Существует ли функция спроса такая, что ее дуговая эластичность равна (-2) на любом ценовом интервале?

Комментарии

эл= (dQ/dP)(P/Q)
функция спроса должна задаваться в таком случае гиперболой:
Q=x/(P^2)
(dQ/dP)=-2P^(-3)x
эл=[-2P^(-3)x](P/(x/P^(-2)))
после математических преобразований получаем, что:
эл=-2
Ч.Т.Д.

Ответ: любая f-ция спорса задаваемая Q=x/(P^2) будет иметь постояную эластичность равную -2

То, что существует функция с постоянной ТОЧЕЧНОЙ эластичностью, равной (-2), известно давно и неоднократно использовалось. Задача же в том, чтобы выяснить, возможно ли такое, чтобы постоянной оставалась ДУГОВАЯ эластичность. Будь внимательнее!
Та эт я понял, что все знают про гиперболу и ее эластичность=) я с самого начала видел, что спрашивается именно дуговая эластичность.
Эл дуговая может расчитываться как отношение разности к меньшей величине:
эл= (dQ/dP)(Pmin/Qmin)
Pmin-меньшая величина цены
Qmin-меньшая величина количества
и при f(Р)=x/(P^2) условие выполняется
Откуда ты взял такое определение дуговой эластичности?
Она, напоминаю, равна
$\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1}\cdot\frac{P_1+P_2}{Q_1+Q_2}$.
И только так.
Ну я же писал в прошлой задачи по поводу разных формул дуговой эластичности, и поэтому не только так. Вообще эластичность можно определят разными способами, тот, что у вас это по средней точке или еще ее называют срединная так как [(p1+p2)/2]/[(q1+q2)/2]- т.е находим среднюю точку.
А если пользоваться формулой вашей, то наверное не получится одинаковой эластичности -2, тк надо чтобы тангенс угла наклона был равен 2 и чтобы сумма P1+P2=Q1+Q2
Эластичность действительно бывает разная. Но все-таки дуговая эластичность есть только одна. И во всех олимпиадных задачах она всегда определялась и будет определяться весьма конкретно. Ну да, дуговая эластичность функции $Q=\frac{a}{P^2}$ совсем не (-2), про это на сайте есть целая задача. Но это не значит, что нет какой-то функции, для которой она все-таки постоянна и равна (-2).
Я не знаю, насколько оно Вам понравится, но попробую.

Эластичность на любой дуге должна равняться -2. Рассмотрим такую дугу, на которой величина $p_2 - p_1$ стремится к 0. При этом, т.к. $q$ есть не что иное как функция от цены, то $q_2 - q_1$ тоже предельно мала. Тогда дуговая эластичность стремится к точечной (т.к. отношение величин $p_2 + p_1$ и $q_2 + q_1$ стремится к отношению $\frac{p_1}{q_1}$, а отношение $\frac{q_2 - q_1}{p_2 - p_1}$ является производной. Тогда получается, что точечная эластичность есть крайний случай дуговой и тоже равняется -2 на любом ценовом интервале! Ну про функцию с постоянной точечной эластичностью -2 мы все уже знаем)))) Поэтому я думаю, что искомой функции не существует!

Назвать это решением, вообще-то, нельзя в силу его нестрогости. Но во сколько-нибудь баллов ход мысли я бы оценил! Ищи строгое решение (или пример такой функции).
Лёша, отличие приведенного решения от абсолютно строгого только стилистическое. То есть довести это решение до абсолютно строгого ничего не стоит. Я попробую это сделать.
Предположим сначала, что функция спроса непрерывна. Зафиксируем $p_0$ и рассмотрим последовательность точек $p_n$, стремящуюся к $p_0$. Имеем последовательность дуговых эластичностей: $E_n=\frac{Q(p_n)-Q(p_0)}{p_n-p_0}\frac{p_n+p_0}{Q(p_n)+Q(p_0)}$
По условию все члены этой последовательности равны константе, а значит и её предел равен той же самой константе. Но поскольку $Q(p)$ непрерывна, то $Q(p_n)$ стремится к $Q(p_0)$, и тогда правый множитель стремится к $\frac{p_0}{Q(p_0)}$, а $E_n$, в свою очередь, - к точечной эластичности. Но предел $E_n$ мы уже нашли - он равен той самой константе. Значит, если дуговая эластичность равна константе, то точечная эластичность в любой точке равна той же константе. У функции $Q={A\over p^2}$ дуговая эластичность не константа, и это завершает доказательство.

Если же функция спроса не непрерывна, то покопавшись немного, можно установить, что это противоречит постоянной дуговой эластичности. Если у кого-то не получится, могу написать подробнее.

А White_brother'у я бы поставил полный балл, т.к. идейно всё верно, и дело лишь в том, что он еще не изучал матанализ.

Кстати, с помощью замеченного им факта можно продвинуться чуть дальше: отыскать-таки функции с постоянной дуговой эластичностью, пусть и не равной -2. Кто попробует?

Убедил. К тому же я, когда писал, что поставил бы "сколько-нибудь баллов", не уточнил, сколько именно. Может, я имел в виду максимальный балл $-\varepsilon$?
Я, если честно, все равно считал свое решение правильным, спасибо, что доказали мне это. =)
White_brother, не так не пойдет ведь если Р2-Р1 стремится к нулю, то это точечная эластичность, точечная эластичность по сути тоже сапмое что дуговая только приращение аргумента стремится к нулю, поэтому мы так не можем рассматривать, и точечная по сути не может являтся частным случаем.

Я тоже думаю что ее не существует, тк не придумал ее))) и все же, Алексей Суздальцев, скажите существует или нет такая функция, а мы дакажем существование или несуществование))))

И все-таки повторюсь читайте Селищева, он предлагает 4 варианта дуговой эластичности, и не только он...)

Еще раз внесу ясность. Вне зависимости от мнений авторов любых учебников, в олимпиадах по экономике под дуговой эластичностью мы будем понимать то, что всегда понимали:
$E=\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1}\cdot\frac{P_1+P_2}{Q_1+Q_2}$. Не нужно плодить лишние формулы. Они не улучшат наше понимание и без того простой концепции эластичности.
Ну а насчет того, существует все-таки такая функция или нет... Не зря же я сказал, что рассуждения White Brother'a чего-то стоят.
у меня такое решение.
допустим,что такая функция существует.тогда надо рассмотреть три точки,которые принадлежат графику функции:1,2,3.для каждых двух записать формулу дуговой эластичности.получим систему 3 равенств.выразив из одного из них Р1,Р2 или Р3,подставив в другое,получим противоречие с оставшимся равенстом.то-есть наше допущение неправильно,поэтому такой функции не сушествует.
1,2,3 - у тебя количества? В любом случае, хочется поподробнее.
1,2,3-это точки,с координатами соответствено(P1,Q1),(P2,Q2),(P3,Q3).поподробнее я сейчас пишу.
допустим, что такая функция существует. тогда надо рассмотреть три точки, которые принадлежат графику функции, соответственно(P1,Q1),(P2,Q2),(P3,Q3).
Тогда можем записать:
((Q_2-Q_1)*(P_2+P_1))/((Q_2+Q_1)*(P_2-P_1))=-2;
((Q_3-Q_1)*(P_3+P_1))/((Q_3+Q_1)*(P_3-P_1))=-2;
((Q_3-Q_2)*(P_3+P_2))/((Q_3+Q_2)*(P_3-P_2))=-2;
Для облегчения введем замены
Q_1=a;
Q_2=b;
Q_3=c;
P_1=x;
P_2=y;
P_3=z;
После математических преобразований получаем:
x*(b+3a)=y*(3b+a);
y*(c+3b)=z*(3c+b);
x*(c+3a)=z*(3c+a);
выражаем из первого тождества х и подставляем в третье:
(3b+a)*(c+3a)*y=z*(3c+a)*(b+3a);
А второе равенство:
y*(c+3b)=z*(3c+b);
поделим эти два равенства друг на друга, получим:
(3c+a)* (b+3a)* (c+3b)= (3b+a)*(c+3a)* (3c+b);
Раскрыв скобки и проведя математические преобразования, получаем:
a*(c^2-b^2)+b*(a^2-c^2)+c*(b^2-a^2)=0;
возьмем что точки 1,2,3 расположены на расстоянии w друг от друга(мы это можем сделать так, как эти точки-произвольные, и взяв такие объемы, мы можем подстроить под них цены),то-есть
b=a+x;
c=a-x;
подставим в полученное тождество, проведем математические преобразования(раскроем скобки):
x^2=0;
x=0;
то-есть, эти точки только могут совпадать, что противоречит термину дуговая эластичность, поэтому такой функции ,удовлетворяющей даное условие, не существует.
Валерий молодец. Но можно решить задачу гораздо короче.
Первоначально данная задача была выложена на сайте без решения, и в комментариях вы можете посмотреть, как проходил процесс ее решения пользователями сайта.
Ну теперь нам всем точно ясно, что, раз дуговая эластичность функции является постоянной величиной, то точечная эластичность также является постоянной величиной (той же самой, если быть точным), поэтому поиск такой функции следует проводить в семействе функций $Q=\frac{A}{P^n}$. В общем виде у меня найти такие функции не удалось, но вот для n=1 дуговая всегда равна точечной. Для n=2 на сайте уже все написали, для n=3 у меня вышло то же самое: дуговая всегда меньше точечной. Так что могу предположить, что только для нашей "волшебной" функции $Q=\frac{A}{P}$ возможно постоянство дуговой эластичности.
Ваша гипотеза "почти" верна:) Я добавил на сайт задачу, в которой предлагается найти все функции с постоянной дуговой эластичностью (кстати, не обязательно функции спроса). Попробуйте поискать другие функции, помимо $Q={A\over P}$, а главное, доказать, что других функций с постоянной дуговой эластичностью, помимо тех, что вы перечислили, нет.