качестве аргумента не $w,$ а $w-9.$ В итоге получаем, что новая КТВ описывается уравнением
$$g=\begin{cases}104-4w,\text{если $w\le 11$;} \\ 100-(w-9)^2-36=64-(w-9)^2,\text{если $w>11$.}\end{cases}$$
При этом максимальное доступное для потребления количество виджетов снизится с 26 до 17.
Новое множество доступных комбинаций $(w;g)$ будет иметь следующий вид

Ответ:

см. выше

Примечание:

В данной задаче найти координаты точки касания можно и без использования производной. Придумайте, как это можно сделать.

Ну, я подумала, что рациональнее всего будет дальше производить, как от точки касания вниз, т.е. если смотреть по исходной кпв, то с 36-ой по 96-ую единицу гаджетов. Тогда получим, что на этом отрезке мы произведем 6 дополнительных виджетов - точки (8;36) и (2;96) на кпв
Алексей, это все женская интуиция))
Потом уже я подумала про то, что не будет излома, т.е. тангенсы касательных должны совпасть

16.03.2011 00:26 ссылка

Да уж, отличная интуиция)

Но все-таки хотелось бы видеть более-менее строгое доказательство того, что больше 17 никак не получить, да и вообще всего построения.

Подсказка: проще всего процесс построения объяснить геометрически, через параллельный перенос некого отрезка. Тогда все сразу встанет на свои места)

16.03.2011 00:47 ссылка

Ну да, я геометрически и переносила, я же написала в прошлом сообщении)

15.03.2011 17:19 ссылка

крайняя точка 11+корень из 40
уравнение параболы тогда
g=100.52-0.335w^2 (примерно с корнями)

15.03.2011 19:49 ссылка

У меня получилось также, там же вроде получается парабола вида : $g=100-(w-x)^2$, где $x$ - смещение параболы по оси абсцисс, нам известна точка на этой параболе $(10;60)$, значит мы можем найти уравнение? Вроде с функцией правильно, может точка не правильная?

15.03.2011 19:50 ссылка

Вершина тоже смещается)

15.03.2011 20:00 ссылка

Дело в том, что исходная парабола смещается не только по оси абсцисс, но и по оси ординат (ведь виджеты мы экспортируем, но за это платим гаджетами!), поэтому формула $g=100-(w-x)^2$ не совсем верна.

15.03.2011 20:09 ссылка

Мне кажется, Араик имел в виду не совсем это, а то, что кусок КТВ при $w\ge11$ - кусок исходной параболы при $g\le60$, смещенный вправо
Я правильно поняла?)

15.03.2011 20:34 ссылка

"Кусок КТВ при $ w\ge11 $ - кусок исходной параболы" - верно!

Только надо понять что это за кусок, откуда он берется и как смещается) Мне кажется, Араик пока смещает не тот кусок.

Чтобы проверить свой ответ, возьмите какую-нибудь точку на предполагаемой КТВ, и попробуйте описать последовательность действий, которые должна предпринять страна, чтобы в итоге потребить в итоге эту комбинацию. Такой план действий должен включать два этапа:

1) Произвести такую-то комбинацию.
2) Обменять столько-то гаджетов на столько-то виджетов (или наоборот). Получившуюся итоговую комбинацию съесть.

Суть данной задачи - как раз найти множество всех комбинаций, которые можно в итоге съесть, предпринимая всевозможные такие планы действий.

15.03.2011 20:39 ссылка

Я вроде как это и пытался сделать, видимо где-то напутал, сейчас попробую пересчитать)

15.03.2011 22:39 ссылка

$$g=\begin{cases}104-4w, \text{если $w<11$} \\ -w^2+18w-17 ,\text{если $w>11$}\end{cases}$$

Так?

15.03.2011 22:39 ссылка

да, только 11 включи куданить)

15.03.2011 22:44 ссылка

Я не знаю как :)))

15.03.2011 22:51 ссылка

$\geq $

15.03.2011 18:24 ссылка

Права Василиса)

Алексей Филиппов

15.03.2011 21:47 ссылка

G=-w^2+18w-17

15.03.2011 21:52 ссылка

Агаа) И у меня:)

15.03.2011 21:55 ссылка

Как вы это сделали?) Я уже битый час пробую, а не получается, что я упускаю?)

15.03.2011 21:59 ссылка

Ууу, магияя

Ты упускаешь, что именно на этом куске КПВ свет клином не сошелся)

15.03.2011 22:00 ссылка

Может, тебе поможет то, что ту же формулу можно записать как $g=64-(w-9)^2$?

15.03.2011 22:21 ссылка

Формула помогла не до конца, но я сделал довольно странным способом.
Даже стыдно за такое решение))

15.03.2011 22:24 ссылка

Поясни, пожалуйста)))

15.03.2011 22:30 ссылка

Сразу спрошу мы можем основываться на том, что продолжение КТВ должно иметь тот же наклон, как и линейная функция до нее, это вроде следует из принципа построения) Дальше у нас точно есть точки $(11;60)$ и $(9;64)$, т.к. это точки возможного потребления, для третьего уравнения я взял равенство производных у двух функций (соответственно для того, чтобы у кривых был одинаковый наклон). Решение наверно довольно странное, но оно имеет право на жизнь?

15.03.2011 22:33 ссылка

Ого
Никогда бы мне такое в голову не пришло)

15.03.2011 22:47 ссылка

Сама идея использовать то, что в точке переключения должно быть равенство наклонов (наследуемое от точки касания из первого пункта) - хороша! Это почти очевидно, и я бы не стал "снимать" за отсутствие ее доказательства.

Но точка (9;64) не находится на том участке КТВ, который мы ищем (мы же вроде все согласились, что парабола имеет место при $w>11$!

Точка возможного потребления еще не обязательно лежит на КТВ, правда? Так и получилось в нашем случае с точкой (9;64).

Тебе "повезло": ответ совпал по случайности) Ты с тем же успехом мог взять точку (9;65) (она тоже возможна), но тогда бы ты получил другой ответ!

Так что мораль: для восстановления уравнения некой кривой нужно брать точки, которые гарантированно лежат на ней. Точка возможного потребления - еще не обязательно точка на КТВ.

15.03.2011 22:53 ссылка

Ну тогда можно воспользоваться тем, что сказал Филипп, что $a=-1$ всегда, т.к. технология неизменна)

15.03.2011 22:28 ссылка

Восстановил параболу по трем точкам - вполне нормальный математический прием) Хотя действительно, он здесь не вполне нужен)

Какие точки ты взял?

15.03.2011 22:32 ссылка

Я в принципе тоже восстанавливал по точкам
Только по двум, т.к коэффициент при x^2 =-1, т.к. технология в стране не меняется

15.03.2011 22:34 ссылка

Я из-за этого убил минут 5 на поиск 3 уравнения))

15.03.2011 22:42 ссылка

Одна я чтоли не по точкам подбирала?(

15.03.2011 22:54 ссылка

Коэфф при w^2 сохраняется , тоесть -1
Вершина сдвигается на 9, последний коэфф. ищется подстановкой точки, я так искал.

15.03.2011 22:12 ссылка

Часа мало. Я целый день решал))

15.03.2011 21:59 ссылка

И у меня)

Алексей Филиппов

15.03.2011 22:39 ссылка

В целом у меня остались сомнения по задаче:
Я так понимаю, что точку w=11 мы получили так: собств производство=2 + Imp=9
А точку w=17 получаем из того что мы обменяли 9*4=36 гаджетов и у нас остается ресурсов на 64 гаджета и ли 6 виджетов (11+6=17).
Но мы же уже произвели 2 виджета, т.е. ресурсов осталось на 60 гаджетов???

15.03.2011 23:16 ссылка

Точку 17 мы получаем на оставшиеся возможности КПВ.

Араик Косян

15.03.2011 22:43 ссылка

Ну наверное предполагается, что мы можем перепроизвести виджеты в гаджеты))

15.03.2011 22:56 ссылка

Мы ничего не перепроизводим. Все проще.
Мы
1) сначала производим, сколько хотим, исходя из своей КПВ;
2) меняем произведенное на что-то другое.

То есть после обмена у нас остается на руках только готовая продукция, никаких "ресурсов".

Точка 11 находится как 2+9, но это еще не вполне объяснение)

Точка 17 находится совсем не как 11+6.

15.03.2011 23:27 ссылка

17 получается так:
мы производим 36 гаджетов, отказываемся от 2 виджетов и получаем что можно произвести 8 виджетов. А на полученные 36 гаджетов получаем в мире 9 импортных - 8+9=17!?

16.03.2011 00:18 ссылка

Да, ОК. Но это просто доказательство того, что точку (0;17) можно получить, еще не доказательство того, что точка (0;17) лежит на КТВ. Почему виджетов точно не может получиться больше 17?

16.03.2011 01:29 ссылка

Мы знаем, что чтобы получить максимальное кол-во виджетов, мы обязательно должны обменять по мировой цене какое-то кол-во гаджетов.
Кол-во гаджетов исходя из КПВ, $g=100-w^2$ значит по мировой цене мы сможем получить $\frac{100-w^2}{4}$ витжетов. Мы так же знаем, что это число полученных витжетов за счет торговли ограниченно 9.
Тоесть $\frac{100-w^2}{4}=<9$ , $W>=8$
Общее кол-во виджетов $X=\frac{(100-w^2)}{4}+w$ (немного странно написано но суть понятна, первое слагаемое, виджеты полученные за счет торговли, а w это произведенные виджеты)
$X`=-\frac{1}{2}w+1=0 =>$ на промежутке (0;2) Функция общих виджетов растет, на от 2 до +бесконечности убывает , поэтому с учетом ограничений $W>=8$ максимум фукнции будет достигаться при $w=8$, а значит максимальное значение `общих виджетов` $X=9+8=17$

16.03.2011 01:32 ссылка

Да, отлично)

16.03.2011 01:34 ссылка

Кстати, мы же брали кусок параболы после луча КТВ тоже на веру так сказать?) Получается его наличие тоже надо доказать?)

16.03.2011 01:40 ссылка

Надо доказать, что это будет именно парабола, и вообще обосновать кусочную форму новой КТВ). Правда, ничего заумного тут нет. Этим обоснованием являются естественные геометрические действия, которые и составляют суть решения задачи.

Кстати, как ты решал первый пункт?

16.03.2011 02:33 ссылка

Если чесно я интуитивно понимаю решение с касанием, но обосновать его не очень могу точно. Поэтому решал так.
Просто прикинул, при какие максимумы получаются если мы производим только один товар.
Из тех же уравнений примерно, что я писал выше, получаем максимизацией, что w=26, g=104.Так как пропорция торговли у нас постоянная => это будет прямая проходящяя через точки (0;104) , (26;0).
Верно?

Андрей Рубин ↑

17.03.2011 21:22 ссылка

А можно так? Альтернативные издержки первого виджета 1, второго 3,значит мы и первый и второй виджет будем производить, получив 8 гаджетов (иначе меньше), при w>=2 будем производить только гаджеты, так как альтернативные издержки больше 4, и на эти гаджеты можем купить больше 1 виджета. Значит макс 104, а при обмене 1 на 4 получаем:g=104-4w

17.03.2011 21:40 ссылка

Рассуждения не очень понятны, хотя по своему духу они правильные.

В этой модели количества не только целые, поэтому анализа альтернативных издержек при увеличении выпуска одного из товаров на единицу недостаточно. Вдруг оптимально остановиться на количестве виджетов, равном 1,573?

Ну и "при w>=2 будем производить только гаджеты" - неверно.

16.03.2011 13:04 ссылка

Оригинально)

И твой метод будет совсем строгим, если получше обосновать, что КТВ будет отрезком прямой. Как только мы это знаем - да, действительно, по двум точкам ее легко восстановить.

16.03.2011 19:14 ссылка

Уравнения которые дают нам точки максимумов КТВ по осям, показывают что оба эти максимума достигаются когда ктв проходит точку w=2,g=96. Поэтому наилучший вариант для нас это наборы (w;g) график которых проходит через (2;96) и касается КПВ. При таком наборе и фиксированной цене обмена ресурсов мы будет получать прямую, крайние точки которой как раз совпадут с (0;26) , (104;0). В остальных точках касания, максимальные а следовательно и все остальные наборы будут меньше нашей точек (w;g) , удовлетворяющим условию g=104-w.

Алексей Шульман

16.03.2011 14:47 ссылка

Леш, а меня убеждал, что тема КТВ вообще не тема, а придуманное нечто Любимовым,Мицкевичем и другими отцами-основателями)))

16.03.2011 23:18 ссылка

Это просто удобный термин, чтобы как-то называть то, что я прошу найти в этой задаче.

Тогда же была в том, что не совсем естественно использовать КТВ при решении задач в духе "две страны торгуют" и запоминать ее как отдельную специальную концепцию. Здесь же данная аббревиатура пришлась к месту. Так что спасибо отцам-основателям)

R K

16.03.2011 17:30 ссылка

А какое количество гаджетов соответствует 10 виджетам на вашей ктв? как это можно получить например?

у меня все получилось также, как и у вас, за исключением ситуации с 10 виджетами.

16.03.2011 23:26 ссылка

10 виджетам соответствуют 64 гаджета. Точку (10;64) можно получить так (в действительности, это единственный способ, как ее можно получить): производим 2 виджета и 96 гаджетов (КПВ позволяет), затем докупаем 8 виджетов за 32 гаджета. У нас остается как раз 96 - 32 = 64 гаджета.

R K ↑

17.03.2011 13:11 ссылка

Спасибо, а то все никак не могла подобрать способ! у меня 63 получалось..