Неравенство олигархов

Задача

Региональный этап ВОШ — 2017

Средняя: 8.6 (48 оценок)

Алексей Суздальцев

24.01.2017, 20:13 (Алёна Захарова)
19.01.2019, 22:29

(12)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Кривая Лоренца в стране $А$ описывается уравнением $Y = X^2$; иными словами, доля $X ∈ [0; 1]$ наиболее бедного населения получает долю $X^2$ всего дохода общества.

(12 баллов) Назовем $10\%$ богатейших жителей страны олигархами. Выведите уравнение кривой Лоренца, отражающей распределение доходов среди олигархов. Иными словами, определите, какую долю $y$ суммарного дохода всех олигархов получает доля $x$ наиболее бедных олигархов. Что больше –– степень неравенства доходов среди олигархов или степень неравенства доходов во всей стране? (Степень неравенства будем измерять с помошью коэффициента Джини.)
Проверьте себя: полученная вами кривая Лоренца (как и всякая кривая Лоренца) должна проходить через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$.
(10 баллов) В стране $B$ кривая Лоренца описывается уравнением $Y = 1 − \sqrt{1 − X}$. Выведите уравнение кривой Лоренца, отражающей распределение доходов среди олигархов страны $B$ (олигархами здесь также называются $10\%$ богатейших жителей). Что больше –– степень неравенства доходов среди олигархов страны $B$ или степень неравенства доходов во всей стране?
(8 баллов) Что больше – степень неравенства доходов среди $10 \%$ богатейших или среди $1 \%$ богатейших жителей страны $B$? Среди $1 \%$ богатейших или среди $0,1\%$ богатейших жителей страны $B$?

Решение и ответ

Чтобы определить, какую долю $y$ суммарного дохода всех олигархов получает доля $x$ наиболее бедных олигархов, можно для каждого значения $x$:
1) определить, какую часть составляет доход всех олигархов общем доходе страны;
2) определить, какую часть составляет доход доли $x$ наиболее бедных олигархов в общем доходе страны;
3) разделить второй показатель на первый.

$90$% населения, не входящие в группу олигархов, получают долю $Y(0,9) = 0,81$ всего дохода, а олигархи, следовательно, получают $1 − Y(0,9) = 0,19$ всего дохода.
Доля $x$ наиболее бедных олигархов составляет долю $0,1x$ от всего населения страны. При этом вместе с $90$% неолигархов они составляют $0,9+0,1x$ населения и получают $Y(0,9+0,1x) = (0,9 + 0,1x)^2$ всего дохода; без учета неолигархов они получают $Y(0,9 + 0,1x) − Y(0,9) = (0,9 + 0,1x)^2 − 0,9^2 = 0,18x + 0,01x^2$ всего дохода.
Значит, в общем доходе всех олигархов доход $x$ наиболее бедных из них составляет
$$y = \frac{Y(0,9 + 0,1x) − Y(0,9)}{1 − Y(0,9)} = \frac{0,18x + 0,01x^2}{0,19} = \frac{18}{19}x + \frac{1}{19}x^2$$
Это и есть искомое уравнение кривой Лоренца.
Сравнить степень неравенства можно двумя способами.
Способ 1. (Не требует расчета коэффициентов Джини.)
Заметим, что полученная кривая Лоренца лежит ближе к линии абсолютного равенства, чем кривая Лоренца для всей страны: действительно, $\frac{18}{19}x + \frac{1}{19}x^2 > x^2$ для $x ∈ (0; 1)$, так как в этом интервале $x > x^2$. (На Рис. 4.1a новая кривая Лоренца почти неотличима от прямой линии.) Значит, коэффициент Джини распределения доходов среди олигархов меньше, чем коэффициент Джини для всей страны. Среди олигархов степень неравенства доходов меньше, чем в стране в целом.

Способ 2. Рассчитаем коэффициенты Джини. Во всей стране коэффициент Джини равен
$$\left(\frac{1}{2} - \int_{0}^{1}X^2dX\right) : \frac{1}{2} = 1 - 2\int_{0}^{1}X^2dX = 1 - 2\left(\frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3}\right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$.
Среди олигархов кoэффициент Джини равен
$$\left(\frac{1}{2} - \int_{0}^{1}\left(\frac{18}{19}x + \frac{1}{19}x^2\right)dx\right) : \frac{1}{2} = 1 - 2\int_{0}^{1}\left(\frac{18}{19}x + \frac{1}{19}x^2\right)dx = 1 - 2\left(\frac{18}{19} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{19} \cdot \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{57}$$
Поскольку $\frac{1}{57}<\frac{1}{3}$, среди олигархов степень неравенства доходов меньше.

Действуя по аналогии, получаем, что искомая кривая Лоренца будет иметь вид
$$y = \frac{Y(0,9 + 0,1x) − Y(0,9)}{1 − Y(0,9)} =
\frac{1 − \sqrt{1 − 0,9 − 0,1x} − (1 − \sqrt{1 − 0,9})}{1 − (1 − \sqrt{1 − 0,9})} =\frac{\sqrt{0,1} − \sqrt{0,1 − 0,1x}}{\sqrt{0,1}} = 1 − \sqrt{1 − x}$$
Таким образом, кривая Лоренца распределения доходов среди $10 \%$ богатейших имеет точно такой же вид, как кривая Лоренца в стране в целом! Следовательно, коэффициент Джини распределения доходов среди олигархов точно такой же, как в стране в целом.
Примечание. Для ответа на вопрос не понадобилось рассчитывать сам коэффициент Джини (он равен $1/3$).
Представим себе страну $C$, населенную только олигархами страны $B$. $1$% богатейших жителей страны $B$ являются $10$% богатейших жителей страны $C$ (то есть олигархами среди олигархов). Таким образом, нам нужно сравнить неравенство доходов в стране $С$ в целом и неравенство доходов среди олигархов страны $C$.
В пункте 2 мы решили точно такую же задачу для страны $B$; при этом мы вывели, что в стране $C$ кривая Лоренца имеет точно такой же вид как в стране $B$. Значит, и ответ будет таким же: кривая Лоренца среди олигархов страны $C$ будет иметь такой же вид, как в стране $С$ в целом, и коэффициент Джини будет тем же самым. Продолжая по аналогии, получаем, что и среди $0,1$% богатейших жителей страны $B$ ($1$% богатейших жителей страны $C$) коэффициент Джини будет точно таким же.

Примечание:

Распределение доходов в богатейших слоях общества в реальном мире скорее похоже на распределение доходов в стране $B$, чем в $А$. Во многих странах распределение доходов среди $5—10$% богатейших жителей хорошо описывается кривой Лоренца $y = 1 − (1 − x)^{\alpha}$, где $\alpha ∈ (0; 1)$. Для страны $B$ $\alpha = 0,5$, а, например, в настоящее время в США $\alpha \approx 0,4$. Такое распределение называется распределением Парето в честь итальянского экономиста Вильфредо Парето, который первым обнаружил такую форму распределения доходов более 100 лет назад. Свойство, полученное нами в п.2 и п.3 (кривая Лоренца для $t$% богатейших одинакова для любого $t$) выполняется для любого $\alpha$; этот феномен имеет место и в реальном мире среди обеспеченных слоев населения.

См. также: Фрактал

Все задачи этой олимпиады

Задача	Баллы
Импортозамещение	30
Консультанты	30
Неравенство олигархов	30

10-11 классы

Задача	Баллы
Денег нет, но вы держитесь!	30

В олимпиадах

Баллы

Сложность

Автор

Все задачи этой олимпиады