Если производственные функции были известны директору с единичной вероятностью, то $L_x = x, ~~~ L_y = 2y$. Снова запишем ограничение на количество часов работы $x + 2y = 8$ и решим следующую систему:
$
\begin{cases}
x + 2y = 8;\\
y = mx.
\end{cases}$
Получим, что $x = \dfrac{8}{1 + 2m}$ и $y = \dfrac{8m}{1 + 2m}$, значит директор получает $\dfrac{8}{1 + 2m}$ комплектов.
Остается записать разницу в количестве комплектов и приравнять ее к $0,4$.
$$\dfrac{8}{1 + 2m} - \dfrac{4}{1 + m} = 0,4$$
$$2m^2 + 3m - 9 = 0$$
$$m = 1,5$$
Каждый человек в стране понимает, что лучше работать, чем не работать, поэтому каждый житель города и сельской местности готов работать за любую положительную зарплату. Рынки труда и конечной продукции обоих секторов совершенно-конкурентны.
а) Какие зарплаты установятся в двух секторах в равновесии в отсутствии мобильности труда между городом и сельской местностью?
б) С $1$ января государство решило упростить процедуру миграции, поэтому теперь люди могут свободно перемещаться между городом и сельской местностью. Какие зарплаты установятся в двух секторах в равновесии в этом случае?
в) Как изменится ответ на вопрос пункта $2$, если для каждого человека миграция связана с издержками в $15$ рублей в день на аренду кровати в общежитии. Какие установятся зарплаты в городе и в сельской местности в равновесии теперь?
г) (Этот пункт только для 11 класса) Вернемся к условию пункта $2$. Работники, которые изначально были в городе, остались недовольны такой политикой и решили объединиться в профсоюз, который максимизирует совокупный трудовой доход всех городских работников (включая мигрантов) и назначает зарплату. Весь промышленный сектор должен будет выплачивать именно зарплату, назначенную профсоюзом. Какую зарплату установит профсоюз? Какая зарплата будет при этом в сельском хозяйстве?
У 9 и 10 классов пункт а) весил 7 баллов, пункт б) – 10 баллов, пункт в) – 13 баллов. У 11 класса пункт а) весил 4 балла, пункт б) – 6 баллов, пункт в) – 10 баллов, пункт г) – 10 баллов.
Спрос на труд в сельском хозяйстве:
$$ MRP_{L_x} = P_x \cdot MP_{L_x} = 70 - 10L_x = w_x $$
$$ L_x = \dfrac{70 - w_x}{10} \Rightarrow L^d_x = 70 - w_x \Rightarrow w_x = 70 - L^d_x $$
Мы знаем, что там точно будет работать $45$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $70 - 45 = 25$.
Ответ: зарплата в промышленности будет равна $70$ руб., в сельском хозяйстве – $25$ руб.
б) В этом случае зарплаты в двух секторах должны быть равны, иначе начнется миграция.
$$ w_x = w_y $$
$$ 100 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 30 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 30 = 60 $$
$$ L_y = 30 \Rightarrow w_x = w_y = 100 - 2 \cdot 30 = 40. $$
Ответ: зарплата равна $40$ руб. в обоих секторах.
в) Миграция происходит из сельской местности в город. Следовательно, платить за кровать будут в городе, поэтому зарплата в городе должна быть на $15$ единиц больше, чтобы работнику было без разницы, где работать. Если это не так, то это не равновесие и начинается миграция.
$$ w_y - 15 = w_x $$
$$ 85 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 15 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 15 = 60 $$
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 100 - 2*25 = 50 $$
$$ w_x = 35. $$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в городе и $35$ руб. в сельской местности.
г) Максимизируем выручку:
$$ W_yL_y = 100L_y - 2L^2_y $$
Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 50 $$
$$ L_x = 60 - 25 = 35 \Rightarrow w_x = 70 - 35 = 35.$$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в промышленности (что больше чем $40$, которые были бы без профсоюза) и $35$ руб. в сельском хозяйстве.
а) ($6$ баллов) Найдите равновесную цену, объем продаж и прибыль каждой фирмы на рынке.
б) ($14$ баллов) Государство ввело налог на выручку производителей: каждая фирма обязана заплатить долю $t$ от получаемой выручки в виде налога. Найдите ставку налога, при которой государство получает максимальные налоговые сборы.
в) ($10$ баллов) Найдите ставку налога, при которой суммарные излишки потребителей и производителей будут равны.
$$MC = 4q + 10 = P$$
$$q = \dfrac{P-10}{4}$$
Получили предложение одной фирмы, тогда совокупное предложение на рынке составит:
$$Q_S = 80q = 20P - 200$$
Теперь найдем равновесие, приравняв спрос и предложение:
$$20P - 200 = 200 - 5P$$
$$P^* = 16, ~ Q^* = 120, ~ q^* = 1,5$$
Осталось найти прибыль одной фирмы.
$$\Pi = TR - TC = P^* \cdot q^* - 2(q^*)^2 - 10q^* - 2021 = 16\cdot 1,5 - 2\cdot (1,5)^2 - 10 \cdot 1,5 - 2021 = -2016,5$$
б) Заметим, что налог на выручку полностью эквивалентен акцизу. Действительно, $TR_s = P_sQ= (1-t)TR_d = (1-t)P_dQ$, тогда $P_s = (1-t)P_d$ или $P_d - P_s = tP_d$.
Итак, мы поняли, что налог на выручку – это то же самое, что акциз. Далее, из эквивалентности налогов, максимальные налоговые сборы достигаются при единственных значениях $P_d$ и $P_s$. Тогда найдем эти значения через потоварный налог.
Мы знаем, что оптимум потоварного налога: $t_p= \dfrac{P_{max}-P_{min}}{2} = \dfrac{40-10}{2}=15$. Введем данный потоварный налог для нахождения $P_d$ и $P_s$:
$$200-5(P_s+15) = 20P_s-200$$
$$ 325 = 25P_s $$
$$P_s = 13, ~P_d=28$$
Теперь связка для акциза: $P_d - P_s = t_a P_d$ или $15 = 28t_a$, тогда $t_a =15/28=\dfrac{15}{28}$.
в) Будем действовать аналогично. Будем вводить потоварный налог, а из него восстанавливать величину акциза, которая равна налогу на выручку. Пусть $t$ – потоварный налог.
$$200-5P_d = 20(P_d-t)-200$$
$$P_d = 16+0.8t~~~P_s = 16-0.2t$$
Тогда посчитаем зависимость излишков от величины $t$:
$$CS = 1.6(30-t)^2$$
$$PS = 0.4(30-t)^2$$
Заметим, что ставка потоварного налога, при котором достигается равенство не меньше 30. Тогда
$$P_d-P_s = 30 = 40t_a$$
$$t_a= 0.75$$
Тогда ответ: $t_a\geqslant 0.75$
а) ($5$ баллов) Определите количество курток, которое продаст фирма «Вершина» на внутреннем и внешнем рынках.
б) Государство решило ввести потоварный налог на продажу олимпийских курток. Определите максимально возможные налоговые сборы государства, если налог введён
в) ($10$ баллов) Какие налоговые сборы в пункте б) получились больше: суммарные налоговые сборы в пунктах $1$ и $2$ или налоговые сборы в пункте $3$? Дайте экономическую интерпретацию полученного результата.
а) Запишем функцию прибыли фирмы «Вершина» и промаксимизируем ее:
$\Pi = Q_d(200 - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
$\begin{cases}
\Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
\\
\Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0
\end{cases}$
$Q_d = 20, ~ Q_w = 60$
б) Аналогично пункту а) решим пункт б).
в) В пунктах $1$ и $2$ суммарные налоговые сборы составили $1100$, в пункте $3$ же – $3200$. При введении налога на одном рынке у фирмы-монополиста есть возможность переключиться на другой рынок, поэтому государство не может получать максимально возможные налоговые сборы, как если бы, например, у фирмы просто не было доступа ко второму рынку в принципе. Когда налог вводится сразу на двух рынках, где фирма осуществляет свою деятельность, у фирмы нет той свободы в перераспределении продаж между рынками, поэтому налоговые сборы получаются выше.
Маги в Шогилу продает фирма-монополист «Голлы Ралександра», его функция издержек задается как $TC = 6q$. Фирма максимизирует свою прибыль. При этом монополист может выбрать заплатить $\alpha^2$ денежных единиц загадочной подруге Элли – Йонмель, которая в таком случае будет готова приобрести $\alpha$ единиц Магов в Шогилу по той же цене, что и Элли. Если Элли приобретет $0$ единиц товара, Йонмель не купит ничего и обиженно уйдет вместе с подругой.
Промаксимизируем полезность:
$$U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \underset{q \geqslant 0}{max}$$
$$q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p$$
Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому $p \leqslant 21$.
Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:
$$21 - p \leqslant \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geqslant 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geqslant 0$$
$$\left[
\begin{gathered}
0 \leqslant p \leqslant 1
\\
20 \leqslant p \leqslant 21
\end{gathered}
\right.$$
Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно $\frac{20}{p}$, т.е. она просто потратит весь свой доход.
Так, можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:
$$q^d =
\begin{cases}
21 - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
\\
\frac{20}{P},& 1 < P < 20
\\
21 - P,& 20 \leqslant P \leqslant 21
\\
0,& P > 21
\end{cases}
$$
Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от $\alpha$:
$$Q^d =
\begin{cases}
21 + \alpha - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
\\
\frac{20}{P} + \alpha,& 1 < P < 20
\\
21 + \alpha - P,& 20 \leqslant P < 21
\\
0,& P \geqslant 21
\end{cases}
$$
Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает $P^* = 20$, а значит $\alpha = \frac{20 - 6}{2} = 6$, а прибыль равна 63.
Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна $10$ и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при $\alpha = 0$.
Летом спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение до появления новой технологии имеет вид $Q^s = P$. Тогда равновесие: $100 - P = P \Rightarrow P^*_{s_1} = 50,~ Q^*_{s_1} = 50$.
Условие можно было понять так, что государство своими закупками увеличивает спрос на $2a$ при каждом значении цены. Тогда спрос будет иметь вид $Q^d = 100 + 2a - P$, а предложение – $Q^s = P$. Равновесие на этом рынке: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = 50 + a,~ Q^* = 50 + a$. Изобразим спрос и предложение на графике:
Общественное благосостояние – это сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства. Графически излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек производителей – площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене. Излишек государства в данном случае это просто его расходы, то есть $-a^2$. Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (a + 50)(2a + 100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) -a^2 = a^2 + 100a + 2500 - a^2 = 100a + 2500$. Видно, что общественное благосостояние возрастает по $a$, а значит, если государство старается максимизировать общественное благосостояние, то будет выбирать как можно большее значение $a$. Поскольку $a$ никак не ограничено, оптимальный выбор государства: $a \rightarrow +\infty$.
На самом деле государство не может увеличить спрос на константу при любом значении цены. Если цена поднимется выше максимальной цены, которую готовы платить потребители (в нашем случае это $100$), то спрос будет предъявлять только государство на уровне $2a$, т.е. при $P > 100$ мы будет иметь вертикальный участок спроса $Q = 2a$. При этом равновесие у нас будут при: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = a+50,~ Q^* = a + 50$.
В этом случае общественное благосостояние – это всё ещё сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства, однако графически они будут считаться немного иначе. Изобразим спрос и предложение на графике:
Излишек производителей графически – это площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса (только участком, соответствующим самим потребителям, а не государству и потребителям) и прямой, соответствующей равновесной цене. Для удобства заштрихуем эти фигуры на графике:
Зелёным цветом заштрихован треугольник, соответствующий излишку потребителей, красным цветом – треугольник, соответствующий излишку производителей. Излишек государства составляет $-a^2$.
Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (50 - a)(100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) - a^2 = 2500$. В этом случае общественное благосостояние постоянно и равно $2500$.
Однако, если государство закупит достаточно много пирожков с голубикой, цена вырастет настолько, что потребители больше не будут покупать этот товар. Графически эта ситуация выглядит так:
Произойдёт это в том случае, если закупки государства, то есть $2a$ превысят $100$, т.е. при $a > 50$. В этом случае равновесие складывается при $P^* = 2a,~ Q^* = 2a$. Излишек потребителей в этом случае равен $0$, поскольку они не покупают пирожки с голубкой совсем, а излишек производителей будет равен $0,5 \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$. Тогда общественное благосостояние имеет вид: $SW = 2a^2 - a^2 = a^2$. Видно, что при любом положительном $a$ общественное благосостояние бесконечно возрастает с ростом $a$. Поскольку государство стремится сделать общественное благосостояние как можно выше, оно выберет бесконечно большое $a$ и, соответственно, бесконечно большое общественное благосостояние.
Функция полезности Миши $U = min{x, y}$. Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид «уголков», вершины которых располагаются на прямой $y = x$. Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:
Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: $y = 240 - 4x$. Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой $y = x$: $240 - 4x = x \Rightarrow x^* = 48,~ y^* = 48$. Таким образом, в оптимуме будет потребляться по $48$ единиц мерча и экспериментов.
Уравнение первого участка КПВ: $y = 100 - 0,5x,~ x \in [0, 40]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
$$U_1 = -x^2 + 8,5x + 100 - 0,5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \underset{x \in [0, 40]}{max}$$
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40],~ y^* = 98$$
$$U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116$$
Уравнение второго участка КПВ: $y = 240 - 4x,~ x \in [40, 60]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
$$U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \rightarrow \underset{x \in [40, 60]}{max}$$
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$x_{\text{в}} = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]$$
Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это – $x = 40$, тогда найдём полезность:
$$U_2^* = -1600 + 180 + 240 = -1180$$
Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.
Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
$$x^d =
\begin{cases}
0,& P_x > 8,5
\\
\frac{8,5 - P_x}{2},& P_x \leqslant 8,5,~ \frac{8,5 - P_x}{2} \leqslant \frac{I}{P_x}
\\
\frac{I}{P_x},& \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}
\end{cases}
$$
Каждый человек в стране понимает, что лучше работать, чем не работать, поэтому каждый житель города и сельской местности готов работать за любую положительную зарплату. Рынки труда и конечной продукции обоих секторов совершенно-конкурентны.
а) Какие зарплаты установятся в двух секторах в равновесии в отсутствии мобильности труда между городом и сельской местностью?
б) С $1$ января государство решило упростить процедуру миграции, поэтому теперь люди могут свободно перемещаться между городом и сельской местностью. Какие зарплаты установятся в двух секторах в равновесии в этом случае?
в) Как изменится ответ на вопрос пункта $2$, если для каждого человека миграция связана с издержками в $15$ рублей в день на аренду кровати в общежитии. Какие установятся зарплаты в городе и в сельской местности в равновесии теперь?
г) (Этот пункт только для 11 класса) Вернемся к условию пункта $2$. Работники, которые изначально были в городе, остались недовольны такой политикой и решили объединиться в профсоюз, который максимизирует совокупный трудовой доход всех городских работников (включая мигрантов) и назначает зарплату. Весь промышленный сектор должен будет выплачивать именно зарплату, назначенную профсоюзом. Какую зарплату установит профсоюз? Какая зарплата будет при этом в сельском хозяйстве?
У 9 и 10 классов пункт а) весил 7 баллов, пункт б) – 10 баллов, пункт в) – 13 баллов. У 11 класса пункт а) весил 4 балла, пункт б) – 6 баллов, пункт в) – 10 баллов, пункт г) – 10 баллов.
Спрос на труд в сельском хозяйстве:
$$ MRP_{L_x} = P_x \cdot MP_{L_x} = 70 - 10L_x = w_x $$
$$ L_x = \dfrac{70 - w_x}{10} \Rightarrow L^d_x = 70 - w_x \Rightarrow w_x = 70 - L^d_x $$
Мы знаем, что там точно будет работать $45$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $70 - 45 = 25$.
Ответ: зарплата в промышленности будет равна $70$ руб., в сельском хозяйстве – $25$ руб.
б) В этом случае зарплаты в двух секторах должны быть равны, иначе начнется миграция.
$$ w_x = w_y $$
$$ 100 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 30 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 30 = 60 $$
$$ L_y = 30 \Rightarrow w_x = w_y = 100 - 2 \cdot 30 = 40. $$
Ответ: зарплата равна $40$ руб. в обоих секторах.
в) Миграция происходит из сельской местности в город. Следовательно, платить за кровать будут в городе, поэтому зарплата в городе должна быть на $15$ единиц больше, чтобы работнику было без разницы, где работать. Если это не так, то это не равновесие и начинается миграция.
$$ w_y - 15 = w_x $$
$$ 85 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 15 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 15 = 60 $$
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 100 - 2*25 = 50 $$
$$ w_x = 35. $$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в городе и $35$ руб. в сельской местности.
г) Максимизируем выручку:
$$ W_yL_y = 100L_y - 2L^2_y $$
Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 50 $$
$$ L_x = 60 - 25 = 35 \Rightarrow w_x = 70 - 35 = 35.$$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в промышленности (что больше чем $40$, которые были бы без профсоюза) и $35$ руб. в сельском хозяйстве.
а) ($6$ баллов) Найдите равновесную цену, объем продаж и прибыль каждой фирмы на рынке.
б) ($14$ баллов) Государство ввело налог на выручку производителей: каждая фирма обязана заплатить долю $t$ от получаемой выручки в виде налога. Найдите ставку налога, при которой государство получает максимальные налоговые сборы.
в) ($10$ баллов) Найдите ставку налога, при которой суммарные излишки потребителей и производителей будут равны.
$$MC = 4q + 10 = P$$
$$q = \dfrac{P-10}{4}$$
Получили предложение одной фирмы, тогда совокупное предложение на рынке составит:
$$Q_S = 80q = 20P - 200$$
Теперь найдем равновесие, приравняв спрос и предложение:
$$20P - 200 = 200 - 5P$$
$$P^* = 16, ~ Q^* = 120, ~ q^* = 1,5$$
Осталось найти прибыль одной фирмы.
$$\Pi = TR - TC = P^* \cdot q^* - 2(q^*)^2 - 10q^* - 2021 = 16\cdot 1,5 - 2\cdot (1,5)^2 - 10 \cdot 1,5 - 2021 = -2016,5$$
б) Заметим, что налог на выручку полностью эквивалентен акцизу. Действительно, $TR_s = P_sQ= (1-t)TR_d = (1-t)P_dQ$, тогда $P_s = (1-t)P_d$ или $P_d - P_s = tP_d$.
Итак, мы поняли, что налог на выручку – это то же самое, что акциз. Далее, из эквивалентности налогов, максимальные налоговые сборы достигаются при единственных значениях $P_d$ и $P_s$. Тогда найдем эти значения через потоварный налог.
Мы знаем, что оптимум потоварного налога: $t_p= \dfrac{P_{max}-P_{min}}{2} = \dfrac{40-10}{2}=15$. Введем данный потоварный налог для нахождения $P_d$ и $P_s$:
$$200-5(P_s+15) = 20P_s-200$$
$$ 325 = 25P_s $$
$$P_s = 13, ~P_d=28$$
Теперь связка для акциза: $P_d - P_s = t_a P_d$ или $15 = 28t_a$, тогда $t_a =15/28=\dfrac{15}{28}$.
в) Будем действовать аналогично. Будем вводить потоварный налог, а из него восстанавливать величину акциза, которая равна налогу на выручку. Пусть $t$ – потоварный налог.
$$200-5P_d = 20(P_d-t)-200$$
$$P_d = 16+0.8t~~~P_s = 16-0.2t$$
Тогда посчитаем зависимость излишков от величины $t$:
$$CS = 1.6(30-t)^2$$
$$PS = 0.4(30-t)^2$$
Заметим, что ставка потоварного налога, при котором достигается равенство не меньше 30. Тогда
$$P_d-P_s = 30 = 40t_a$$
$$t_a= 0.75$$
Тогда ответ: $t_a\geqslant 0.75$
а) ($5$ баллов) Найдите ВВП страны А.
б) ($10$ баллов) Если известно, что потенциальный ВВП равен $500$, коэффициент Оукена равен $2$, а естественный уровень безработицы равен $5\%$, то чему равен фактический уровень безработицы?
в) ($15$ баллов) Правительство решает изменить государственные закупки, не поднимая налоги, чтобы уменьшить уровень циклической безработицы. При этом, оно не хочет разгонять инфляцию в стране, так что оно минимизирует сумму квадратов циклической безработицы и инфляции. Поскольку правительство все еще хочет иметь сбалансированный бюджет, оно занимает деньги у ЦБ (то есть ЦБ изменяет денежную базу). Известно, что банки страны А не держат избыточных резервов, жители не пользуются наличными деньгами, а совокупный спрос задаётся уравнением количественной теории денег. Если ставка обязательных резервов равна $rr$, скорость обращения денег равна $1$, а денежная база была изначально равна $180$, то чему будут равны инфляция и уровень фактической безработицы после изменений? Чему будет равен дефицит государственного бюджета после проведения политики правительства? Проинтерпретируйте полученные результаты.
б) Воспользуемся формулой Оукена:
$$\dfrac{Y - Y^*}{Y^*} = -\beta (u - u^*),$$
где $Y$ – фактический ВВП, $Y^*$ – потенциальный ВВП, $\beta$ – коэффициент Оукена, $u$ – фактическая безработица и $u^*$ – естественная безработица.
Подставим в формулу имеющиеся у нас значения:
$$\dfrac{450 - 500}{500} = -2(u - 0,05)$$
$$u = 0,1$$
в) В соответствие с формулой Оукена, для того, чтобы снизить уровень циклической безработицы, необходимо увеличить фактический ВВП. Поскольку инвестиции постоянны, а правительство решает не изменять налоги, то ВВП может увеличиться только за счет увеличения государственных закупок. Выдавая кредит правительству, Центральный банк увеличивает денежную базу ровно на величину кредита.
Банки страны А не держат избыточных резервов, а значит норма избыточных резервов ($er$) равна $0$. Жители не пользуются наличными деньгами, что означает, что норма депонирования ($cr$) также равна $0$.
Таким образом, $G_1 = 200 + K, ~~ H_1 = 180 + K$.
Для начала найдем уровень цен до проведения политики правительства. Используем для этого денежный мультипликатор, который равен $mm = \dfrac{1 + cr}{rr + er + cr} = \dfrac{1}{rr}$.
Кроме того, $mm = \dfrac{M}{H} \Rightarrow M_0 = \dfrac{180}{rr}$.
Известно, что совокупный спрос задается уравнением количественной теории денег, поэтому $Mv = PY$, а с учетом того, что скорость обращения денег равна $1$, имеем $P = \dfrac{M}{Y}$.
Можем найти уровень цен до проведения политики правительства:
$$P_0 = \dfrac{180}{450rr} = \dfrac{0,4}{rr}$$
Теперь найдем ВВП после проведения политики правительства. Воспользуемся формулой из пункта 1:
$$Y_1 = \dfrac{-mpc \cdot T + G_1 + I}{1 - mpc} = \dfrac{-0,6 \cdot 200 + 200 + K + 100}{0,4} = \dfrac{180 + K}{0,4}$$
Найдем новую денежную массу с помощью денежного мультипликатора:
$$mm = \dfrac{M_1}{H_1} = \dfrac{1}{rr} \Rightarrow M_1 = \dfrac{180 + K}{rr}$$
Вернемся к уравнению количественной теории денег и найдем новый уровень цен:
$$P_1 = \dfrac{M_1}{Y_1} = \dfrac{(180 + K)\cdot 0,4}{rr(180 + K)} = \dfrac{0,4}{rr}$$
Видно, что $P_1 = P_0$, а значит инфляция равна $0$.
Поскольку правительство минимизирует сумму квадратов уровня циклической безработицы и инфляции, а инфляция равна $0$, имеем $u_c^2 \rightarrow min$, откуда получаем, что оптимальный уровень циклической безработицы равен $0$. Тогда уровень фактической безработицы просто равен уровню естественной безработицы $u = u^* = 0,05$.
В соответствие с законом Оукена, если циклическая безработица равна $0$, то фактический ВВП равен потенциальному, а значит $Y_1 = Y^* = 500$.
Теперь можем найти дефицит государственного бюджета.
$$Y_1 = \dfrac{180 + K}{0,4} = 500 \Rightarrow K = 20 \Rightarrow G - T = 20$$
Получили, что в данной экономике правительство может стимулировать выпуск без увеличения уровня цен, т.е. без инфляции. Это означает, что правительство проводит стимулирующую фискальную политику так, чтобы выпуск стал равен потенциальному.
а) ($5$ баллов) Определите количество курток, которое продаст фирма «Вершина» на внутреннем и внешнем рынках.
б) Государство решило ввести потоварный налог на продажу олимпийских курток. Определите максимально возможные налоговые сборы государства, если налог введён
в) ($10$ баллов) Какие налоговые сборы в пункте б) получились больше: суммарные налоговые сборы в пунктах $1$ и $2$ или налоговые сборы в пункте $3$? Дайте экономическую интерпретацию полученного результата.
а) Запишем функцию прибыли фирмы «Вершина» и промаксимизируем ее:
$\Pi = Q_d(200 - Q_d) + 160Q_w - (Q_d + Q_w)^2 \rightarrow \underset{Q_d, Q_w \geqslant 0}{max}$
$\begin{cases}
\Pi'_{Q_d} = 200 - 2Q_d - 2Q_d - 2Q_w = 200 - 4Q_d - 2Q_w = 0
\\
\Pi'_{Q_w} = 160 - 2Q_d - 2Q_w = 0
\end{cases}$
$Q_d = 20, ~ Q_w = 60$
б) Аналогично пункту а) решим пункт б).
в) В пунктах $1$ и $2$ суммарные налоговые сборы составили $1100$, в пункте $3$ же – $3200$. При введении налога на одном рынке у фирмы-монополиста есть возможность переключиться на другой рынок, поэтому государство не может получать максимально возможные налоговые сборы, как если бы, например, у фирмы просто не было доступа ко второму рынку в принципе. Когда налог вводится сразу на двух рынках, где фирма осуществляет свою деятельность, у фирмы нет той свободы в перераспределении продаж между рынками, поэтому налоговые сборы получаются выше.
Маги в Шогилу продает фирма-монополист «Голлы Ралександра», его функция издержек задается как $TC = 6q$. Фирма максимизирует свою прибыль. При этом монополист может выбрать заплатить $\alpha^2$ денежных единиц загадочной подруге Элли – Йонмель, которая в таком случае будет готова приобрести $\alpha$ единиц Магов в Шогилу по той же цене, что и Элли. Если Элли приобретет $0$ единиц товара, Йонмель не купит ничего и обиженно уйдет вместе с подругой.
Промаксимизируем полезность:
$$U = -q^2 + (42 - 2p)q \rightarrow \underset{q \geqslant 0}{max}$$
$$q^* = \frac{42 - 2p}{2} = 21 - p$$
Очевидно, что количество товара не может быть отрицательным, поэтому $p \leqslant 21$.
Проверим, при каких значениях цены выполняется бюджетное ограничение:
$$21 - p \leqslant \frac{20}{p} \Rightarrow p^2 - 21p + 20 \geqslant 0 \Rightarrow (p - 20)(p - 1) \geqslant 0$$
$$\left[
\begin{gathered}
0 \leqslant p \leqslant 1
\\
20 \leqslant p \leqslant 21
\end{gathered}
\right.$$
Если бюджетное ограничение не выполняется, значит Элли тратит больше денег, чем имеет, поэтому в этом случае оптимальное потребление Магов в Шогилу будет равно $\frac{20}{p}$, т.е. она просто потратит весь свой доход.
Так, можем записать спрос Элли на Маги в Шогилу:
$$q^d =
\begin{cases}
21 - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
\\
\frac{20}{P},& 1 < P < 20
\\
21 - P,& 20 \leqslant P \leqslant 21
\\
0,& P > 21
\end{cases}
$$
Теперь добавим к спросу Элли спрос её подруги Йонмель и получим рыночный спрос на Маги в Шогилу в зависимости от $\alpha$:
$$Q^d =
\begin{cases}
21 + \alpha - P,& 0 \leqslant P \leqslant 1
\\
\frac{20}{P} + \alpha,& 1 < P < 20
\\
21 + \alpha - P,& 20 \leqslant P < 21
\\
0,& P \geqslant 21
\end{cases}
$$
Таким образом, наибольшее значение прибыли получили в четвёртом случае. В этом случае монополист выбирает $P^* = 20$, а значит $\alpha = \frac{20 - 6}{2} = 6$, а прибыль равна 63.
Получили, что наибольшая прибыль монополиста при новых условиях равна $10$ и достигается в условиях отсутствия торговли с Йонмель, т.е. при $\alpha = 0$.
Потребитель очень терпелив, и поэтому ценит текущий период так же, как и будущий.
Для простоты считайте, что $r=0$.
Тогда несложно найти предельную норму потребления в нулевом периоде. Она равна отношению потребления к доходу, т.е. $mpc_0 = \frac{\frac{T}{3}}{T} = \frac{1}{3}$.
Функция полезности Миши $U = min{x, y}$. Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид «уголков», вершины которых располагаются на прямой $y = x$. Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:
Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: $y = 240 - 4x$. Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой $y = x$: $240 - 4x = x \Rightarrow x^* = 48,~ y^* = 48$. Таким образом, в оптимуме будет потребляться по $48$ единиц мерча и экспериментов.
Уравнение первого участка КПВ: $y = 100 - 0,5x,~ x \in [0, 40]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
$$U_1 = -x^2 + 8,5x + 100 - 0,5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \underset{x \in [0, 40]}{max}$$
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40],~ y^* = 98$$
$$U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116$$
Уравнение второго участка КПВ: $y = 240 - 4x,~ x \in [40, 60]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
$$U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \rightarrow \underset{x \in [40, 60]}{max}$$
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$x_{\text{в}} = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]$$
Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это – $x = 40$, тогда найдём полезность:
$$U_2^* = -1600 + 180 + 240 = -1180$$
Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.
Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
$$x^d =
\begin{cases}
0,& P_x > 8,5
\\
\frac{8,5 - P_x}{2},& P_x \leqslant 8,5,~ \frac{8,5 - P_x}{2} \leqslant \frac{I}{P_x}
\\
\frac{I}{P_x},& \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}
\end{cases}
$$
Если Северную дорогу расширить втрое, то втрое уменьшится дополнительное время передвижения, связанное с пробками. Например, если по расширенной втрое дороге поедет $60\%$ машин (по каждой полосе $20\%$), то это будет эквивалентно по времени ситуации с $20\%$ машин до расширения дороги. Таким образом, время передвижения по Северной дороге станет равным $25 + 10x_1$. В равновесии снова будет наблюдаться равенство: $25+10x_1 = 15+70(1 - x_1)$, откуда находим новые доли $x_1 = 0,75 = 75\%$ и $x_2 = 1 - 0,75 = 0,25 = 25\%$.
Время передвижения можно найти, подставив равновесную долю в любую из частей уравнения. В исходной ситуации ожидаемое время составляет $25+30 \cdot 0,6 = 43$ мин., в новой ситуации оно станет равным $25+10 \cdot 0,75 = 32,5$ мин. Таким образом, расширение дороги привело к сокращению времени в пути на $10,5$ мин.
Доля автомобилистов, едущих по Северной дороге выросла с $60$ до $75$ процентов. Это означает увеличение в $\dfrac{75}{60} =1,25$ раза, то есть на $25\%$. Доля автомобилистов, выбирающих Южную дорогу, напротив, упала с $40$ до $25$ процентов, изменение произошло в $\dfrac{25}{40} = 0,625$ раза, то есть число автомобилистов стало меньше на $37,5\%$. Отметим, что в условии спрашивается про проценты, а не процентные пункты, поэтому ответ выросла на $15\%$ и упала на $15\%$ является неправильным.
Карлсон больше всего на свете любит фрукты и хочет их съесть через год как можно больше. Какое максимальное количество фруктов съест Карлсон?
Примечание: предполагается, что количество деревьев (а, как следствие, и фруктов) может быть только целочисленным.
Очевидно, что Карлсон не может потратить больше $100$ рублей на саженцы. То есть всё, что он потратит на яблоки ($20\times x$), вместе с тем, что он потратит на груши ($5\times y$), не должно превышать $100$. Таким образом, получаем неравенство $20x+5y\leqslant 100$.
Также очевидно, что Карлсон не может использовать больше $30$ квадратных метров площади грядки. То есть всё, что он потратит на яблоки ($3\times x$), вместе с тем, что он потратит на груши ($2\times y$), не должно превышать $30$. Таким образом, получаем неравенство $3x+2y\leqslant 30$.
Карлсон пытается увеличить количество фруктов, которые он съест, то есть максимизирует выражение $x+y$.
Таким образом получаем систему:
\begin{equation*}
\begin{cases}
20x+5y\leqslant 100,
\\
3x+2y\leqslant 30,
\\
x+y\rightarrow max.
\end{cases}
\end{equation*}
Решение этой системы $x^*=0, \ y^*=15, \ x^*+y^* = 15$.
Проездной на наземный транспорт $40\%$ жителей города готовы купить за $750$ руб., а $60\%$ – за $1800$ руб. Если продавать проездной всем, придется снизить цену до $750$, выручка при этом составит $750N$. Если же поднять цену до $1800$, купит проездной только $60\%$, но выручка увеличится до $1800 \cdot 0,6N = 1080N > 750N$. Таким образом, правильно устанавливая цены на отдельные проездные, транспортная компания может получить сумму $1200N + 1080N = 2280N$.
Если компания продает единый проездной, то $40\%$ населения будет готово купить его за $2500 + 750 = 3250$ руб., а $60\%$ населения – за $1200 + 1800 = 3000$. Очевидно, нужно ставить цену $3000$ руб., продавать проездной всем и получать выручку $3000N$, что больше $3250 \cdot 0,4N = 1300N$. Таким образом, выручка в случае продажи отдельных проездных составит $\dfrac{2280N}{3000N} = 0,76 = 76\%$, то есть окажется ниже на $24\%$.
а) ($10$ баллов) Постройте суммарную КПВ Исла Парадайз.
б) ($10$ баллов) Известно, что жители Исла Парадайз всегда покупают сети и паруса в пропорции $2$ к $3$. Сколько сетей для ловли рыбы и парусов для кораблей будет производиться в каждом регионе?
в) ($10$ баллов) Предположим, что предпочтения жителей острова изменились. Теперь они покупают сети и паруса в пропорции $3$ к $2$. На сколько изменится суммарное производство сетей и парусов по сравнению с предыдущим пунктом?
б) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $2$ к $3$ можно формализовать с помощью уравнения $3x = 2y$ или $y = 1.5 x$. Построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ.
Видно, что пересечение соответствует точке $(20; 30)$, значит на острове Исла Парадайз производится $20$ сетей для ловли рыбы и $30$ парусов для кораблей.
Осталось определить, сколько каждого товара прозводится в каждом регионе. Заметим, что точка $(20; 30)$ это точка излома, иначе говоря – это крайняя правая точка для участка КПВ, соответствующего региону Риверсайд, и крайняя левая точка для участка КПВ, соответствующего региону Сансет Вэлли. Значит все сети для ловли рыбы производятся Риверсайдом, а все паруса для кораблей – Сансет Вэлли и Бриджпортом (по $10$ парусов в каждом).
Ответ: в Сансет Вэлли – $0$ сетей и $10$ парусов,
в Риверсайде – $20$ сетей и $0$ парусов,
в Бриджпорте – $0$ сетей и $10$ парусов.
в) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $3$ к $2$ можно формализовать уравнением $2x = 3y$ или $y = \dfrac{2}{3} x$. По аналогии с предыдущим пунктом построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ.
Видно, что пересечение соответствует точке $(30; 20)$. Суммарно производится $50$ сетей и парусов, ровно как и в предыдущем пункте, поэтому ответ – суммарное производство не изменилось.
Летом спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение до появления новой технологии имеет вид $Q^s = P$. Тогда равновесие: $100 - P = P \Rightarrow P^*_{s_1} = 50,~ Q^*_{s_1} = 50$.
Условие можно было понять так, что государство своими закупками увеличивает спрос на $2a$ при каждом значении цены. Тогда спрос будет иметь вид $Q^d = 100 + 2a - P$, а предложение – $Q^s = P$. Равновесие на этом рынке: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = 50 + a,~ Q^* = 50 + a$. Изобразим спрос и предложение на графике:
Общественное благосостояние – это сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства. Графически излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек производителей – площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене. Излишек государства в данном случае это просто его расходы, то есть $-a^2$. Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (a + 50)(2a + 100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) -a^2 = a^2 + 100a + 2500 - a^2 = 100a + 2500$. Видно, что общественное благосостояние возрастает по $a$, а значит, если государство старается максимизировать общественное благосостояние, то будет выбирать как можно большее значение $a$. Поскольку $a$ никак не ограничено, оптимальный выбор государства: $a \rightarrow +\infty$.
На самом деле государство не может увеличить спрос на константу при любом значении цены. Если цена поднимется выше максимальной цены, которую готовы платить потребители (в нашем случае это $100$), то спрос будет предъявлять только государство на уровне $2a$, т.е. при $P > 100$ мы будет иметь вертикальный участок спроса $Q = 2a$. При этом равновесие у нас будут при: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = a+50,~ Q^* = a + 50$.
В этом случае общественное благосостояние – это всё ещё сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства, однако графически они будут считаться немного иначе. Изобразим спрос и предложение на графике:
Излишек производителей графически – это площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса (только участком, соответствующим самим потребителям, а не государству и потребителям) и прямой, соответствующей равновесной цене. Для удобства заштрихуем эти фигуры на графике:
Зелёным цветом заштрихован треугольник, соответствующий излишку потребителей, красным цветом – треугольник, соответствующий излишку производителей. Излишек государства составляет $-a^2$.
Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (50 - a)(100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) - a^2 = 2500$. В этом случае общественное благосостояние постоянно и равно $2500$.
Однако, если государство закупит достаточно много пирожков с голубикой, цена вырастет настолько, что потребители больше не будут покупать этот товар. Графически эта ситуация выглядит так:
Произойдёт это в том случае, если закупки государства, то есть $2a$ превысят $100$, т.е. при $a > 50$. В этом случае равновесие складывается при $P^* = 2a,~ Q^* = 2a$. Излишек потребителей в этом случае равен $0$, поскольку они не покупают пирожки с голубкой совсем, а излишек производителей будет равен $0,5 \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$. Тогда общественное благосостояние имеет вид: $SW = 2a^2 - a^2 = a^2$. Видно, что при любом положительном $a$ общественное благосостояние бесконечно возрастает с ростом $a$. Поскольку государство стремится сделать общественное благосостояние как можно выше, оно выберет бесконечно большое $a$ и, соответственно, бесконечно большое общественное благосостояние.
Всего в Авокадии могут произвести $40$ велосипедных рам (если не будут производить колёса совсем), а в Банании всего могут произвести $80$ колёс (опять же, если совсем не будут производить рамы). Так как для одного велосипеда нужна одна рама и два колеса, всего произведут $40$ велосипедов.
В случае, когда Артём принимает решение ничего не хранить на складе, он получает $2$ единицы прибыли с каждого проданного мотка. Так, он заработает: $50 \cdot 2 - 100 = 0$. Если же Артём хранит пряжу одни день и продает часть в тот же день, то получает прибыль: $(4 - 2) \cdot 50 + (4 - 2 - 1) \cdot 50 - 100 = 50$ за два дня работы. Таким образом, максимальная средняя прибыль в день будет составлять: $50 : 2 = 25$.
То, что караси и анчоусы потребляются комплектами из двух тонн карасей и одной тонны анчоусов, можно формализовать следующим уравнением: $y = 2x$, где $x$ – анчоусы в тоннах, а $y$ – караси в тоннах.
Чтобы найти оптимальное потребление карасей и анчоусов, достаточно пересечь КПВ и уравнение, задающее пропорцию потребления. Сначала построим прямую $y = 2x$ на нашем графике КПВ.
Видно, что прямая пересекает КПВ на первом участке. Уравнение первого участка КПВ: $y = 25 - 0,5x$. Приравниваем: $2x = 25 - 0,5x$ и получаем, что $x = 10,~ y = 20$. Значит в оптимуме будет производится $10$ комплектов.
Альтернативные издержки производства карасей в первом регионе не изменились: $AC_y = 1$, а во втором регионе стали равны: $AC_y = 1,5$. Строим КПВ и прямую $y = 2x$ на одном графике:
Уравнение первого участка КПВ: $y = 30 - \frac{2}{3}x$. Приравниваем: $30 - \frac{2}{3}x = 2x$ и получаем, что $x = 11,25,~ y = 22,5$. Значит теперь в оптимуме потребляется $11,25$ комплектов.
Каждый человек в стране понимает, что лучше работать, чем не работать, поэтому каждый житель города и сельской местности готов работать за любую положительную зарплату. Рынки труда и конечной продукции обоих секторов совершенно-конкурентны.
а) Какие зарплаты установятся в двух секторах в равновесии в отсутствии мобильности труда между городом и сельской местностью?
б) С $1$ января государство решило упростить процедуру миграции, поэтому теперь люди могут свободно перемещаться между городом и сельской местностью. Какие зарплаты установятся в двух секторах в равновесии в этом случае?
в) Как изменится ответ на вопрос пункта $2$, если для каждого человека миграция связана с издержками в $15$ рублей в день на аренду кровати в общежитии. Какие установятся зарплаты в городе и в сельской местности в равновесии теперь?
г) (Этот пункт только для 11 класса) Вернемся к условию пункта $2$. Работники, которые изначально были в городе, остались недовольны такой политикой и решили объединиться в профсоюз, который максимизирует совокупный трудовой доход всех городских работников (включая мигрантов) и назначает зарплату. Весь промышленный сектор должен будет выплачивать именно зарплату, назначенную профсоюзом. Какую зарплату установит профсоюз? Какая зарплата будет при этом в сельском хозяйстве?
У 9 и 10 классов пункт а) весил 7 баллов, пункт б) – 10 баллов, пункт в) – 13 баллов. У 11 класса пункт а) весил 4 балла, пункт б) – 6 баллов, пункт в) – 10 баллов, пункт г) – 10 баллов.
Спрос на труд в сельском хозяйстве:
$$ MRP_{L_x} = P_x \cdot MP_{L_x} = 70 - 10L_x = w_x $$
$$ L_x = \dfrac{70 - w_x}{10} \Rightarrow L^d_x = 70 - w_x \Rightarrow w_x = 70 - L^d_x $$
Мы знаем, что там точно будет работать $45$ млн. человек (вертикальное предложение). Значит зарплата будет равна $70 - 45 = 25$.
Ответ: зарплата в промышленности будет равна $70$ руб., в сельском хозяйстве – $25$ руб.
б) В этом случае зарплаты в двух секторах должны быть равны, иначе начнется миграция.
$$ w_x = w_y $$
$$ 100 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 30 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 30 = 60 $$
$$ L_y = 30 \Rightarrow w_x = w_y = 100 - 2 \cdot 30 = 40. $$
Ответ: зарплата равна $40$ руб. в обоих секторах.
в) Миграция происходит из сельской местности в город. Следовательно, платить за кровать будут в городе, поэтому зарплата в городе должна быть на $15$ единиц больше, чтобы работнику было без разницы, где работать. Если это не так, то это не равновесие и начинается миграция.
$$ w_y - 15 = w_x $$
$$ 85 - 2L_y = 70 - L_x $$
$$ L_x = 2L_y - 15 $$
$$ L_x + L_y = 60 $$
$$ 3L_y - 15 = 60 $$
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 100 - 2*25 = 50 $$
$$ w_x = 35. $$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в городе и $35$ руб. в сельской местности.
г) Максимизируем выручку:
$$ W_yL_y = 100L_y - 2L^2_y $$
Это парабола ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$ L_y = 25 \Rightarrow w_y = 50 $$
$$ L_x = 60 - 25 = 35 \Rightarrow w_x = 70 - 35 = 35.$$
Ответ: зарплата равна $50$ руб. в промышленности (что больше чем $40$, которые были бы без профсоюза) и $35$ руб. в сельском хозяйстве.
а) ($6$ баллов) Найдите равновесную цену, объем продаж и прибыль каждой фирмы на рынке.
б) ($14$ баллов) Государство ввело налог на выручку производителей: каждая фирма обязана заплатить долю $t$ от получаемой выручки в виде налога. Найдите ставку налога, при которой государство получает максимальные налоговые сборы.
в) ($10$ баллов) Найдите ставку налога, при которой суммарные излишки потребителей и производителей будут равны.
$$MC = 4q + 10 = P$$
$$q = \dfrac{P-10}{4}$$
Получили предложение одной фирмы, тогда совокупное предложение на рынке составит:
$$Q_S = 80q = 20P - 200$$
Теперь найдем равновесие, приравняв спрос и предложение:
$$20P - 200 = 200 - 5P$$
$$P^* = 16, ~ Q^* = 120, ~ q^* = 1,5$$
Осталось найти прибыль одной фирмы.
$$\Pi = TR - TC = P^* \cdot q^* - 2(q^*)^2 - 10q^* - 2021 = 16\cdot 1,5 - 2\cdot (1,5)^2 - 10 \cdot 1,5 - 2021 = -2016,5$$
б) Заметим, что налог на выручку полностью эквивалентен акцизу. Действительно, $TR_s = P_sQ= (1-t)TR_d = (1-t)P_dQ$, тогда $P_s = (1-t)P_d$ или $P_d - P_s = tP_d$.
Итак, мы поняли, что налог на выручку – это то же самое, что акциз. Далее, из эквивалентности налогов, максимальные налоговые сборы достигаются при единственных значениях $P_d$ и $P_s$. Тогда найдем эти значения через потоварный налог.
Мы знаем, что оптимум потоварного налога: $t_p= \dfrac{P_{max}-P_{min}}{2} = \dfrac{40-10}{2}=15$. Введем данный потоварный налог для нахождения $P_d$ и $P_s$:
$$200-5(P_s+15) = 20P_s-200$$
$$ 325 = 25P_s $$
$$P_s = 13, ~P_d=28$$
Теперь связка для акциза: $P_d - P_s = t_a P_d$ или $15 = 28t_a$, тогда $t_a =15/28=\dfrac{15}{28}$.
в) Будем действовать аналогично. Будем вводить потоварный налог, а из него восстанавливать величину акциза, которая равна налогу на выручку. Пусть $t$ – потоварный налог.
$$200-5P_d = 20(P_d-t)-200$$
$$P_d = 16+0.8t~~~P_s = 16-0.2t$$
Тогда посчитаем зависимость излишков от величины $t$:
$$CS = 1.6(30-t)^2$$
$$PS = 0.4(30-t)^2$$
Заметим, что ставка потоварного налога, при котором достигается равенство не меньше 30. Тогда
$$P_d-P_s = 30 = 40t_a$$
$$t_a= 0.75$$
Тогда ответ: $t_a\geqslant 0.75$
Проездной на наземный транспорт $40\%$ жителей города готовы купить за $750$ руб., а $60\%$ – за $1800$ руб. Если продавать проездной всем, придется снизить цену до $750$, выручка при этом составит $750N$. Если же поднять цену до $1800$, купит проездной только $60\%$, но выручка увеличится до $1800 \cdot 0,6N = 1080N > 750N$. Таким образом, правильно устанавливая цены на отдельные проездные, транспортная компания может получить сумму $1200N + 1080N = 2280N$.
Если компания продает единый проездной, то $40\%$ населения будет готово купить его за $2500 + 750 = 3250$ руб., а $60\%$ населения – за $1200 + 1800 = 3000$. Очевидно, нужно ставить цену $3000$ руб., продавать проездной всем и получать выручку $3000N$, что больше $3250 \cdot 0,4N = 1300N$. Таким образом, выручка в случае продажи отдельных проездных составит $\dfrac{2280N}{3000N} = 0,76 = 76\%$, то есть окажется ниже на $24\%$.
а) ($10$ баллов) Постройте суммарную КПВ Исла Парадайз.
б) ($10$ баллов) Известно, что жители Исла Парадайз всегда покупают сети и паруса в пропорции $2$ к $3$. Сколько сетей для ловли рыбы и парусов для кораблей будет производиться в каждом регионе?
в) ($10$ баллов) Предположим, что предпочтения жителей острова изменились. Теперь они покупают сети и паруса в пропорции $3$ к $2$. На сколько изменится суммарное производство сетей и парусов по сравнению с предыдущим пунктом?
б) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $2$ к $3$ можно формализовать с помощью уравнения $3x = 2y$ или $y = 1.5 x$. Построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ.
Видно, что пересечение соответствует точке $(20; 30)$, значит на острове Исла Парадайз производится $20$ сетей для ловли рыбы и $30$ парусов для кораблей.
Осталось определить, сколько каждого товара прозводится в каждом регионе. Заметим, что точка $(20; 30)$ это точка излома, иначе говоря – это крайняя правая точка для участка КПВ, соответствующего региону Риверсайд, и крайняя левая точка для участка КПВ, соответствующего региону Сансет Вэлли. Значит все сети для ловли рыбы производятся Риверсайдом, а все паруса для кораблей – Сансет Вэлли и Бриджпортом (по $10$ парусов в каждом).
Ответ: в Сансет Вэлли – $0$ сетей и $10$ парусов,
в Риверсайде – $20$ сетей и $0$ парусов,
в Бриджпорте – $0$ сетей и $10$ парусов.
в) Потребление $x$ и $y$ в пропорции $3$ к $2$ можно формализовать уравнением $2x = 3y$ или $y = \dfrac{2}{3} x$. По аналогии с предыдущим пунктом построим эту прямую на графике и найдем пересечение с КПВ.
Видно, что пересечение соответствует точке $(30; 20)$. Суммарно производится $50$ сетей и парусов, ровно как и в предыдущем пункте, поэтому ответ – суммарное производство не изменилось.
Летом спрос задаётся функцией $Q^d = 100 - P$, а предложение до появления новой технологии имеет вид $Q^s = P$. Тогда равновесие: $100 - P = P \Rightarrow P^*_{s_1} = 50,~ Q^*_{s_1} = 50$.
Условие можно было понять так, что государство своими закупками увеличивает спрос на $2a$ при каждом значении цены. Тогда спрос будет иметь вид $Q^d = 100 + 2a - P$, а предложение – $Q^s = P$. Равновесие на этом рынке: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = 50 + a,~ Q^* = 50 + a$. Изобразим спрос и предложение на графике:
Общественное благосостояние – это сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства. Графически излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек производителей – площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене. Излишек государства в данном случае это просто его расходы, то есть $-a^2$. Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (a + 50)(2a + 100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) -a^2 = a^2 + 100a + 2500 - a^2 = 100a + 2500$. Видно, что общественное благосостояние возрастает по $a$, а значит, если государство старается максимизировать общественное благосостояние, то будет выбирать как можно большее значение $a$. Поскольку $a$ никак не ограничено, оптимальный выбор государства: $a \rightarrow +\infty$.
На самом деле государство не может увеличить спрос на константу при любом значении цены. Если цена поднимется выше максимальной цены, которую готовы платить потребители (в нашем случае это $100$), то спрос будет предъявлять только государство на уровне $2a$, т.е. при $P > 100$ мы будет иметь вертикальный участок спроса $Q = 2a$. При этом равновесие у нас будут при: $100 + 2a - P = P \Rightarrow P^* = a+50,~ Q^* = a + 50$.
В этом случае общественное благосостояние – это всё ещё сумма излишка потребителей, излишка производителей и излишка государства, однако графически они будут считаться немного иначе. Изобразим спрос и предложение на графике:
Излишек производителей графически – это площадь треугольника, ограниченного кривой предложения и прямой, соответствующей равновесной цене, а излишек потребителей – это площадь треугольника, ограниченного кривой спроса (только участком, соответствующим самим потребителям, а не государству и потребителям) и прямой, соответствующей равновесной цене. Для удобства заштрихуем эти фигуры на графике:
Зелёным цветом заштрихован треугольник, соответствующий излишку потребителей, красным цветом – треугольник, соответствующий излишку производителей. Излишек государства составляет $-a^2$.
Таким образом, общественное благосостояние имеет вид: $SW = 0,5 \cdot (50 - a)(100 - a - 50) + 0,5 \cdot (a + 50)(a + 50) - a^2 = 2500$. В этом случае общественное благосостояние постоянно и равно $2500$.
Однако, если государство закупит достаточно много пирожков с голубикой, цена вырастет настолько, что потребители больше не будут покупать этот товар. Графически эта ситуация выглядит так:
Произойдёт это в том случае, если закупки государства, то есть $2a$ превысят $100$, т.е. при $a > 50$. В этом случае равновесие складывается при $P^* = 2a,~ Q^* = 2a$. Излишек потребителей в этом случае равен $0$, поскольку они не покупают пирожки с голубкой совсем, а излишек производителей будет равен $0,5 \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$. Тогда общественное благосостояние имеет вид: $SW = 2a^2 - a^2 = a^2$. Видно, что при любом положительном $a$ общественное благосостояние бесконечно возрастает с ростом $a$. Поскольку государство стремится сделать общественное благосостояние как можно выше, оно выберет бесконечно большое $a$ и, соответственно, бесконечно большое общественное благосостояние.
Функция полезности Миши $U = min{x, y}$. Такая функция полезности соответствует комплементарным товарам, кривые безразличия имеют вид «уголков», вершины которых располагаются на прямой $y = x$. Оптимальной точкой будет являться точка, в которой пересекаются КПВ Гоши и Кирилла и кривая безразличия Миши. Искомой кривой безразличия в данном случае будет являться та, которая имеет ровно одну точку пересечения с КПВ. Изобразим карту кривых безразличия, КПВ и оптимальную точку на одном графике:
Видно, что оптимальная точка находится на втором (слева-направо) участке КПВ. Уравнение этого участка: $y = 240 - 4x$. Приравняем уравнение второго участка КПВ и прямой $y = x$: $240 - 4x = x \Rightarrow x^* = 48,~ y^* = 48$. Таким образом, в оптимуме будет потребляться по $48$ единиц мерча и экспериментов.
Уравнение первого участка КПВ: $y = 100 - 0,5x,~ x \in [0, 40]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
$$U_1 = -x^2 + 8,5x + 100 - 0,5x = -x^2 + 8x + 100 \rightarrow \underset{x \in [0, 40]}{max}$$
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$x^* = \frac{8}{2} = 4 \in [0, 40],~ y^* = 98$$
$$U_1^* = -16 + 32 + 100 = 116$$
Уравнение второго участка КПВ: $y = 240 - 4x,~ x \in [40, 60]$. Подставим это в полезность Антона и промаксимизируем её.
$$U_2 = -x^2 + 8,5x + 240 - 4x = -x^2 + 4,5x + 240 \rightarrow \underset{x \in [40, 60]}{max}$$
Функция полезности имеет вид параболы ветвями вниз, поэтому максимум – в вершине.
$$x_{\text{в}} = \frac{4,5}{2} = 2,25 \notin [40, 60]$$
Видно, что вершина параболы не принадлежит промежутку, значит выбираем граничную точку промежутку, ближайшую к координате вершине, это – $x = 40$, тогда найдём полезность:
$$U_2^* = -1600 + 180 + 240 = -1180$$
Во втором случае полезность, очевидно, меньше, чем в первом, значит оптимальные объёмы потребления мерча и экспериментов найдены в первом случае.
Таким образом, спрос на мерч состоит из трёх участков:
$$x^d =
\begin{cases}
0,& P_x > 8,5
\\
\frac{8,5 - P_x}{2},& P_x \leqslant 8,5,~ \frac{8,5 - P_x}{2} \leqslant \frac{I}{P_x}
\\
\frac{I}{P_x},& \frac{8,5 - P_x}{2} > \frac{I}{P_x}
\end{cases}
$$
То, что караси и анчоусы потребляются комплектами из двух тонн карасей и одной тонны анчоусов, можно формализовать следующим уравнением: $y = 2x$, где $x$ – анчоусы в тоннах, а $y$ – караси в тоннах.
Чтобы найти оптимальное потребление карасей и анчоусов, достаточно пересечь КПВ и уравнение, задающее пропорцию потребления. Сначала построим прямую $y = 2x$ на нашем графике КПВ.
Видно, что прямая пересекает КПВ на первом участке. Уравнение первого участка КПВ: $y = 25 - 0,5x$. Приравниваем: $2x = 25 - 0,5x$ и получаем, что $x = 10,~ y = 20$. Значит в оптимуме будет производится $10$ комплектов.
Альтернативные издержки производства карасей в первом регионе не изменились: $AC_y = 1$, а во втором регионе стали равны: $AC_y = 1,5$. Строим КПВ и прямую $y = 2x$ на одном графике:
Уравнение первого участка КПВ: $y = 30 - \frac{2}{3}x$. Приравниваем: $30 - \frac{2}{3}x = 2x$ и получаем, что $x = 11,25,~ y = 22,5$. Значит теперь в оптимуме потребляется $11,25$ комплектов.