Одна не очень известная фирма-монополист производит витаминки "Экономист". Чтобы произвести Q единиц необыкновенно вкусных и полезных витаминок "Экономист", нужно затратить $ L=2Q^3 + Q^2 + Q $ единиц труда и $ K=Q^3 + 10Q $ единиц капитала, и никак не меньше. Стоимость капитала на конкурентном рынке составляет 2 тугрика. Также фирма платит рабочим заработную плату в размере $W$, всем одинаковую, так как и их она нанимает на совершенно конкурентном рынке труда. Спрос на продукцию фирмы имеет вид $Q=124-P$, фирма является монополистом на рынке витаминок.
1) Выведите функцию общих издержек фирмы $TC(Q)$.
2) Каков размер максимальной прибыли, которую фирма может получить, если стоимость труда составит 4 тугрика?
3) При каких значениях заработной платы фирма будет выпускать на рынок свой полезный и вкусный продукт?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
В третьем я рассуждал так: издержки на капитал - тоже относятся к переменным значит $AVC=2Q^2+2Q+w(2Q^2+Q+1)$
теперь при том же оптимальном Q найдём точку при которой AVC касается P(Q) (а точнее найдём это критическое w).
w=13.7 Значит наш монополист останется при w<13.7. А у Тимура получается при w<104 . не пойму где у меня ошибка.
А может быть в условии) Потому что $ AVC = 2Q^2 + 20 + w(2Q^2 + Q + 1) $ =)
может быть во втором пункте речь идёт об оптимальном выпуске при w=4?
Перерешал но ответ мой сильно не изменился w<11.9
$ P(Q) = f(Q); f_{кас}(Q) = f(Q) = AVC(Q_{0}) + AVC'(Q_{0})(Q-Q_{0}) $.
А можно как Тимур:
$ \frac{\delta AVC}{\delta Q} > 0 $, а $ \frac{\delta P}{\delta Q} < 0 $, поэтому как такового касания и не будет.
Тимур а как ты определял w<104?
пишем прибыль втупую:
$Pr=(104-w)*Q-(1+w)*Q^2-(2*w+2)*Q^3$
Для удобства заменяем $a=w+1$ и пишем
$Pr=(105-a)*Q-a*Q^2-2*a*Q^3$
замечаем, что $Pr(0)=0$
$Pr'(Q)=(105-a)-2a*Q-6*a*Q^2$
это парабола ветвями вниз, соответственно если корней нет, то функция прибыли убывающая, то есть после Q=0 будут только отрицательные значения. Значит корни есть и дискриминант больше 0
$D=4*a^2-24*a*(a-105)=2520a-20*a^2$
значит, a<126, но не в этом соль.
$Q=(2*a+-sqrt(D))/(-12*a)$
рисуем график прибыли, которая при Q очень отрицательном очень большая, а при Q очень положительном очень маленькая, а так же у которой производная имеет два корня.
один из этих корней отрицательный, соответственно если второй тоже отрицательный то Q=0 находится на убывающем участке графика прибыли и он опять ничего не выпускает.
значит, второй положительный и тогда 0 находится между двумя корнями производной, соответственно локальным минимумом прибыли и максимумом, то есть Q=0 на возрастающем участке а значит есть положительные значения прибыли.
$Q=(2*a+sqrt(D))/(-12*a)$ - это точно отрицательный корень, т.к. числитель >0, знаменатель <0
$Q=(2*a-sqrt(D))/(-12*a)>0$
$2*a-sqrt(D)<0$
$4*a^2