Волшебный инвестфонд

а) Ответ: общая сумма $1000*2^{10}=1024000$, каждый в отдельности получит $1000*2^{10}/10=102400$. Этой суммы можно достичь, если до самого конца не изымать деньги из фонда. Если кто-либо в какой-то момент снимет часть денег, то они перестанут удваиваться и общая сумма сократится. Возможно и другое понимание условия: если в день размещения сумма не удваивается, а фонд закрывается на 10-й день, то все ответы в два раза меньше.
б) Если каждый экономист максимизирует сумму денег, которая остается у него в конце, то реализации исхода пункта а) ожидать не стоит. Любой экономист может в одиночку увеличить свой доход, если заберет со счета всю сумму не раньше 7-го дня. Например, если забрать всю сумму за день до закрытия фонда и дележа денег, можно получить значительно больше, чем при дележе после закрытия.
Примечание: заметим, что это не всегда так: например, если бы деньги в фонде увеличивались не в 2 раза, а в 20, то забирать даже всю сумму, не дожидаясь дележа, было бы никому не выгодно.
в) Сумма, которая есть у каждого экономиста в конце концов, складывается из того, что он изъял (раз сумма меньше максимальной, то изъятия были), и того, что досталось ему при финальном дележе. Раз сумма на вкладе меньше максимальной, то изъятия имели место. Приведем следующий вариант поведения, увеличивающий сумму на руках каждого экономиста по сравнению с этим случаем.
Рассмотрим любое изъятие, совершенное до закрытия фонда. Пусть сумма этого изъятия равна X и оно совершено за N дней до конца экономистом K. В альтернативном варианте экономист K не изымает деньги, а всё остальное происходит без изменений. В этом случае сумма у него на руках уменьшается на X (по сравнению с исходной ситуацией), а сумма в общей копилке увеличивается на $X \times 2^N$. После дележа у всех экономистов, кроме K, станет на $X \times 2^N/10$ больше, а сумма экономиста K изменилась на на $X \times (2^N/10-1)$. Если величина этого изменения больше 0 (то есть $N > 3$), то искомый вариант поведения предъявлен (даже самому экономисту K было лучше просто не снимать деньги). Если же она меньше 0, то пусть каждый из оставшихся 9 экономистов сделает экономисту K подарок в размере больше $X \times (1 – 2^N/10)/9$ (тогда общая сумма подарков превысит потери экономиста K), но меньше $X \times 2^N/10$ (тогда от подарков не пострадают остальные). Легко убедиться, что числа, удовлетворяющие обоим неравенствам, существуют при любом N от 1 до 3 (например, одним из таких чисел является $X/6$).