Дефлятор-2109

Обозначим цену и количество $i$-того товара в 2009 году за $P_i^0$ и $Q_i^0$, в 2109 году – за $P_i^1$, $Q_i^1$. Как можно понять из последнего условия, расходы на каждый из товаров в 2109 году были одинаковы. Обозначим их за $E$, причем $E=P_i^1Q_i^1$ для любого $i$.

Как известно, дефлятор ВВП является индексом цен Пааше, и поэтому

$\begin{array}{l} P = \frac{{P_1^1Q_1^1 + P_2^1Q_2^1 + \ldots + P_{100}^1Q_{100}^1}}{{P_1^0Q_1^1 + P_2^0Q_2^1 + \ldots + P_{100}^0Q_{100}^1}} = \frac{{E + E + ... + E}}{{E\frac{{P_1^0}}{{P_1^1}} + E\frac{{P_2^0}}{{P_2^1}} + \ldots + E\frac{{P_{100}^0}}{{P_{100}^1}}}} = \\ = \frac{{100}}{{\frac{{P_1^0}}{{P_1^1}} + \frac{{P_2^0}}{{P_2^1}} + ... + \frac{{P_{100}^0}}{{P_{100}^1}}}}.\\ \end{array}$

Теперь подставим в это выражение известные из условия темпы роста цен каждого из товаров:

$\begin{array}{l} \frac{{100}}{{\frac{{P_1^0}}{{P_1^1}} + \frac{{P_2^0}}{{P_2^1}} + ... + \frac{{P_{100}^0}}{{P_{100}^1}}}} = \frac{{100}}{{\frac{1}{{(1 \cdot 2)\% }} + \frac{1}{{(2 \cdot 3)\% }} + \frac{1}{{(3 \cdot 4)\% }} + ... + \frac{1}{{(100 \cdot 101)\% }}}} = \\ = \frac{1}{{\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{100 \cdot 101}}}}. \\ \end{array} $

Задача, таким образом, свелась к тому, чтобы найти сумму, стоящую в знаменателе получившегося выражения. Это можно сделать с помощью следующего приема:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{100 \cdot 101}} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}} \right) = \\ = 1 - \frac{1}{{101}} = \frac{{100}}{{101}}. \\ \end{array}$

Значит, дефлятор равен $\frac{101}{100}=1{,}01$, а темп инфляции, рассчитанный на его основе, равен $1\%$.