10 класс

1. Блиц

В первом задании олимпиады вам предстоит решить три не связанных друг с другом коротких задачи.

(а) (4 балла) В январе 2025 года китайская компания DeepSeek представила чат-бота на основе собственной большой языковой модели. По заявлению компании, новая технология обучения модели потребовала в несколько раз меньше вычислительных ресурсов, чем у конкурентов. Это вызвало ожидания снижения спроса на графические процессоры, и акции NVIDIA — крупнейшего их производителя — резко упали.

Рассмотрим фирму «Джевонс и Ко», использующую чипы NVIDIA для производства нейросетевых решений. Чтобы выпустить $q$ единиц продукта, фирма использует $x$ чипов, производственная функция $q = a\sqrt{x}$, где $a>0$. Рыночная цена продукта составляет 2 д.е. за единицу, один чип стоит 1 д.е. Распространение новой технологии повышает параметр $a$ с 2 до 5. Рассчитайте, как изменится количество закупаемых фирмой чипов, и содержательно объясните направление этого изменения.

(б) (4 балла) Из города А в город Б идут две дороги: старая и новая, проезд по ним бесплатный. Если по старой дороге едут $x$ машин в час, то время в пути между городами составляет $40+\frac{x}{20}$ минут. Если по новой дороге едут $y$ машин в час, то время в пути между городами составляет $30+\frac{y}{30}$ минут. Суммарный поток по двум дорогам составляет 1000 машин в час. Каждый водитель выбирает дорогу так, чтобы минимизировать сумму денежной ценности своего времени в пути (минуту своего времени он ценит в 10 рублей) и платы за проезд (если она есть). Время в пути водитель узнаёт через навигатор, использующий текущие данные загруженности дорог; небольшой собственный вклад в загруженность дороги никто не учитывает.

В министерстве транспорта заметили, что новая дорога слишком загружена, и решили сделать её платной. Какую плату $p$ за проезд по новой дороге следует установить, чтобы минимизировать суммарное время в пути всех водителей на двух дорогах?

(в) (4 балла) В деревне есть 60 крестьянских хозяйств, каждое из которых располагает 1 единицей земли и 5 единицами рабочего времени. Жители деревни умеют выращивать пшеницу и лён, а также выпекать хлеб и изготавливать ткань. Производство единицы пшеницы требует 5 единиц рабочего времени и 1 единицы земли, а производство единицы льна требует только 1 единицы земли и не требует труда. Производство единицы хлеба требует 1 единицы пшеницы и 1 единицы рабочего времени. Производство единицы ткани требует единицы льна и 4 единиц рабочего времени. Опишите формулой вида $y=f(x)$ (где $x$ — хлеб, $y$ — ткань), как устроена КПВ этой экономики.

Решение

(а) Прибыль фирмы составляет \[\pi(x)=pq-cx=2a\sqrt{x}-x.\] Это квадратичная функция (парабола ветвями вниз) от $\sqrt{x}$, следовательно, максимум достигается при $\sqrt{x}=a$, откуда $x=a^2$. Таким образом, спрос «Джевонс и Ко» на чипы до появления DeepSeek (при $a=2$) был равен $4$, а после появления DeepSeek ($a=5$) увеличился до $25$. Объяснение. В результате появления DeepSeek $MRP_x$ (предельная отдача от использования чипов в денежном выражении) увеличилась: каждый следующий чип стал приносить больше выпуска, т.е. больше выручки при тех же ценах. Поскольку затраты на чипы не изменились, выгодно расширить производство, пока использование дополнительных чипов не перестанет окупаться. Таким образом, несмотря на повышение эффективности использования ресурса, его потребление выросло. Этот эффект известен в экономике как парадокс Джевонса (например, технология, экономящая топливо, ведёт к повышению его суммарного расхода).

(б) Пусть транспортные потоки распределились так: $y$ машин в час едут по новой дороге, а $1000-y$ машин в час — по старой дороге. Если плата за пользование новой дорогой составляет $p$, то суммарные денежно‑временные затраты водителя, выраженные в рублях, составляют $400+\frac{1000-y}{2}$, если он едет по старой дороге, и $300+\frac{y}{3}+p$, если он едет по новой дороге. Водитель поедет по новой дороге, если $300+\frac{y}{3}+p<400+\frac{1000-y}{2}$, т.е. если $y<720-\frac{6}{5}p$, и по старой, если $y>720-\frac{6}{5}p$. Если $y<720-\frac{6}{5}p$, то водители, выезжающие на развилку между новой и старой дорогой, выберут новую дорогу, так что поток $y$ по ней будет расти, пока не станет равен $720-\frac{6}{5}p$, и до этого же значения он будет падать, если $y>720-\frac{6}{5}p$. Следовательно, спрос на пользование новой дорогой при стоимости проезда $p$ составляет $y(p)=720-\frac{6}{5}p$. При потоке $y$ по новой дороге суммарные потери времени всех водителей составляют \[(1000-y)\left(40+\frac{1000-y}{20}\right)+y\left(30+\frac{y}{30}\right)=\frac{5}{60}y^2-110y+90000.\] Это квадратичная функция (парабола ветвями вверх), достигающая минимума по $y$ при $y=660$. Следует установить такую стоимость проезда $p$, чтобы достичь оптимальной загрузки новой дороги $y(p)=720-\frac{6}{5}p=660$. Отсюда оптимальная стоимость проезда $p$ составляет 50 рублей.

(в) Пусть в деревне произведено $x$ единиц хлеба. Это означает, что произведено не менее $x$ единиц пшеницы и на производство хлеба затрачено не менее $x$ единиц рабочего времени. На всю производственную цепочку, дающую на выходе хлеб, затрачено не менее $x$ единиц земли и не менее $6x$ единиц рабочего времени. Следовательно, на производственную цепочку, дающую на выходе ткань, остаётся не более $60-x$ единиц земли и не более $300-6x$ единиц рабочего времени. Из такого количества ресурсов можно произвести не более $60-x$ единиц льна, т.е. не более $\min\{60-x,75-\frac{3}{2}x\}$ единиц ткани. Этот объём производства ткани достижим, так как в предыдущих рассуждениях, где нужно, можно заменить «не менее» и «не более» на «ровно». Хлеба не может быть произведено больше 50 единиц, а ткани — больше 60 единиц. Ответ: $y=\min\{60-x,75-\frac{3}{2}x\}$, $0\le x\le 50$.

Схема проверки

(а) К1 Получен вывод, что использование чипов увеличилось с 4 до 25 → 2 балла
К1.1 Арифметическая ошибка → минус 1 балл
К1.2 Не подставлены значения $a$ → минус 1 балл
К2 Дано содержательное объяснение → 2 балла
К2.1 Правильные объяснения (2 из 2 баллов) используют:
повышение $MRP_x$
повышение предельной производительности
снижение издержек на производство единицы продукции
повышение эффективности производства
К2.2 Неправильные объяснения (0 из 2 баллов):
упоминание $MR$ без формулы ($MR=p=2$ не изменилась)
стоимость акций упала (не объясняет эффекта)
увеличение объёма производства (без доп. пояснений)
при росте $x$ выручка растёт (без доп. пояснений)
(б) К3 Получен спрос $y(p)=720-\frac{6}{5}p$ или эквивалентное выражение → 1 балл
К4 Правильно выписана целевая функция (суммарные потери времени) → 1 балл
К5 Найдено оптимальное распределение потоков (или дошли до К6 без этого) → 1 балл
К6 Найдена оптимальная плата за проезд $p=50$ → 1 балл
К7 Арифметические ошибки, не влияющие на качественные выводы → минус 1 балл
К8 Арифметические ошибки, влияющие на качественные выводы (например, $p=0$ или $p<0$) → минус 2 балла
К9 Использование числа 999 → минус 1 балл (из 1000 машин/час вычитается одна машина)
(в) К10 Получена формула для куска КПВ $y=60-x$ → 1 балл
К11 Получена формула для куска КПВ $y=75-\frac{3}{2}x$ → 1 балл
К12 Правильно найдена взаимосвязь кусков → 2 балла
К12.1 Есть рисунок, нет формулы $y=f(x)$ → минус 1 балл
К12.2 Найдена точка излома, но взята верхняя огибающая вместо нижней → 0 из 2 баллов
К12.3 Ошибка в нахождении ключевых точек → минус 1 балл
К12.4 Нет указания, что $x\ge 0$ и $x\le 50$ → без снижения
К13 Арифметические ошибки в К10, К11 (в том числе, если один кусок оказался ниже другого и это было проверено) → минус 1 балл

2. Кредитные линии и их эффекты

Кредитные линии — важный элемент финансовой системы, позволяющий фирмам гибко получать финансирование от банков. По кредитной линии средства можно получить в любой момент, когда это будет необходимо, в пределах заранее согласованного лимита. (Лимит можно использовать по частям.)

(а) (2 балла) Кредитные линии часто рассматриваются как способ защиты от шоков ликвидности. Объясните, каким образом они помогают компаниям справляться с временным дефицитом денежных средств, в отличие от обычных кредитов.

(б) (3 балла) Данные показывают, что использование кредитных линий статистически чаще наблюдается у фирм с устойчивыми денежными потоками, тогда как при высокой волатильности потоков компании реже используют кредитные линии и чаще создают собственные резервы ликвидности. Предложите механизм, объясняющий, почему наблюдается такая зависимость.

(в) (4 балла) Банки нередко взимают с заемщиков плату за неиспользованную часть лимита по кредитной линии.

(г) (3 балла) Рассмотрим поведение банков и заемщиков во время кризиса. Фирмам в этих условиях будет необходимо больше заемных средств для поддержания своей основной деятельности. Какой мотив помимо этого может стимулировать фирмы активно использовать ранее одобренные кредитные линии? Как большой объем одобренных кредитных линий сказывается на финансовой устойчивости экономики в ситуации кризиса?

Решение

(а) Кредитные линии позволяют фирмам оперативно получать средства от банков в моменты временных кассовых разрывов или неожиданных негативных шоков ликвидности. Механизм заключается в следующем: - Фирма заранее заключает договор с банком и имеет гарантированный лимит доступных средств. - При возникновении отрицательного шока (например, внезапного падения продаж или резкого увеличения издержек), фирма может немедленно получить необходимую сумму в рамках уже одобренного лимита, не проходя заново длительную процедуру кредитной оценки. - Это оперативно устраняет проблему нехватки ликвидности и позволяет компании стабилизировать её финансовое положение, избежав более серьёзных последствий (например, дефолта). В случае с обычными кредитами в условиях отрицательного шока ликвидности получение кредита может быть затруднено (ограничение средств у банков, фирма выглядит как плохой заемщик), и весь описанный выше механизм не работает. Таким образом, кредитные линии помогают компаниям сгладить краткосрочные негативные колебания и повышают их финансовую устойчивость. Комментарий: Аргумент, что кредит дороже, чем кредитная линия, не засчитывался, поскольку более дорогой заем все еще позволяет получить финансирование и преодолеть шок ликвидности.

(б) Банки довольно хорошо информированы относительно состояния компаний (например, требуют предоставления финансовой отчетности). Механизм можно представить следующим образом: - Компании с устойчивыми денежными потоками с точки зрения банка являются более стабильными и предсказуемыми, их риски оцениваются как более низкие, и поэтому предлагаемые банками условия по кредитным линиям лучше. - Компании же с неустойчивыми потоками сталкиваются с высокой неопределённостью, поэтому выдаваемые им займы будут более рискованными. Банки будут предлагать менее выгодные условия, чтобы компенсировать более высокие риски заемщика (например, будут устанавливать более высокую процентную ставку). - Поскольку у компаний с неустойчивыми денежными потоками условия по кредитованию хуже, таким компаниям сравнительно выгоднее держать собственные ликвидные резервы (денежные средства на счетах) и использовать их при возникновении необходимости, чем пользоваться кредитными линиями по невыгодным условиям. Комментарии по проверке: - Аргументы про то, что фирма с волатильными потоками будет не хотеть брать на себя дополнительный кредитный риск не засчитывался, поскольку при одинаковых ставках рост кредитного риска для волатильных фирм не очевиден. - Аргумент про то, что фирма с волатильными потоками не может посчитать, какой кредит выгоднее, не засчитывался - Аргумент про то, что много кредитов --- это плохо, портится кредитная история, не засчитывался, поскольку много раз взять из одной кредитной линии аналогично тому, чтобы много раз взять кредиты. - Рассуждение о том, что волатильность --- это чаще спады, не верное. Волатильность --- это про масштаб колебаний, а не их частоту. - Свои средства бесплатные и безлимитные --- также неверная логика. У своих средств есть (возможно высокая) альтернативная стоимость, и ровно поэтому компании может быть выгоднее брать кредит, чем инвестировать свои средства.

(в) Плата за неиспользованный лимит назначается банком, поскольку он вынужден резервировать часть своих средств на случай обращения заемщика, а значит не может получать от них доход. Почему предложение различных опций выгодно банку? Механизм выглядит следующим образом: \begin{enumerate} - Сегментация заемщиков по рискам: За счет наличия возможности выбора из комбинации низкой процентной ставки при высокой плате за неиспользованный лимит или низкой платы за неиспользованный кредит при высокой процентной ставке заемщики сегментируются на отдельные группы (более склонных активно использовать кредитную линию и менее склонных). - Эффективное ценообразование по типам клиентов: Фирмы, более склонные к использованию КЛ, предпочтут линию с более высокой платой за неиспользование, но с низкой процентной ставкой. Компании с низкой вероятностью использования лимита предпочтут высокие проценты, и более низкую плату за неиспользованный лимит. При единой цене часть компаний из той и другой группы предпочла бы отказаться от использования кредитной линии, что снизило бы доходы банка. - Дополнительный эффект от сегментации: Выявление банком типа заемщика позволяет ему предлагать более выгодные условия и по другим кредитным продуктам, что позволит также увеличить прибыль. \end{enumerate} Комментарии по проверке: - Аргумент про то, что банк ставит плату потому что может, не принимается, поскольку плата в этом случае сбилась бы до нуля за счет конкуренции - За рассуждения с точки зрения фирмы без привязки к банку, что плата стимулирует фирму брать именно тот лимит, который ей нужен --- 0 баллов, поскольку лимит устанавливается договором - Банк стимулирует платой за неиспользованный лимит использовать лимит - 0 баллов, поскольку ставка по кредиту обычно выше, чем по неиспользованному лимиту. - Если указан неправильный тип дискриминации, то баллы не ставились - Рассуждения о том, что у банка станет больше клиентов, недостаточно. Должно быть обоснование того, за счет чего это произойдет и почему при этом станет больше прибыли у банка (например, подходит аргумент, что больше клиентов в результате предложения нескольких опций). - Ответы вида «При выдаче опций банк может увеличить общую сумму занимаемых средств за счет тех, кому не подходил бы единственный вариант сделки» оцениваются в 2 балла "--- тут нет описания наличия дискриминации, но есть механизм увеличения прибыли у банков.

(г) Мотив фирм активно использовать линии в кризис: Помимо прямой потребности в средствах для поддержания основной деятельности, фирмы в условиях кризиса сталкиваются с дополнительным мотивом: - Опасение, что банки ограничат доступ к ранее одобренным линиям. Фирмы стараются заранее «выбрать» максимально возможный объем лимита, пока банки не ограничили доступ к средствам. То есть компании берут средства «на всякий случай», формируя буфер ликвидности, чтобы обезопасить себя от потенциального закрытия доступа в будущем. Также засчитывается аргумент про то, что фирма может использовать арбитражную возможность (взять кредитную линию под более низкий процент и получить выгоду от размещения этих средств на лучших условиях). Последствия для финансовой устойчивости экономики: - Из-за того, что фирмы начинают активнее использовать доступные лимиты по кредитным линиям (происходит "Набег заемщиков"), банки могут столкнуться с необходимостью ограничить обычное кредитование (как компаний, так и домохозяйств). - В экстремальном случае активное использование кредитных линий может спровоцировать дефицит ликвидности у банков и даже банковский кризис, если они не способны оперативно привлечь дополнительные ресурсы. Также уместно рассуждение про то, что кредитные линии за счет своей доступности помогают компаниям преодолеть шок, меньше фирм банкротится, они продолжают выплачивать займы банкам, тем самым повышая финансовую устойчивость экономики. Комментарий по проверке: - Монетарная политика и ее эффективность в контексте данной задачи не помогает ответить на ее вопрос. - Аргументы, что фирмы берут лимит, чтобы не платить за неиспользованный лимит, чтобы его не съедала инфляция и т.п., не засчитывались. - Не засчитывались аргументы про падение прибыли у банка. Просто снижение прибылей банков еще не означает, что в экономике возникнут проблемы с финансовой стабильностью. - Не засчитывались ответы, не описывающие переход от реального сектора к финансовому. К примеру, аргумент про то, что меньше фирм банкротится, без уточнений, что это положительно скажется на состоянии банков и финансовой системы. - 1 балл из 2 снижался, если имеется прямое противоречие между мотивом к использованию кредитных линий и последствием наличия большого объема КЛ. Например: «фирмы используют больший объем КЛ, потому что боятся, что у банков не хватит средств, поэтому у банков проблемы; однако если много кредитных линий, то экономика быстрее стабилизируется, потому что фирмы легче получают финансирование».

Схема проверки

\phantom{} - Полностью описан механизм, включающих два основных момента: КЛ обеспечивают оперативный доступ к средствам без повторного одобрения банка; для взятия кредита требуется дополнительное одобрение, а это долго и есть риск неодобрения. - Представлена общая идея с одной из сторон (описание свойств КЛ или кредита), но не раскрывается другая сторона. - Ответ отсутствует или механизм не раскрыт.

\phantom{} - Полностью описан механизм: устойчивые компании имеют низкий уровень риска с точки зрения банка; банки предлагают им лучшие условия; у устойчивых компаний больше стимулов брать КЛ, чем у неустойчивых. - Описана общая идея, но отсутствует один из трёх пунктов механизма. - Приведена общая идея без детального объяснения одного из первых двух пунктов механизма. - Ответ не раскрывает механизм или неверен.

\phantom{} - Полностью раскрыты ключевые элементы: введение платы за неиспользованный лимит, сегментация клиентов, механизм получения банком выгоды от сегментации (эффективное ценообразование или дополнительные эффекты от сегментации). - Не раскрыт или раскрыт некорректно (без уточнений о ненулевой себестоимости резервированных средств) аргумент про введение платы за неиспользованный лимит ИЛИ не раскрыт или раскрыт некорректно механизм сегментации. - Не раскрыт или раскрыт некорректно механизм получения выгоды банком от сегментации ИЛИ не раскрыты или раскрыты некорректно аргументы о введение платы за лимит и работе механизма сегментации. - Раскрыт лишь один из первых двух элементов. - Ответ не соответствует вопросу или некорректен.

\phantom{} - Полностью раскрыты оба аспекта: мотив фирм заранее использовать кредитные линии, влияние на финансовую устойчивость экономики. - Некорректно раскрыт мотив фирм использовать кредитные линии (к примеру, он раскрыт через поддержание текущей деятельности фирмы), либо в решении мотив фирм и выводы о финансовой устойчивости противоречат друг другу. - Идеи поверхностные, описан только мотив фирм использовать кредитную линию. - Ответ не раскрывает аспекты вопроса или некорректен

11 класс

1. Находим цены одних активов через цены других

На фондовом рынке торгуется акция компании X, которая в ближайшие несколько лет не будет платить дивиденды. Цена акции в текущий момент равна \(X_0 = 220\). Кроме того, торгуются безрисковые, бескупонные облигации со сроком погашения через год и номиналом \(22\). Доходность по ним равна \(10\%\) годовых.

Цену акции через 1 год обозначим за \(X_1\) (в текущий момент она неизвестна, и ваши ответы не могут от нее зависеть). Известно, что на рынке отсутствуют возможности для арбитража, откуда следует, что портфели активов, приносящие одинаковый поток доходов через год при каждом \(X_1\), сегодня должны стоить одинаково. Для решения задачи записывайте, как будущий доход от того или иного контракта (возможно, отрицательный) зависит от \(X_1\). Все цены контрактов, которые нужно найти в задаче, — это цены в текущий момент.

а) (4 балла) Если инвестор A купит у инвестора B финансовый контракт 1, то он будет обязан купить у инвестора B одну акцию компании X через 1 год по цене 220. Найдите цену контракта 1.

б) (4 балла) Контракт 2 дает своему владельцу право купить одну акцию компании X через 1 период по цене 220. Контракт 3 дает своему владельцу право продать одну акцию компании X через 1 год по цене 220. Найдите цену контракта 3, если цена контракта 2 в текущий момент равна 30. Подсказка: вам может помочь результат п. а).

в) (4 балла) Теперь рассмотрим экзотический контракт 4, доход от которого зависит от будущей цены акции \(X_1\) так, как показано на графике ниже.


Схематичный график зависимости дохода контракта 4 от \(X_1\).
Кроме того, известны цены других контрактов, которые дают право на покупку или продажу 1 акции компании X через год по определенным ценам:

Контракт Дает право на По цене Цена контракта
5 покупку 150 80
6 покупку 250 10
7 продажу 250 190/11
8 покупку 300 1

Найдите цену контракта 4.

Решение

Обозначим цену контракта \(i\) сегодня как \(p_i\). Цена бескупонной облигации с номиналом 22 через год при доходности \(r=10\%\): \(\frac{22}{1+r}=\frac{22}{1.1}=20\).

а) Цена контракта 1

Контракт 1 обязывает через год купить акцию по 220, значит его будущий доход (payoff) равен
\[
X_1 - 220.
\]
Рассмотрим два портфеля с одинаковым будущим доходом при любом \(X_1\):

  • Портфель A: 1 акция. Будущий доход: \(X_1\).
  • Портфель B: контракт 1 + 10 облигаций. Будущий доход: \((X_1-220)+10\cdot 22 = X_1\).

Доходы совпадают при каждом \(X_1\), значит при отсутствии арбитража цены сегодня равны:
\[
220 = p_1 + 10\cdot \frac{22}{1.1} = p_1 + 10\cdot 20 = p_1 + 200.
\]
Отсюда \(p_1 = 20\).

б) Цена контракта 3 при \(p_2=30\)

Контракт 2 — это опцион колл со страйком 220: payoff \(\max(X_1-220,0)\).

Контракт 3 — это опцион пут со страйком 220: payoff \(\max(220-X_1,0)\).

Заметим тождество для любого \(X_1\):
\[
(X_1-220) + \max(220-X_1,0) = \max(X_1-220,0).
\]
То есть:
колл = форвард (контракт 1) + пут (контракт 3).

По отсутствию арбитража цены сегодня удовлетворяют:
\[
p_2 = p_1 + p_3.
\]
Подставляем \(p_2=30\) и найденное \(p_1=20\):
\[
30 = 20 + p_3 \;\Rightarrow\; p_3 = 10.
\]

в) Цена контракта 4

По графику доход контракта 4 как функция \(X_1\) можно записать так:
\[
f_4(X_1)=
\begin{cases}
0, & X_1 \le 150,\\
2(X_1-150), & 150 < X_1 \le 250,\\
2(350-X_1), & 250 < X_1 \le 300,\\
100, & X_1 \ge 300.
\end{cases}
\]

Контракты 5,6,8 — коллы (право купить), контракт 7 — пут (право продать). Их payoff:

  • 5: \(\max(X_1-150,0)\)
  • 6: \(\max(X_1-250,0)\)
  • 7: \(\max(250-X_1,0)\)
  • 8: \(\max(X_1-300,0)\)

Подберем коэффициенты \(a,b,c,d\), чтобы портфель
\[
a\cdot (5) + b\cdot (6) + c\cdot (7) + d\cdot (8)
\]
давал тот же payoff, что и контракт 4, при любом \(X_1\). Подходящий набор (возможны короткие продажи) такой:
\[
a=2,\quad b=-4,\quad c=0,\quad d=2.
\]
Тогда по отсутствию арбитража цена контракта 4 равна цене этого портфеля:
\[
p_4 = 2\cdot 80 + (-4)\cdot 10 + 0\cdot \frac{190}{11} + 2\cdot 1 = 160 - 40 + 2 = 122.
\]

Если хочется обойтись без отрицательных количеств, можно переписать равенство payoff так:
\[
(4) + 4\cdot (6) = 2\cdot (5) + 2\cdot (8),
\]
откуда сразу:
\[
p_4 + 4\cdot 10 = 2\cdot 80 + 2\cdot 1 \Rightarrow p_4 = 162 - 40 = 122.
\]

Ответ: \(p_1=20\), \(p_3=10\), \(p_4=122\).

2. Блиц

В первом задании олимпиады вам предстоит решить три не связанных друг с другом коротких задачи.

(а) (4 балла) В январе 2025 года китайская компания DeepSeek представила чат-бота на основе собственной большой языковой модели. По заявлению компании, новая технология обучения модели потребовала в несколько раз меньше вычислительных ресурсов, чем у конкурентов. Это вызвало ожидания снижения спроса на графические процессоры, и акции NVIDIA — крупнейшего их производителя — резко упали.

Рассмотрим фирму «Джевонс и Ко», использующую чипы NVIDIA для производства нейросетевых решений. Чтобы выпустить $q$ единиц продукта, фирма использует $x$ чипов, производственная функция $q = a\sqrt{x}$, где $a>0$. Рыночная цена продукта составляет 2 д.е. за единицу, один чип стоит 1 д.е. Распространение новой технологии повышает параметр $a$ с 2 до 5. Рассчитайте, как изменится количество закупаемых фирмой чипов, и содержательно объясните направление этого изменения.

(б) (4 балла) Из города А в город Б идут две дороги: старая и новая, проезд по ним бесплатный. Если по старой дороге едут $x$ машин в час, то время в пути между городами составляет $40+\frac{x}{20}$ минут. Если по новой дороге едут $y$ машин в час, то время в пути между городами составляет $30+\frac{y}{30}$ минут. Суммарный поток по двум дорогам составляет 1000 машин в час. Каждый водитель выбирает дорогу так, чтобы минимизировать сумму денежной ценности своего времени в пути (минуту своего времени он ценит в 10 рублей) и платы за проезд (если она есть). Время в пути водитель узнаёт через навигатор, использующий текущие данные загруженности дорог; небольшой собственный вклад в загруженность дороги никто не учитывает.

В министерстве транспорта заметили, что новая дорога слишком загружена, и решили сделать её платной. Какую плату $p$ за проезд по новой дороге следует установить, чтобы минимизировать суммарное время в пути всех водителей на двух дорогах?

(в) (4 балла) В деревне есть 60 крестьянских хозяйств, каждое из которых располагает 1 единицей земли и 5 единицами рабочего времени. Жители деревни умеют выращивать пшеницу и лён, а также выпекать хлеб и изготавливать ткань. Производство единицы пшеницы требует 5 единиц рабочего времени и 1 единицы земли, а производство единицы льна требует только 1 единицы земли и не требует труда. Производство единицы хлеба требует 1 единицы пшеницы и 1 единицы рабочего времени. Производство единицы ткани требует единицы льна и 4 единиц рабочего времени. Опишите формулой вида $y=f(x)$ (где $x$ — хлеб, $y$ — ткань), как устроена КПВ этой экономики.

Решение

(а) Прибыль фирмы составляет \[\pi(x)=pq-cx=2a\sqrt{x}-x.\] Это квадратичная функция (парабола ветвями вниз) от $\sqrt{x}$, следовательно, максимум достигается при $\sqrt{x}=a$, откуда $x=a^2$. Таким образом, спрос «Джевонс и Ко» на чипы до появления DeepSeek (при $a=2$) был равен $4$, а после появления DeepSeek ($a=5$) увеличился до $25$. Объяснение. В результате появления DeepSeek $MRP_x$ (предельная отдача от использования чипов в денежном выражении) увеличилась: каждый следующий чип стал приносить больше выпуска, т.е. больше выручки при тех же ценах. Поскольку затраты на чипы не изменились, выгодно расширить производство, пока использование дополнительных чипов не перестанет окупаться. Таким образом, несмотря на повышение эффективности использования ресурса, его потребление выросло. Этот эффект известен в экономике как парадокс Джевонса (например, технология, экономящая топливо, ведёт к повышению его суммарного расхода).

(б) Пусть транспортные потоки распределились так: $y$ машин в час едут по новой дороге, а $1000-y$ машин в час — по старой дороге. Если плата за пользование новой дорогой составляет $p$, то суммарные денежно‑временные затраты водителя, выраженные в рублях, составляют $400+\frac{1000-y}{2}$, если он едет по старой дороге, и $300+\frac{y}{3}+p$, если он едет по новой дороге. Водитель поедет по новой дороге, если $300+\frac{y}{3}+p<400+\frac{1000-y}{2}$, т.е. если $y<720-\frac{6}{5}p$, и по старой, если $y>720-\frac{6}{5}p$. Если $y<720-\frac{6}{5}p$, то водители, выезжающие на развилку между новой и старой дорогой, выберут новую дорогу, так что поток $y$ по ней будет расти, пока не станет равен $720-\frac{6}{5}p$, и до этого же значения он будет падать, если $y>720-\frac{6}{5}p$. Следовательно, спрос на пользование новой дорогой при стоимости проезда $p$ составляет $y(p)=720-\frac{6}{5}p$. При потоке $y$ по новой дороге суммарные потери времени всех водителей составляют \[(1000-y)\left(40+\frac{1000-y}{20}\right)+y\left(30+\frac{y}{30}\right)=\frac{5}{60}y^2-110y+90000.\] Это квадратичная функция (парабола ветвями вверх), достигающая минимума по $y$ при $y=660$. Следует установить такую стоимость проезда $p$, чтобы достичь оптимальной загрузки новой дороги $y(p)=720-\frac{6}{5}p=660$. Отсюда оптимальная стоимость проезда $p$ составляет 50 рублей.

(в) Пусть в деревне произведено $x$ единиц хлеба. Это означает, что произведено не менее $x$ единиц пшеницы и на производство хлеба затрачено не менее $x$ единиц рабочего времени. На всю производственную цепочку, дающую на выходе хлеб, затрачено не менее $x$ единиц земли и не менее $6x$ единиц рабочего времени. Следовательно, на производственную цепочку, дающую на выходе ткань, остаётся не более $60-x$ единиц земли и не более $300-6x$ единиц рабочего времени. Из такого количества ресурсов можно произвести не более $60-x$ единиц льна, т.е. не более $\min\{60-x,75-\frac{3}{2}x\}$ единиц ткани. Этот объём производства ткани достижим, так как в предыдущих рассуждениях, где нужно, можно заменить «не менее» и «не более» на «ровно». Хлеба не может быть произведено больше 50 единиц, а ткани — больше 60 единиц. Ответ: $y=\min\{60-x,75-\frac{3}{2}x\}$, $0\le x\le 50$.

Схема проверки

(а) К1 Получен вывод, что использование чипов увеличилось с 4 до 25 → 2 балла
К1.1 Арифметическая ошибка → минус 1 балл
К1.2 Не подставлены значения $a$ → минус 1 балл
К2 Дано содержательное объяснение → 2 балла
К2.1 Правильные объяснения (2 из 2 баллов) используют:
повышение $MRP_x$
повышение предельной производительности
снижение издержек на производство единицы продукции
повышение эффективности производства
К2.2 Неправильные объяснения (0 из 2 баллов):
упоминание $MR$ без формулы ($MR=p=2$ не изменилась)
стоимость акций упала (не объясняет эффекта)
увеличение объёма производства (без доп. пояснений)
при росте $x$ выручка растёт (без доп. пояснений)
(б) К3 Получен спрос $y(p)=720-\frac{6}{5}p$ или эквивалентное выражение → 1 балл
К4 Правильно выписана целевая функция (суммарные потери времени) → 1 балл
К5 Найдено оптимальное распределение потоков (или дошли до К6 без этого) → 1 балл
К6 Найдена оптимальная плата за проезд $p=50$ → 1 балл
К7 Арифметические ошибки, не влияющие на качественные выводы → минус 1 балл
К8 Арифметические ошибки, влияющие на качественные выводы (например, $p=0$ или $p<0$) → минус 2 балла
К9 Использование числа 999 → минус 1 балл (из 1000 машин/час вычитается одна машина)
(в) К10 Получена формула для куска КПВ $y=60-x$ → 1 балл
К11 Получена формула для куска КПВ $y=75-\frac{3}{2}x$ → 1 балл
К12 Правильно найдена взаимосвязь кусков → 2 балла
К12.1 Есть рисунок, нет формулы $y=f(x)$ → минус 1 балл
К12.2 Найдена точка излома, но взята верхняя огибающая вместо нижней → 0 из 2 баллов
К12.3 Ошибка в нахождении ключевых точек → минус 1 балл
К12.4 Нет указания, что $x\ge 0$ и $x\le 50$ → без снижения
К13 Арифметические ошибки в К10, К11 (в том числе, если один кусок оказался ниже другого и это было проверено) → минус 1 балл

3. Форвардный валютный курс

Форвардный контракт на покупку валюты --- это договоренность двух лиц, согласно которой одна сторона обязуется купить у второй (а вторая --- продать первой) определенное количество валюты в определенную дату в будущем по определенному курсу. Этот курс называется форвардным курсом. Лицо, которое обязуется купить валюту в будущем, называют покупателем форвардного контракта, а лицо, которое обязуется продать валюту в будущем, называют продавцом форвардного контракта. Форвардные контракты можно свободно заключать на валютном форвардном рынке, выступая как покупателем, так и продавцом. В данной задаче мы предлагаем вам исследовать, каким может быть форвардный курс, если на рынке отсутствуют возможности для арбитража. Представим себе две валюты --- $\beta$ и $\alpha$. Сейчас курс $\beta$ к $\alpha$ равняется 40, то есть 1 единица $\beta$ стоит 40 единиц валюты $\alpha$. Рассмотрим форвардный контракт на покупку 1 млн единиц валюты $\beta$ через 1 год. Покупать и продавать дробные объемы такого контракта нельзя.

(а) (6 баллов) Определим арбитраж как возможность получить положительную прибыль без риска и вложения собственных средств. Найдите все значения форвардного курса $F$ (стоимость одной единицы валюты $\beta$ в единицах валюты $\alpha$), при которых арбитраж невозможен, для следующих случаев:

(б) (3 балла) Рассмотрим условия как в части (ii) выше, но теперь определим арбитраж как возможность получить без риска прибыль б\'ольшую, чем доход от собственных средств на депозите (в какой-либо из валют, при этом собственные средства для арбитража теперь использовать можно). Назовем экономического агента, совершающего арбитражную операцию, арбитражером. Пусть количество уже имеющейся на руках у арбитражера валюты $\alpha$ ($\beta$) составляет долю $s_{\alpha}$ ($s_{\beta}$) от объема валюты $\alpha$ ($\beta$), необходимого для проведения арбитражной операции с займом этой валюты. С депозитов можно свободно снимать средства.

(в) (3 балла) Зачем нужны форвардные контракты? Если $\alpha$ является валютой страны Альфа, то какие экономические агенты в стране Альфа (помимо арбитражеров) могли бы быть заинтересованы стать покупателями форвардного контракта, обсуждаемого в данной задаче? Продавцами такого контракта?

Решение

(а) Выведем общую формулу для возможных значений форвардного курса, а затем применим ее к ситуациям (i)-(iii). Обозначим ставки по кредитам и депозитам в валютах $\alpha$, $\beta$ за $r_d^{\alpha}$, $r_c^{\alpha}$, $r_d^{\beta}$, $r_c^{\beta}$. Обозначим текущий курс покупки $\beta$ за $E$, курс продажи за $e$, $E\geqslant e$. Рассмотрим две арбитражные стратегии. Стратегия 1. \begin{enumerate} - Заключаем сегодня форвардный контракт на продажу 1 млн единиц $\beta$ через год по курсу $F$ (выплат сегодня это не потребует). - Берем в кредит сумму $x_{\alpha}$ в валюте $\alpha$ (такую, чтобы реализовать форвардный контракт ровно на 1 млн единиц $\beta$, см. ниже). - Покупаем валюту $\beta$ на всю сумму $x_{\alpha}$ по курсy $E$, получаем $x_{\alpha}/E$ единиц $\beta$. - Кладем валюту $\beta$ на депозит на год, через год получаем $(1+r_d^{\beta})x_{\alpha}/E$ единиц валюты. - Реализуем форвардную сделку, получаем валюту $\alpha$ в объеме $F(1+r_d^{\beta})x_{\alpha}/E$. - Возвращаем кредит с процентами: выплачиваем $x_{\alpha}(1+r_c^{\alpha})$. \end{enumerate} В итоге, наша прибыль составит \[\pi_1= F(1+r_d^{\beta})x_{\alpha}/E-x_{\alpha}(1+r_c^{\alpha})=x_{\alpha}\left(F(1+r_d^{\beta})/E-(1+r_c^{\alpha})\right).\] Чтобы арбитраж был невозможен, эта прибыль должна быть неположительна: \[\pi_1= x_{\alpha}\left(F(1+r_d^{\beta})/E-(1+r_c^{\alpha})\right)\leqslant 0.\] Так как $x_{\alpha}>0$ ($x_{\alpha}=E/(1+r_d^{\beta})$ млн), получаем \[F\leqslant E\frac{1+r_c^{\alpha}}{1+r_d^{\beta}}.\] Стратегия 2. \begin{enumerate} - Заключаем сегодня форвардный контракт на покупку 1 млн единиц $\beta$ через год по курсу $F$ (выплат сегодня это не потребует). - Берем в кредит сумму $x_{\beta}$ в валюте $\beta$ (такую, чтобы реализовать форвардный контракт ровно на 1 млн единиц $\beta$, см. ниже). - Покупаем валюту $\alpha$ на весь взятый кредит по курсy $е$, получаем $x_{\beta}e$ единиц $\alpha$. - Кладем валюту $\alpha$ на депозит на год, через год получаем $(1+r_d^{\alpha})x_{\beta}e$ единиц валюты $\alpha$. - Реализуем форвардную сделку, чтобы получить валюту $\beta$ для уплаты тела кредита и процентов, по ней уплачиваем $x_{\beta}(1+r_c^{\beta})F$ единиц валюты $\alpha$. - Возвращаем кредит с процентами. \end{enumerate} В итоге, наша прибыль составит \[\pi_2= (1+r_d^{\alpha})x_{\beta}e-x_{\beta}(1+r_c^{\beta})F=x_{\beta}\left((1+r_d^{\alpha})e-(1+r_c^{\beta})F\right).\] Чтобы арбитраж был невозможен, эта прибыль должна быть неположительна: \[\pi_2= x_{\beta}\left((1+r_d^{\alpha})e-(1+r_c^{\beta})F\right)\leqslant 0.\] Так как $x_{\beta}>0$ ($x_{\beta}=1/(1+r_c^{\beta})$ млн), получаем \[e\frac{1+r_d^{\alpha}}{1+r_c^{\beta}}\leqslant F.\] Объединяя два неравенства, получаем, что арбитраж невозможен при \[e\frac{1+r_d^{\alpha}}{1+r_c^{\beta}}\leqslant F\leqslant E\frac{1+r_c^{\alpha}}{1+r_d^{\beta}}.\] Теперь подставим числа. В ситуации (i) имеем $r_d^{\alpha}=r_c^{\alpha}=0,26$, $r_d^{\beta}=r_c^{\beta}=0,12$, $e=E=40$, откуда \[40\frac{1+0,26}{1+0,12}\leqslant F\leqslant 40\frac{1+0,26}{1+0,12}\] \[F=45.\] В ситуации (ii), \[40\frac{1+0,26}{1+0,2}\leqslant F\leqslant 40\frac{1+0,4}{1+0,12}\] \[42\leqslant F\leqslant 50.\] Наконец, в ситуации (iii), \[38\frac{1+0,26}{1+0,2}\leqslant F\leqslant 42\frac{1+0,4}{1+0,12}\] \[39,9\leqslant F\leqslant 52,5.\] Чем больше несовершенств рынка мы вводим в модель, тем шире получается диапазон возможных курсов.

(б) Раз только долю $1-s$ средств нужно будет брать в кредит, то ставка $r_c$ применится только к доле $1-s$ средств, к оставшейся доле $s$ применится ставка $r_d$ --- альтернативные издержки использования собственных средств. Значит, формула для возможных значений $F$ видоизменится так, что вместо $r_с$ везде нужно поставить $(1-s)r_c+s r_d$ в соответствующей валюте, то есть \[e\frac{1+r_d^{\alpha}}{1+(1-s_{\beta})r_c^{\beta}+s_{\beta}r_d^{\beta}}\leqslant F\leqslant E\frac{1+(1-s_{\alpha})r_c^{\alpha}+s_{\alpha}r_d^{\alpha}}{1+r_d^{\beta}}.\] $s$ меняется от агента к агенту, принимая значения от 0 до 0,5. Нам нужно, чтобы неравенства были выполнены для всех агентов. Поскольку ставки по депозитам меньше ставок по кредитам, самые сильные неравенства будут получаться при максимальных значениях $s_{\alpha}$, $s_{\beta}$, то есть при $s_{\alpha}=s_{\beta}=0,5$. Отсюда получаем \[40\frac{1+0,26}{1+(0,2+0,12)/2}\leqslant F\leqslant 40\frac{1+(0,4+0,26)/2}{1+0,12}\] \[43,49\leqslant F\leqslant 47,5.\]

(в) Форвардные контракты нужны для хеджирования (страховки от) валютных рисков, возникающих в будущем. Например, импортерам товаров из Альфа в Бета или производителям страны Альфа, использующим импортные комплектующие, нужно застраховаться от риска резкого удорожания валюты $\beta$, и им будет выгодно заключить форвардный контракт на покупку этой валюты по заранее оговоренному курсу. Напротив, экспортерам, получающим валютную выручку (в валюте $\beta$) нужно застраховаться от удешевления валюты $\beta$, и им будет выгодно заключить форвардный контракт на продажу этой валюты по заранее оговоренному курсу.

4. Неравенство: внутри и между

Экономисты интересуются вопросом неравенства доходов не только внутри одной страны, но и между странами. В 2024 г. Нобелевская премия по экономике как раз была присуждена за исследование причин неравенства между странами. Исследования показывают, что за последние 45 лет неравенство доходов внутри стран в среднем увеличилось, но неравенство между странами снизилось. Представим себе две страны (первую и вторую), в которых есть по две группы населения, в каждой из которых доход распределен равномерно. Обозначим за $x_i$ долю более бедной группы в населении страны $i$, за $a_i$ --- среднедушевой доход бедных в стране $i$, за $b_i$ --- среднедушевой доход богатых в стране $i$ ($b_i\geqslant a_i\geqslant 0$, причем суммарный доход каждой страны положителен). Численность населения в двух странах одинакова. Определим средний внутристрановой коэффициент Джини $G_{\text{внутри}}$ как среднее арифметическое коэффициентов Джини в двух странах. Определим межстрановой коэффициент Джини $G_{\text{между}}$ как коэффициент Джини, отражающий неравенство доходов в гипотетическом мире, в котором есть две страны с таким же населением и суммарным доходом в каждой из стран, но в котором доход внутри стран распределен равномерно. Наконец, пусть $G_{\text{мира}}$ --- коэффициент Джини, отражающий полное неравенство доходов между всеми жителями двух стран.

(а) (4 балла) Найдите $G_{\text{внутри}}$, $G_{\text{между}}$ и $G_{\text{мира}}$, если $x_1=x_2=0,5$, $a_1=10$, $b_1=40$, $a_2=20$, $b_2=130$.

(б) (8 баллов) Теперь допустим, что $x_1=x_2 =0,8$. Значения среднедушевых доходов $a_i$, $b_i$ неизвестны. Найдите максимально возможное и минимально возможное значения $G_{\text{мира}}$, если $G_{\text{внутри}}=0,2$, $G_{\text{между}}=0,3$.

Решение

(а) Пусть $N$ --- население каждой из стран. Рассчитаем $y_1$ и $y_2$ --- доли доходов бедных в суммарном доходе каждой из стран. \[y_1=\frac{10\cdot 0,5N}{10\cdot 0,5N+40\cdot 0,5N}=0,2.\] \[y_2=\frac{20\cdot 0,5N}{20\cdot 0,5N+130\cdot 0,5N}=\frac{2}{15}.\] Значит, коэффициенты Джини в двух странах равны $G_1=x_1-y_1=0,5-0,2=0,3$, $G_2=x_2-y_2=0,5-2/15=11/30$. Следовательно, средний внутристрановой коэффициент Джини равен \[ G_{\text{внутри}}=\frac{G_1+G_2}{2} =\frac{\frac{3}{10}+\frac{11}{30}}{2} =\frac{1}{3}. \] Среднедушевой доход ниже в стране 1, чем в стране 2 ($0,5 \cdot 10+0,5\cdot 40<0,5\cdot 20+0,5\cdot 130$), значит, страна 1 --- более бедная <<группа населения>> в мире. Доля страны 1 в мировом доходе составляет \[\frac{10\cdot 0,5N+40\cdot 0,5N}{10\cdot 0,5N+40\cdot 0,5N+20\cdot 0,5N+130\cdot 0,5N}=\frac{50}{50+150}=0,25.\] Ее доля в мировом населении равна 0,5. Значит, межстрановой коэффициент Джини равен \[ G_{\text{между}} =0,5-0,25=0,25. \] Наконец, чтобы посчитать мировой коэффициент Джини, построим мировую кривую Лоренца. Она представляет из себя ломаную линию, соединяющую точки $(0;0)$, $(0,25; 0,05)$, $(0,5;0,15)$, $(0,75;0,35)$, $(1;1)$. \begin{figure}[h!] \begin{center} \begin{tikzpicture}[ scale=5, axis/.style={thick, -Stealth, black}, dot/.style={circle, fill=black, inner sep=1.5pt}, label/.style={font=\footnotesize} ] \draw[axis] (0,0) -- (1.1,0) node[right] {Доля населения}; \draw[axis] (0,0) -- (0,1.1) node[above] {Доля дохода}; \draw[red, thick] (0,0) -- (1,1); \draw[blue, thick] (0,0) -- (0.25,0.05) -- (0.5,0.15) -- (0.75,0.35) -- (1,1); \draw[dashed] (1,0)--(1,1); \draw[dashed] (0.25,0)--(0.25,0.05)--(0,0.05); \draw[dashed] (0.5,0)--(0.5,0.15)--(0,0.15); \draw[dashed] (0.75,0)--(0.75,0.35)--(0,0.35);

(б) ode[dot] at (0,0) {};

(в) ode[dot] at (0.25,0.05) {};

(г) ode[dot] at (0.5,0.15) {};

(д) ode[dot] at (0.75,0.35) {};

(е) ode[dot] at (1,1) {};

(ж) ode[label, below] at (0.25,0) {0.25};

(з) ode[label, below] at (0.5,0) {0.5};

(и) ode[label, below] at (0.75,0) {0.75};

(к) ode[label, below] at (1,0) {1};

(л) ode[label, left] at (0,0.05) {0.05};

(м) ode[label, left] at (0,0.15) {0.15};

(н) ode[label, left] at (0,0.35) {0.35};

(о) ode[label, left] at (0,1) {1}; \end{tikzpicture} \end{center} \caption{Мировая кривая Лоренца для п. а).} \end{figure} Отсюда находим, что площадь под ней равна $S=0,2625$, а общемировой коэффициент Джини равен \[ G_{\text{мира}} =\frac{1/2-S}{1/2}=1-2S=0,475. \] Ответ: $G_{\text{внутри}}=1/3$, $G_{\text{между}}=1/4$, $G_{\text{мира}}=0,475$.

(п) Определим, как взаимно расположены среднедушевые доходы $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$. Пусть $Y_i$ --- суммарный доход страны $i$. Не нарушая общности, можно считать, что $Y_1\leqslant Y_2$. Тогда \[G_{\text{между}}=0,5-\frac{Y_1}{Y_1+Y_2}=0,3,\] откуда $Y_2/Y_1=4$. Пусть $y_i$ --- доля дохода бедных в каждой стране в ее общем доходе. Тогда \[G_{\text{внутри}}=\frac{1}{2}\left(x_1-y_1+x_2-y_2\right)=\frac{1}{2}\left(1,6-y_1-y_2\right)=0,2,\] откуда \[y_1+y_2=1,2.\] Имеем $b_1=\frac{(1-y_1)Y_1}{(1-x_1)N}$, $a_2=\frac{y_2Y_2}{x_2N}$. Покажем, что из имеющихся данных следует, что $b_11,\] но последнее верно в силу $y_1+y_2=1,2$. Значит, $b_1Ответ: минимальное значение $G_{\text{мира}}$ равно 0,34, максимальное --- 0,46.

Схема проверки

За каждую арифметическую ошибку снижался 1 балл. Если по какому-либо критерию дается больше 1 балла, то эти баллы неделимы. Например, по критерию K5 нельзя получить 1 или 2 балла, только 0 или 3.

Всего за пункт 4 балла, из них: - Нахождение $G_{\text{внутри}}$ --- 1 балл. - Нахождение $G_{\text{между}}$ --- 1 балл. - Нахождение точек излома мировой кривой Лоренца --- 1 балл. - Нахождение $G_{\text{мира}}$ --- 1 балл.

Всего за пункт 8 баллов, из них: - Доказательство того, что $b_13 балла. - Нахождение точек излома мировой кривой Лоренца в зависимости от $y_i$ (или $a_i$, $b_i$) для верного случая $b_11 балл. - Нахождение верного минимального значения $G_{\text{мира}}$ с обоснованием --- 2 балла. - Нахождение верного максимального значения $G_{\text{мира}}$ с обоснованием --- 2 балла.

9 класс

1. Блиц

В первом задании олимпиады вам предстоит решить три не связанных друг с другом коротких задачи.

(а) (4 балла) В январе 2025 года китайская компания DeepSeek представила чат-бота на основе собственной большой языковой модели. По заявлению компании, новая технология обучения модели потребовала в несколько раз меньше вычислительных ресурсов, чем у конкурентов. Это вызвало ожидания снижения спроса на графические процессоры, и акции NVIDIA — крупнейшего их производителя — резко упали.

Рассмотрим фирму «Джевонс и Ко», использующую чипы NVIDIA для производства нейросетевых решений. Чтобы выпустить $q$ единиц продукта, фирма использует $x$ чипов, производственная функция $q = a\sqrt{x}$, где $a>0$. Рыночная цена продукта составляет 2 д.е. за единицу, один чип стоит 1 д.е. Распространение новой технологии повышает параметр $a$ с 2 до 5. Рассчитайте, как изменится количество закупаемых фирмой чипов, и содержательно объясните направление этого изменения.

(б) (4 балла) Из города А в город Б идут две дороги: старая и новая, проезд по ним бесплатный. Если по старой дороге едут $x$ машин в час, то время в пути между городами составляет $40+\frac{x}{20}$ минут. Если по новой дороге едут $y$ машин в час, то время в пути между городами составляет $30+\frac{y}{30}$ минут. Суммарный поток по двум дорогам составляет 1000 машин в час. Каждый водитель выбирает дорогу так, чтобы минимизировать сумму денежной ценности своего времени в пути (минуту своего времени он ценит в 10 рублей) и платы за проезд (если она есть). Время в пути водитель узнаёт через навигатор, использующий текущие данные загруженности дорог; небольшой собственный вклад в загруженность дороги никто не учитывает.

В министерстве транспорта заметили, что новая дорога слишком загружена, и решили сделать её платной. Какую плату $p$ за проезд по новой дороге следует установить, чтобы минимизировать суммарное время в пути всех водителей на двух дорогах?

(в) (4 балла) В деревне есть 60 крестьянских хозяйств, каждое из которых располагает 1 единицей земли и 5 единицами рабочего времени. Жители деревни умеют выращивать пшеницу и лён, а также выпекать хлеб и изготавливать ткань. Производство единицы пшеницы требует 5 единиц рабочего времени и 1 единицы земли, а производство единицы льна требует только 1 единицы земли и не требует труда. Производство единицы хлеба требует 1 единицы пшеницы и 1 единицы рабочего времени. Производство единицы ткани требует единицы льна и 4 единиц рабочего времени. Опишите формулой вида $y=f(x)$ (где $x$ — хлеб, $y$ — ткань), как устроена КПВ этой экономики.

Решение

(а) Прибыль фирмы составляет \[\pi(x)=pq-cx=2a\sqrt{x}-x.\] Это квадратичная функция (парабола ветвями вниз) от $\sqrt{x}$, следовательно, максимум достигается при $\sqrt{x}=a$, откуда $x=a^2$. Таким образом, спрос «Джевонс и Ко» на чипы до появления DeepSeek (при $a=2$) был равен $4$, а после появления DeepSeek ($a=5$) увеличился до $25$. Объяснение. В результате появления DeepSeek $MRP_x$ (предельная отдача от использования чипов в денежном выражении) увеличилась: каждый следующий чип стал приносить больше выпуска, т.е. больше выручки при тех же ценах. Поскольку затраты на чипы не изменились, выгодно расширить производство, пока использование дополнительных чипов не перестанет окупаться. Таким образом, несмотря на повышение эффективности использования ресурса, его потребление выросло. Этот эффект известен в экономике как парадокс Джевонса (например, технология, экономящая топливо, ведёт к повышению его суммарного расхода).

(б) Пусть транспортные потоки распределились так: $y$ машин в час едут по новой дороге, а $1000-y$ машин в час — по старой дороге. Если плата за пользование новой дорогой составляет $p$, то суммарные денежно‑временные затраты водителя, выраженные в рублях, составляют $400+\frac{1000-y}{2}$, если он едет по старой дороге, и $300+\frac{y}{3}+p$, если он едет по новой дороге. Водитель поедет по новой дороге, если $300+\frac{y}{3}+p<400+\frac{1000-y}{2}$, т.е. если $y<720-\frac{6}{5}p$, и по старой, если $y>720-\frac{6}{5}p$. Если $y<720-\frac{6}{5}p$, то водители, выезжающие на развилку между новой и старой дорогой, выберут новую дорогу, так что поток $y$ по ней будет расти, пока не станет равен $720-\frac{6}{5}p$, и до этого же значения он будет падать, если $y>720-\frac{6}{5}p$. Следовательно, спрос на пользование новой дорогой при стоимости проезда $p$ составляет $y(p)=720-\frac{6}{5}p$. При потоке $y$ по новой дороге суммарные потери времени всех водителей составляют \[(1000-y)\left(40+\frac{1000-y}{20}\right)+y\left(30+\frac{y}{30}\right)=\frac{5}{60}y^2-110y+90000.\] Это квадратичная функция (парабола ветвями вверх), достигающая минимума по $y$ при $y=660$. Следует установить такую стоимость проезда $p$, чтобы достичь оптимальной загрузки новой дороги $y(p)=720-\frac{6}{5}p=660$. Отсюда оптимальная стоимость проезда $p$ составляет 50 рублей.

(в) Пусть в деревне произведено $x$ единиц хлеба. Это означает, что произведено не менее $x$ единиц пшеницы и на производство хлеба затрачено не менее $x$ единиц рабочего времени. На всю производственную цепочку, дающую на выходе хлеб, затрачено не менее $x$ единиц земли и не менее $6x$ единиц рабочего времени. Следовательно, на производственную цепочку, дающую на выходе ткань, остаётся не более $60-x$ единиц земли и не более $300-6x$ единиц рабочего времени. Из такого количества ресурсов можно произвести не более $60-x$ единиц льна, т.е. не более $\min\{60-x,75-\frac{3}{2}x\}$ единиц ткани. Этот объём производства ткани достижим, так как в предыдущих рассуждениях, где нужно, можно заменить «не менее» и «не более» на «ровно». Хлеба не может быть произведено больше 50 единиц, а ткани — больше 60 единиц. Ответ: $y=\min\{60-x,75-\frac{3}{2}x\}$, $0\le x\le 50$.

Схема проверки

(а) К1 Получен вывод, что использование чипов увеличилось с 4 до 25 → 2 балла
К1.1 Арифметическая ошибка → минус 1 балл
К1.2 Не подставлены значения $a$ → минус 1 балл
К2 Дано содержательное объяснение → 2 балла
К2.1 Правильные объяснения (2 из 2 баллов) используют:
повышение $MRP_x$
повышение предельной производительности
снижение издержек на производство единицы продукции
повышение эффективности производства
К2.2 Неправильные объяснения (0 из 2 баллов):
упоминание $MR$ без формулы ($MR=p=2$ не изменилась)
стоимость акций упала (не объясняет эффекта)
увеличение объёма производства (без доп. пояснений)
при росте $x$ выручка растёт (без доп. пояснений)
(б) К3 Получен спрос $y(p)=720-\frac{6}{5}p$ или эквивалентное выражение → 1 балл
К4 Правильно выписана целевая функция (суммарные потери времени) → 1 балл
К5 Найдено оптимальное распределение потоков (или дошли до К6 без этого) → 1 балл
К6 Найдена оптимальная плата за проезд $p=50$ → 1 балл
К7 Арифметические ошибки, не влияющие на качественные выводы → минус 1 балл
К8 Арифметические ошибки, влияющие на качественные выводы (например, $p=0$ или $p<0$) → минус 2 балла
К9 Использование числа 999 → минус 1 балл (из 1000 машин/час вычитается одна машина)
(в) К10 Получена формула для куска КПВ $y=60-x$ → 1 балл
К11 Получена формула для куска КПВ $y=75-\frac{3}{2}x$ → 1 балл
К12 Правильно найдена взаимосвязь кусков → 2 балла
К12.1 Есть рисунок, нет формулы $y=f(x)$ → минус 1 балл
К12.2 Найдена точка излома, но взята верхняя огибающая вместо нижней → 0 из 2 баллов
К12.3 Ошибка в нахождении ключевых точек → минус 1 балл
К12.4 Нет указания, что $x\ge 0$ и $x\le 50$ → без снижения
К13 Арифметические ошибки в К10, К11 (в том числе, если один кусок оказался ниже другого и это было проверено) → минус 1 балл

2. Кредитные линии и их эффекты

Кредитные линии — важный элемент финансовой системы, позволяющий фирмам гибко получать финансирование от банков. По кредитной линии средства можно получить в любой момент, когда это будет необходимо, в пределах заранее согласованного лимита. (Лимит можно использовать по частям.)

(а) (2 балла) Кредитные линии часто рассматриваются как способ защиты от шоков ликвидности. Объясните, каким образом они помогают компаниям справляться с временным дефицитом денежных средств, в отличие от обычных кредитов.

(б) (3 балла) Данные показывают, что использование кредитных линий статистически чаще наблюдается у фирм с устойчивыми денежными потоками, тогда как при высокой волатильности потоков компании реже используют кредитные линии и чаще создают собственные резервы ликвидности. Предложите механизм, объясняющий, почему наблюдается такая зависимость.

(в) (4 балла) Банки нередко взимают с заемщиков плату за неиспользованную часть лимита по кредитной линии.

(г) (3 балла) Рассмотрим поведение банков и заемщиков во время кризиса. Фирмам в этих условиях будет необходимо больше заемных средств для поддержания своей основной деятельности. Какой мотив помимо этого может стимулировать фирмы активно использовать ранее одобренные кредитные линии? Как большой объем одобренных кредитных линий сказывается на финансовой устойчивости экономики в ситуации кризиса?

Решение

(а) Кредитные линии позволяют фирмам оперативно получать средства от банков в моменты временных кассовых разрывов или неожиданных негативных шоков ликвидности. Механизм заключается в следующем: - Фирма заранее заключает договор с банком и имеет гарантированный лимит доступных средств. - При возникновении отрицательного шока (например, внезапного падения продаж или резкого увеличения издержек), фирма может немедленно получить необходимую сумму в рамках уже одобренного лимита, не проходя заново длительную процедуру кредитной оценки. - Это оперативно устраняет проблему нехватки ликвидности и позволяет компании стабилизировать её финансовое положение, избежав более серьёзных последствий (например, дефолта). В случае с обычными кредитами в условиях отрицательного шока ликвидности получение кредита может быть затруднено (ограничение средств у банков, фирма выглядит как плохой заемщик), и весь описанный выше механизм не работает. Таким образом, кредитные линии помогают компаниям сгладить краткосрочные негативные колебания и повышают их финансовую устойчивость. Комментарий: Аргумент, что кредит дороже, чем кредитная линия, не засчитывался, поскольку более дорогой заем все еще позволяет получить финансирование и преодолеть шок ликвидности.

(б) Банки довольно хорошо информированы относительно состояния компаний (например, требуют предоставления финансовой отчетности). Механизм можно представить следующим образом: - Компании с устойчивыми денежными потоками с точки зрения банка являются более стабильными и предсказуемыми, их риски оцениваются как более низкие, и поэтому предлагаемые банками условия по кредитным линиям лучше. - Компании же с неустойчивыми потоками сталкиваются с высокой неопределённостью, поэтому выдаваемые им займы будут более рискованными. Банки будут предлагать менее выгодные условия, чтобы компенсировать более высокие риски заемщика (например, будут устанавливать более высокую процентную ставку). - Поскольку у компаний с неустойчивыми денежными потоками условия по кредитованию хуже, таким компаниям сравнительно выгоднее держать собственные ликвидные резервы (денежные средства на счетах) и использовать их при возникновении необходимости, чем пользоваться кредитными линиями по невыгодным условиям. Комментарии по проверке: - Аргументы про то, что фирма с волатильными потоками будет не хотеть брать на себя дополнительный кредитный риск не засчитывался, поскольку при одинаковых ставках рост кредитного риска для волатильных фирм не очевиден. - Аргумент про то, что фирма с волатильными потоками не может посчитать, какой кредит выгоднее, не засчитывался - Аргумент про то, что много кредитов --- это плохо, портится кредитная история, не засчитывался, поскольку много раз взять из одной кредитной линии аналогично тому, чтобы много раз взять кредиты. - Рассуждение о том, что волатильность --- это чаще спады, не верное. Волатильность --- это про масштаб колебаний, а не их частоту. - Свои средства бесплатные и безлимитные --- также неверная логика. У своих средств есть (возможно высокая) альтернативная стоимость, и ровно поэтому компании может быть выгоднее брать кредит, чем инвестировать свои средства.

(в) Плата за неиспользованный лимит назначается банком, поскольку он вынужден резервировать часть своих средств на случай обращения заемщика, а значит не может получать от них доход. Почему предложение различных опций выгодно банку? Механизм выглядит следующим образом: \begin{enumerate} - Сегментация заемщиков по рискам: За счет наличия возможности выбора из комбинации низкой процентной ставки при высокой плате за неиспользованный лимит или низкой платы за неиспользованный кредит при высокой процентной ставке заемщики сегментируются на отдельные группы (более склонных активно использовать кредитную линию и менее склонных). - Эффективное ценообразование по типам клиентов: Фирмы, более склонные к использованию КЛ, предпочтут линию с более высокой платой за неиспользование, но с низкой процентной ставкой. Компании с низкой вероятностью использования лимита предпочтут высокие проценты, и более низкую плату за неиспользованный лимит. При единой цене часть компаний из той и другой группы предпочла бы отказаться от использования кредитной линии, что снизило бы доходы банка. - Дополнительный эффект от сегментации: Выявление банком типа заемщика позволяет ему предлагать более выгодные условия и по другим кредитным продуктам, что позволит также увеличить прибыль. \end{enumerate} Комментарии по проверке: - Аргумент про то, что банк ставит плату потому что может, не принимается, поскольку плата в этом случае сбилась бы до нуля за счет конкуренции - За рассуждения с точки зрения фирмы без привязки к банку, что плата стимулирует фирму брать именно тот лимит, который ей нужен --- 0 баллов, поскольку лимит устанавливается договором - Банк стимулирует платой за неиспользованный лимит использовать лимит - 0 баллов, поскольку ставка по кредиту обычно выше, чем по неиспользованному лимиту. - Если указан неправильный тип дискриминации, то баллы не ставились - Рассуждения о том, что у банка станет больше клиентов, недостаточно. Должно быть обоснование того, за счет чего это произойдет и почему при этом станет больше прибыли у банка (например, подходит аргумент, что больше клиентов в результате предложения нескольких опций). - Ответы вида «При выдаче опций банк может увеличить общую сумму занимаемых средств за счет тех, кому не подходил бы единственный вариант сделки» оцениваются в 2 балла "--- тут нет описания наличия дискриминации, но есть механизм увеличения прибыли у банков.

(г) Мотив фирм активно использовать линии в кризис: Помимо прямой потребности в средствах для поддержания основной деятельности, фирмы в условиях кризиса сталкиваются с дополнительным мотивом: - Опасение, что банки ограничат доступ к ранее одобренным линиям. Фирмы стараются заранее «выбрать» максимально возможный объем лимита, пока банки не ограничили доступ к средствам. То есть компании берут средства «на всякий случай», формируя буфер ликвидности, чтобы обезопасить себя от потенциального закрытия доступа в будущем. Также засчитывается аргумент про то, что фирма может использовать арбитражную возможность (взять кредитную линию под более низкий процент и получить выгоду от размещения этих средств на лучших условиях). Последствия для финансовой устойчивости экономики: - Из-за того, что фирмы начинают активнее использовать доступные лимиты по кредитным линиям (происходит "Набег заемщиков"), банки могут столкнуться с необходимостью ограничить обычное кредитование (как компаний, так и домохозяйств). - В экстремальном случае активное использование кредитных линий может спровоцировать дефицит ликвидности у банков и даже банковский кризис, если они не способны оперативно привлечь дополнительные ресурсы. Также уместно рассуждение про то, что кредитные линии за счет своей доступности помогают компаниям преодолеть шок, меньше фирм банкротится, они продолжают выплачивать займы банкам, тем самым повышая финансовую устойчивость экономики. Комментарий по проверке: - Монетарная политика и ее эффективность в контексте данной задачи не помогает ответить на ее вопрос. - Аргументы, что фирмы берут лимит, чтобы не платить за неиспользованный лимит, чтобы его не съедала инфляция и т.п., не засчитывались. - Не засчитывались аргументы про падение прибыли у банка. Просто снижение прибылей банков еще не означает, что в экономике возникнут проблемы с финансовой стабильностью. - Не засчитывались ответы, не описывающие переход от реального сектора к финансовому. К примеру, аргумент про то, что меньше фирм банкротится, без уточнений, что это положительно скажется на состоянии банков и финансовой системы. - 1 балл из 2 снижался, если имеется прямое противоречие между мотивом к использованию кредитных линий и последствием наличия большого объема КЛ. Например: «фирмы используют больший объем КЛ, потому что боятся, что у банков не хватит средств, поэтому у банков проблемы; однако если много кредитных линий, то экономика быстрее стабилизируется, потому что фирмы легче получают финансирование».

Схема проверки

\phantom{} - Полностью описан механизм, включающих два основных момента: КЛ обеспечивают оперативный доступ к средствам без повторного одобрения банка; для взятия кредита требуется дополнительное одобрение, а это долго и есть риск неодобрения. - Представлена общая идея с одной из сторон (описание свойств КЛ или кредита), но не раскрывается другая сторона. - Ответ отсутствует или механизм не раскрыт.

\phantom{} - Полностью описан механизм: устойчивые компании имеют низкий уровень риска с точки зрения банка; банки предлагают им лучшие условия; у устойчивых компаний больше стимулов брать КЛ, чем у неустойчивых. - Описана общая идея, но отсутствует один из трёх пунктов механизма. - Приведена общая идея без детального объяснения одного из первых двух пунктов механизма. - Ответ не раскрывает механизм или неверен.

\phantom{} - Полностью раскрыты ключевые элементы: введение платы за неиспользованный лимит, сегментация клиентов, механизм получения банком выгоды от сегментации (эффективное ценообразование или дополнительные эффекты от сегментации). - Не раскрыт или раскрыт некорректно (без уточнений о ненулевой себестоимости резервированных средств) аргумент про введение платы за неиспользованный лимит ИЛИ не раскрыт или раскрыт некорректно механизм сегментации. - Не раскрыт или раскрыт некорректно механизм получения выгоды банком от сегментации ИЛИ не раскрыты или раскрыты некорректно аргументы о введение платы за лимит и работе механизма сегментации. - Раскрыт лишь один из первых двух элементов. - Ответ не соответствует вопросу или некорректен.

\phantom{} - Полностью раскрыты оба аспекта: мотив фирм заранее использовать кредитные линии, влияние на финансовую устойчивость экономики. - Некорректно раскрыт мотив фирм использовать кредитные линии (к примеру, он раскрыт через поддержание текущей деятельности фирмы), либо в решении мотив фирм и выводы о финансовой устойчивости противоречат друг другу. - Идеи поверхностные, описан только мотив фирм использовать кредитную линию. - Ответ не раскрывает аспекты вопроса или некорректен

3. Импортозамещение

Потребители в стране A могут покупать товар Х как у единственного отечественного производителя "--- фирмы F "--- так и на мировом рынке. Цена на мировом рынке фиксирована и равна $P_w = 140$ д.\;е., ежегодный внутренний спрос задается функцией $D(p) = 100 - 0,5p$. Потребители не отличают отечественные и импортные единицы товара Х и покупают те, что дешевле (а при равенстве цен сначала покупают все, которые готова продать отечественная фирма, а затем импортные по остаточному принципу). Ежегодные издержки производства фирмы F задаются уравнением $TC(q) = 3q^2$ д.\;е. Половину этих затрат всегда составляют расходы на закупку редкоземельных металлов. Редкоземельные металлы можно как закупать в стране A, так и импортировать (они одинакового качества и стоят одинаково), но завод фирмы F находится рядом с границей, поэтому она использует только импортные редкоземельные металлы.

(а) (3 балла) Найдите, сколько единиц товара Х будет продано отечественной фирмой и сколько импортировано в год в отсутствие ограничений на международную торговлю и любых издержек, связанных с транспортировкой грузов.

(б) (4 балла) Президент T страны A решил с 1 января ввести импортную пошлину на все конечные и промежуточные товары по ставке 15\,\%. Ответьте на вопросы пункта а) в этих условиях.

(в) (5 баллов) После ввода пошлины фирма F задумалась об импортозамещении. Она может снизить закупку импортных редкоземельных металлов до нуля, однако в этом случае их придется доставлять из отдаленного района страны A, что обойдется в 50 д.\;е. ежегодно. Считайте, что стоимость редкоземельных металлов отечественной поставки при введении пошлины на импорт не меняется. Будет ли фирма переходить на закупку отечественных редкоземельных металлов?

Решение

(а) - Если бы импорта товара Х не было, монополист установил бы цену исходя из равенства $MR=MC$, то есть \[200-4q = 6q.\] Объем продаж был бы равен $q = 20$, цена была бы равна 160. Но поскольку импорт существует и мировая цена ниже 160, монополист не может установить цену выше мировой, чтобы продать хоть что-то. При цене 140 монополист продает $23\frac13$ единицы (из равенства $P_w=MC$), а объем спроса при этой цене равен $Q_D=100-0,5\cdot 140 = 30$, то есть $6\frac23$ ед. товара будет импортировано. - Теперь цена импорта для отечественных потребителей равна $140\cdot 1,15 = 161$. Поменяется и функция TC: теперь металлы, которые ранее составляли 50\,\% издержек, придется закупать дороже. Новая функция издержек будет иметь вид: \[TC_\text{б} = \frac{1}{2} \cdot 3q^2 + \frac{1}{2} \cdot 3q^2\cdot 1,15 = 3,225q^2.\] Отсюда новое значение $MC_\text{б} = 6,45q$. Если бы конкуренции с импортом не было, монополист поставил бы цену исходя из равенства \[200-4q = 6,45q.\] Объем продаж был бы примерно равен 19,14, цена была бы примерно равна $200-2\cdot 19,14 = 161,72>161$. Таким образом, фирма вновь не сможет поставить монопольную цену и будет вынуждена продавать по мировой. При цене 161 монополист хотел бы продать примерно 24,96 единиц (из равенства $1,15P_w=MC_\text{б}$), а объем спроса при этой цене равен $Q_D=100-0,5\cdot 161 = 19,5$. Монополист может удовлетворить весь спрос, при этом ему нет смысла производить больше, чем потребители готовы купить, поэтому отечественная фирма продаст 19,5 единиц, импорт будет равен 0. - Если фирма не поменяет поставщика металлов, то ее прибыль составит \[ Pr_\text{б} = 161\cdot 19,5 - 3,225\cdot 19,5^2 \approx 1913,19. \] Если фирма будет использовать отечественные металлы, то ее функция издержек будет иметь вид: $TC_\text{в} = 3q^2 + 50$ (с учетом затрат на транспортировку), а монопольная цена равна 160 (см. пункт а)). Эта цена ниже мировой (с учетом пошлины), поэтому монополист может поставить ее и получить всю монопольную прибыль, равную \[ Pr_\text{в} = 160\cdot 20 - 3\cdot 20^2 - 50 = 1950. \] Это значение больше, чем при неимпортозамещенной технологии, поэтому фирма примет решение об импортозамещении.

Схема проверки

3 балла, из них: - Проверка, что оптимальная цена монополиста выше мировой и утверждение о том, что монополист не сможет ее установить. - Определение объема продаж отечественной фирмы. - Определение объема импорта. \medskip

4 балла, из них: - Вывод новой функции издержек с учетом пошлины на металлы. - Проверка, что оптимальная цена монополиста выше мировой и утверждение о том, что монополист не сможет ее установить. - Определение объема продаж отечественной фирмы. - Определение объема импорта. Если величина объема импорта оказалась равна 0, но этот результат является следствием концептуальной ошибки в решении данного пункта, то 1 балл за найденный объем импорта не начисляется. \medskip

5 баллов, из них: - Подсчет прибыли при продолжении импорта (может быть сделано в пункте б)). Балл за подсчет прибыли начисляется только при условии, что она вычислена для концептуально верно определенного в предыдущем пункте объема выпуска отечественной фирмы. - Корректная функция издержек при импортозамещении. - Проверка, что оптимальная цена монополиста при импортозамещении ниже мировой, то есть монополист может ее установить и не конкурировать с импортом. - Подсчет прибыли при импортозамещении. - Корректный вывод о сравнении прибылей. Балл за сравнение прибыли начисляется только при условии, что прибыли вычислены при концептуально верно найденных объемах выпуска отечественной фирмы в предыдущем и текущем пунктах. Арифметическая ошибка в любом из пунктов в решении приводила к однократному снижению оценки на 1 балл.