Добровольное финансирование общественного блага

b)
В данном исходе $u_i = X - x_i^2 = n \cdot \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{n}{2} - \frac{1}{4}$
Попробуем максимизировать сумму полезностей всех агентов:
$\sum\limits_{i=1}^n u_i = nX - x_1^2 - \dots - x_n^2 = n(x_1 + \dots + x_n) - x_1^2 - \dots - x_n^2 =$
$= nx_1 - x_1^2 + nx_2 - x_2^2 + \dots + nx_n - x_n^2 \to \max\limits_{x_1, x_2, \dots, x_n \ge 0}$

Максимизировать сумму функций, каждая из которых зависит от своей переменной, — всё равно что максимизировать каждую из них по отдельности.
$nx_1 - x_1^2 \to \max\limits_{x_1 \ge 0}$
⌒ (парабола с ветвями вниз)
$n = 2x_1$ ; $x_1^* = \frac{n}{2}$

Аналогично $\forall i \; x_i^* = \frac{n}{2}$
Тогда $u_i = X - x_i^2 = n \cdot \frac{n}{2} - \left(\frac{n}{2}\right)^2 = \frac{n^2}{2} - \frac{n^2}{4} = \frac{n^2}{4}$
Сравним с полезностью в пункте a):
$\frac{n^2}{4} \lor \frac{n}{2} - \frac{1}{4} \;; \quad n^2 - 2n + 1 \lor 0 \;; \quad (n-1)^2 \ge 0$, причём $(n-1)^2 > 0$, если $n > 1$.

Значит, если агентов $> 1$, то полезность каждого агента вырастет. Значит, исход в п. a) был неэффективным.

c)
Исход, максимизирующий сумму полезностей всех агентов, всегда эффективен (это очевидно из определения эффективности). (Хотя могут быть и другие эффективные исходы).