10 класс

1. Про монополиста

Монополист с функцией издержек $TC = 20Q + 100$ работает на рынке с двумя группами потребителей. Группы неразличимы между собой: продавец устанавливает единую цену на свою продукцию. Функция спроса первой группы: $Q_{1}^d = 80 - 2P$, второй $Q_{2}^d = 150 - 3P$.

Вопрос 1 (7 баллов). Какую цену назначит монополист?
Вопрос 2 (2 балла). Сколько единиц продукции приобретёт первая группа?
Вопрос 3 (2 балла). Сколько единиц продукции приобретёт вторая группа?

Решение

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

2. ЦБ и ставка процента

Центральный банк готовится принять очередное решение по ставке процента. Ставка процента определяется согласно правилу Тейлора: $i_{t} = 2(\pi_{t} - 0,5) + 4(x_{t} - 0)$, где $\pi_{t}$ $-$ инфляция в процентах, $x_{t}$ $-$ разрыв ВВП в процентах (отклонение фактического ВВР от потенциального), $i_{t}$ $-$ ставка процента. Центральный банк принимает решение, минимизируя свою функцию потерь: $L = (\pi_{t} - 1)^2 + x_{t}^2$. При этом ЦБ учитывает кривую Филлипса при принятии решения, которая выглядит следующим образом: $x_{t} = 2 - 2\pi_{t}$.

Вопрос 1 (4 балла). Выберите функцию потерь ЦБ в зависимости от инфляции.

  1. $L = 3\pi_{t}^2 - 6\pi_{t} + 3$
  2. $L = 5\pi_{t}^2 - 10\pi_{t} + 5$
  3. $L = -3\pi_{t}^2 + \pi_{t} + 5$
  4. $L = 5\pi_{t}^2 - 10\pi_{t} + 10$

Вопрос 2 (7 баллов). Какую ставку процента выберет ЦБ?

Решение

Ответ на вопрос 1: 2)
Решение: подставим кривую Филлипса в функцию потерь ЦБ и минимизируем её: $$L = (\pi_{t} - 1)^2 + (2 - 2\pi_{t})^2 = 5\pi_{t}^2 - 10\pi_{t} + 5$$ Получаем инфляцию $1\%$ и разрыв ВВП $0\%$. Таким образом, ЦБ выберет ставку $2 \cdot (1 - 0,5) + 4 \cdot (0 - 0) = 1\%$.
Ответ на вопрос 2: $1\%$

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

3. Винтик и Шпунтик

На рынке обслуживания автомобилей в Цветочном городе конкурируют два механика: Винтик и Шпунтик. Ежемесячный спрос на услуги механиков описывается функцией $Q_{d} = 100 - 2P$. Функция издержек Винтика $TC = \frac{Q^2}{10}$, и он выбирает, принимать в месяц $50$ или $60$ заказов. Мастерская Шпунтика обладает более скромными возможностями: при функции издержек $TC = 2Q$, он выбирает между объемами $20$ или $40$ заказов в месяц. Механики объявляют о том, сколько готовы принять заказов в начале месяца, одновременно и независимо друг от друга, цена определяется из функции спроса.

Вопрос 1 (1 балл). Найдите прибыль Винтика и Шпунтика, если они выбирают объёмы выпуска $(50; 20)$ соответственно.

  1. прибыль Винтика
  2. прибыль Шпунтика

Вопрос 2 (1 балл). Найдите прибыль Винтика и Шпунтика, если они выбирают объёмы выпуска $(50; 40)$ соответственно.

  1. прибыль Винтика
  2. прибыль Шпунтика

Вопрос 3 (1 балл). Найдите прибыль Винтика и Шпунтика, если они выбирают объёмы выпуска $(60; 20)$ соответственно.

  1. прибыль Винтика
  2. прибыль Шпунтика

Вопрос 4 (1 балл). Найдите прибыль Винтика и Шпунтика, если они выбирают объёмы выпуска $(60; 40)$ соответственно.

  1. прибыль Винтика
  2. прибыль Шпунтика

Вопрос 5 (7 баллов). Какие объемы выберут для производства Винтик и Шпунтик в равновесии?

  1. объем производства Винтика
  2. объем производства Шпунтика
Решение

Необходимо посчитать выигрыши (в данном случае прибыль) для всех четырёх возможных соотношений объёмов: $(50; 20)$, $(50; 40)$, $(60; 20)$, $(60; 40)$. В данном случае Винтик и Шпунтик – олигополисты, поэтому в прибыль подставляем функцию спроса.
Ответ на вопрос 1: 1) 500; 2) 260. $$П_{в} = (50 - \frac{70}{2}) \cdot 50 - \frac{50^2}{10} = 500$$ $$П_{ш} = (50 - \frac{70}{2}) \cdot 20 - 2 \cdot 20= 260$$
Ответ на вопрос 2: 1) 0; 2) 120. $$П_{в} = (50 - \frac{90}{2}) \cdot 50 - \frac{50^2}{10} = 0$$ $$П_{ш} = (50 - \frac{90}{2}) \cdot 40 - 2 \cdot 40= 120$$
Ответ на вопрос 3: 1) 240; 2) 160. $$П_{в} = (50 - \frac{80}{2}) \cdot 60 - \frac{60^2}{10} = 240$$ $$П_{ш} = (50 - \frac{80}{2}) \cdot 20 - 2 \cdot 20= 160$$
Ответ на вопрос 4: 1) -360; 2) -80. $$П_{в} = (50 - \frac{100}{2}) \cdot 60 - \frac{60^2}{10} = -360$$ $$П_{ш} = (50 - \frac{100}{2}) \cdot 40 - 2 \cdot 40= -80$$

Найдём равновесие.
Принятие решения Винтиком:
Если Шпунтик выберет объём $20$, Винтику выгоднее выбрать в ответ $50$ (тогда выигрыш составит $500$, а при объёме $60$ всего $240$). Если Шпунтик решит принимать $40$ заказов, Винтику также выгоднее выбрать объём $50$ (тогда прибыль $0$, а если выбрать $60$ заказов, она составит $–360$). Значит, при любом выборе Шпунтика Винтику выгоднее принимать $50$ заказов.

Принятие решения Шпунтиком:
Если Винтик выберет объём $50$, то Шпунтику выгоднее выбирать $20$ (тогда прибыль $260$, а в случае $40$ заказов в месяц – всего $120$). Если Винтик выберет объём $60$, то Шпунтику по-прежнему выгоднее принимать $20$ заказов (тогда он получает $160$, а если выберет $40$ – получает убытки $–80$). Таким образом, Шпунтику при любом поведении Винтика выгоднее выбирать объём $20$.

Значит, единственным равновесием будет набор объёмов $(50; 20)$.

Ответ на вопрос 5: 1) 50; 2) 20.
Винтик берёт $50$ заказов, Шпунтик – $20$.

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

4. Государство Замунда

Маленькое, но гордое государство Замунда в основном специализируется на выращивании манговых деревьев, поскольку всё население страны обожает манго. Спрос на манго в Замунде имеет вид $Q_{d} = 200 - P$, где $Q_{d}$ $-$ величина спроса на манго в тоннах, $P$ $-$ цена манго в дундуках (валюта в Замунде). Предложение местных фермеров задаётся функцией $Q_{s} = 2P - 10$, где $Q_{s}$ $-$ величина предложения манго в тоннах, $P$ $-$ цена манго в дундуках. Замунда также может торговать с внешним миром на мировом рынке манго, где цена за $1$ тонну составляет $6$ долларов. Участие Замунды в мировом рынке манго никак не влияет на цену на нём, а также на обменный курс дундука к доллару ($1$ доллар можно обменять на $5$ дундуков, и наоборот).

Вопрос 1 (1 балл). Сколько тонн манго будут производить фермеры Замунды?

Вопрос 2 (2 балла). Сколько тонн манго будет импортировать Замунда?

Вопрос 3 (1 балл). Сколько тонн манго будет экспортировать Замунда?

Вопрос 4 (7 баллов). Руководство Замунды заботится о своих фермерах, поэтому планирует ввести пошлину на ввоз манго из-за рубежа в размере $t$ долларов за тонну, которая будет взиматься с иностранных производителей, поставляющих манго в Замунду. Величину общественного благосостояния правительство Замунды определяет как $W = CS + PS + T - 10Q_{im}$ ($CS$ $–$ величина излишка отечественных потребителей, $PS$ $–$ величина излишка отечественных производителей, $T$ $–$ величина налоговых сборов от введения импортной пошлины, $Q_{im}$ $–$ величина импортируемого количества манго в тоннах), поскольку оно придерживается политики импортозамещения. Если государство при этом хочет добиться максимально возможного уровня общественного благосостояния, то какая ставка пошлины (в долларах) будет установлена?

Решение

Внутренняя цена рынка Замунды составляет $70$ дундуков, поэтому в условиях свободной торговли Замунда будет импортёром при мировой цене $5 \cdot 6 = 30$ дундуков. При этой цене величина отечественного спроса равна $170$ тонн, а местные производители готовы выращивать и продавать всего $50$ тонн, поэтому Замунда будет импортировать $120$ тонн манго.
Ответ на вопрос 1: 50
Ответ на вопрос 2: 120
Ответ на вопрос 3: 0

Местные производители готовы выращивать и продавать $50$ тонн, Замунда будет импортировать $120$ тонн манго и не будет экспортировать манго. При введении импортной пошлины, если она не является запретительной ($t \leq 40$), равновесная цена на внутреннем рынке Замунды установится на уровне $P^{*} = 30 + t$. Тогда величина внутреннего спроса будет равна $Q_{d}^{*} = Q^{*} = 200 - (30 + t) = 170 - t,$ величина внутреннего предложения будет равна $Q_{s}^{*} = 2 \cdot (30 + t) - 10 = 50 + 2t$, а величина импорта составит $Q_{im}^{*} = Q^{*} - Q_{s}^{*} = (170 - t) - (50 + 2t) = 120 - 3t$. Величина налоговых сборов в таком случае будет равна $T^{*} = t \cdot Q_{im}^{*} = t \cdot (120 - 3t)$, величина излищка потребителей составит $CS^{*} = 0,5 \cdot (170 - t)^2$, а величина излишка производителей составит $PS^{*} = (25 + t)^2$. Функция благосостояния в таком случае будет иметь вид
$$W^{*} = const + 120t - 3t^2 - 170t + 0,5t^2 + 50t + t^2 + 30t = 30t - 1,5t^2,$$ откуда в силу свойств квадратичной функции получаем $t^{*} = 10 \ (\leq 40)$ дундуков, что равно $2$ долларам.
Ответ на вопрос 4: 2

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

11 класс

1. Фирма "Карамелька"

Фирма «Карамелька» является монополистом на рынке конфет. Спрос на конфеты предъявляют $20$ потребителей. Покупка $q$ кг конфет по цене $P$ приносит каждому потребителю удовольствие в размере $U = 10q - P^2q^2$. Потребитель максимизирует удовольствие. Если потребителю безразлично, покупать или нет, он предпочтёт купить товар. Издержки монополиста составляют $TC = 5Q + 1$. Какую цену на свою продукцию должна установить «Карамелька»? Какое количество она произведёт?
Решение

Найдём спрос на продукцию фирмы.
Это парабола, ветви вниз, максимум в вершине.
$U = 10q - P^2q^2 \rightarrow q = \frac{10}{2P^2} = \frac{5}{P^2}$
Следовательно, спрос на конфеты одного потребителя:
$q = \frac{5}{P^2}$ (5 баллов)
Следовательно, суммарный спрос на конфеты:
$Q = \frac{100}{P^2}$ (1 балл)
Фирма максимизирует прибыль при условии: $P = \frac{10}{\sqrt{Q}}$ $$PR = \frac{10}{\sqrt{Q}} \cdot Q - 5Q - 1 = 10\sqrt{Q} - 5Q - 1$$
Парабола, ветви вниз, максимум в вершине $Q = 1 \rightarrow P = 10$ (5 баллов)

Ответ: $P = 10, Q = 1$

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

2. Таксист Василий

Московский таксист Василий ежедневно выбирает себе количество рабочих часов $h \geq 0$. Почасовая ставка заработной платы Василия составляет $w$ рублей. Чем дольше рабочий день, тем сильнее устаёт таксист, поэтому издержки на работу в течение $h$ часов для него составляют $2h^2$. Выходя на работу, Василий рассчитывает заработать за день сумму $1600$ рублей, которая является для него точкой отсчёта: он сильно расстраивается, если у него не получается заработать ожидаемую сумму за день. Таким образом, функция полезности Василия имеет
следующий вид: $$U(h) =  \begin{cases} wh - 1600 - 2h^2, \text{если} \ wh \geq 1600 \\ 2,25 \cdot (wh - 1600) - 2h^2, \text{если} \ wh < 1600 \end{cases}$$ Запишите в аналитическом виде функцию предложения труда Василия $h^{*}(w)$, то есть функцию, выражающую количество часов, которое будет работать в день таксист Василий, в зависимости от почасовой ставки заработной платы. Является ли эта функция неубывающей на всём множестве $h \geq 0$?
Решение

При решении данной задачи можно дополнительно учитывать содержательное ограничение, не оговоренное в условии, что $h \leq 24$, а можно не учитывать. Стоит засчитывать оба варианта решения.

Вариант 1 (не учтено ограничение $h \leq 24$)
Найдём оптимальное количество часов $h^{*}$ для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).
При $h \geq \frac{1600}{w}$ имеем $U(h) = wh - 1600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{w}{4}$ при $\frac{w}{4} \geq \frac{1600}{w} \leftrightarrow w \geq 80$ (3 балла). При $w < 80$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w < 80$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$ (2 балла).
При $h < \frac{1600}{w}$ имеем $U(h) = 2,25wh - 3600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{2,25w}{4}$ при $\frac{2,25w}{4} < \frac{1600}{w} \leftrightarrow w < \frac{160}{3}$ (3 балла). При $w \geq \frac{160}{3}$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w \geq \frac{160}{3}$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$ (2 балла).
Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение $U(\frac{1600}{w}) \leq U (\text{вершина})$, функция предложения труда имеет следующий вид: $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{160}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in [\frac{160}{3}, 80) \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ w \geq 80 \end{cases}$
Эта функция не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{160}{3}, 80) \big)$ (1 балл).

Ответ: функция предложения труда имеет вид $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{160}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in [\frac{160}{3}, 80) \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ w \geq 80 \end{cases}$, она не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{160}{3}, 80) \big)$.

Вариант 2 (учтено ограничение $h \leq 24$)
Найдём оптимальное количество часов $h^{*}$ для каждого участка (в обоих случаях график функции имеет вид параболы с ветвями вниз).
Первый участок.
При $24 \geq h \geq \frac{1600}{w}$ имеем $U(h) = wh - 1600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{w}{4}$ при $24 \geq \frac{w}{4} \geq \frac{1600}{w} \leftrightarrow 96 \geq w \geq 80$. При $w > 96$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w > 96$ на данном участке является $h^{*} = 24$.
При $w < 80$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w < 80$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$.
Нужно, чтобы $\frac{1600}{w} \leq 24 \leftrightarrow w \geq \frac{200}{3}$.
При $w < \frac{200}{3}$ не выполняется условие $24 > h$.
Второй участок.
При $h < \frac{1600}{w}, h \leq 24$ имеем $U(h) = 2,25wh - 3600 - 2h^2$, то есть $h^{*} = \frac{2,25w}{4}$ при $\frac{2,25w}{4} < \frac{1600}{w}, \frac{2,25w}{4} \leq 24 \leftrightarrow w \leq \frac{128}{3}$.
$h^{*} = 24$, если $24 < \frac{1600}{w}, \frac{2,25w}{4} > 24 \leftrightarrow w \in [\frac{128}{3}; \frac{200}{3}]$
При $w \geq \frac{200}{3}$ вершина параболы (оптимум) выходит за границы ограничения, поэтому оптимальным при $w \geq \frac{200}{3}$ на данном участке является $h^{*} = \frac{1600}{w}$.
Поскольку для обеих парабол имеет место соотношение $U(\frac{1600}{w}) \leq U(\text{вершина})$, а первый кусок отсутствует при $w \leq \frac{200}{3}$, функция предложения труда имеет следующий вид: $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{128}{3} \\ 24, \text{при} \ \frac{128}{3} < w \leq \frac{200}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in (\frac{200}{3}; 80] \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ (80; 96] \\ 24, \text{при} \ w > 96 \end{cases}$

Эта функция не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{200}{3}; 80)\big)$.

Разбалловка: по 4 балла за каждый участок функции полезности (минус 2 балла, если пропущен какой-то из случаев ограничений на $w$), 2 балла за итоговую функцию предложения труда, 1 балл за вывод о невозрастании.

Ответ: функция предложения труда имеет вид $h^{*}(w) = \begin{cases} \frac{2,25w}{4}, \text{при} \ 0 \leq w < \frac{128}{3} \\ 24, \text{при} \ \frac{128}{3} < w \leq \frac{200}{3} \\ \frac{1600}{w}, \text{при} \ w \in (\frac{200}{3}; 80] \\ \frac{w}{4}, \text{при} \ (80; 96] \\ 24, \text{при} \ w > 96 \end{cases}$

Она не является неубывающей на всем множестве $h \geq 0$ $\big($убывает на $w \in (\frac{200}{3}; 80)\big)$.

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

3. Кузнец Вакула

Кузнец Вакула из Дакиньки после первой удачной сделки решил создать собственный бизнес по обувному ритейлу. Осталось выбрать одну из альтернатив (совмещать нельзя): продавать отечественные лапти или поставлять модные черевички из-за границы. Конкуренция на рынке лаптей значительная, поэтому Вакуле остаётся только продавать свои лапти по рыночной цене $20$ рублей. Издержки его при этом составят $TC = 2Q^2 + 4Q + 30$ рублей за $Q$ пар обуви. Рынок заморских черевичек новый для Дакиньки, Вакула может стать первым и уникальным поставщиком. Спрос местных модниц он оценивает как $Q_{d} = 88 - 2P$, где $P$ $–$ цена в рублях, $Q$ $–$ количество пар обуви. Собственные издержки, однако, увеличатся на $2 \cdot E \cdot Q + 8$ , где $E$ – $курс$ (рублей за иностранную валюту, в которой Вакула оплачивает заказ черевичек). Определите, при каких значениях курса $E$ Вакула предпочтёт заниматься бизнесом по продаже черевичек (если ему безразлично, каким бизнесом заниматься, он предпочтёт продажу черевичек).
Решение

Случай совершенной конкуренции (лапти): $$ \pi = TR - TC = 20Q - 2Q^2 - 4Q - 30 = -2Q^2 +16Q - 30 \rightarrow max$$
Парабола ветвями вниз относительно $Q$, значит максимум в вершине параболы. $$Q^{*} = -\frac{16}{(-2) \cdot 2} = 4$$
$\pi_{max1} = (-2) \cdot 16 + 16 \cdot 4 - 30 = 2$ руб. (2 балла)
Случай монополии (заморские черевички): $$\pi = (44 - \frac{1}{2}Q)Q - 2Q^2 - 4Q - 30 - 2EQ - 8 = -2,5Q^2 + 40Q - 2EQ - 38 \rightarrow max$$
Парабола ветвями вниз относительно $Q$ ($E$ для Вакулы внешний параметр), значит максимум в вершине параболы.
$Q^{*} = -\frac{40 - 2E}{2 \cdot (-2,5)} = 8 - 0,4E$ (4 балла)
Подставим в функцию прибыли и сравним со случаем совершенной конкуренции: $$\pi_{max2} = -2,5 \cdot (8 - 0,4E)^2 + 40 \cdot (8 - 0,4E) - 2E \cdot (8 - 0,4E) - 38 \geq 2$$ $$\pi_{max2} = 0,4E^2 -16E + 122 \geq 2$$ $$\pi_{max2} = 0,4E^2 -16E + 120 \geq 0$$
Получаем решение $E \leq 10; E \geq 30$ (3 балла)
Но так как курс влияет на выпуск, а выпуск не может быть отрицательным, получаем дополнительное ограничение:
$Q \geq 0 \implies 8 - 0,4E \geq \implies E \leq 20$.
Также поскольку курс $–$ это отношение цен в разных валютах, он не может быть отрицательным.
$E \in [0; 10]$ (2 балла)

Ответ: $E \in [0; 10]$

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

4. Неравенство в Сиграде

Жителей города Сиград можно разделить на $N$ равных по численности групп так, чтобы в каждой группе у всех был равный доход. При этом люди из разных групп тоже могут получать одинаковый доход. Известно, что самая бедная группа жителей получает $10\%$ доходов всего населения, а самая богатая $–$ $30\%$. При каком $N$ минимально возможное значение коэффициента Джини в городе Сиград будет минимальным? Найдите это значение.
Решение

Для начала определим, при каких $N$ условие может быть выполнено. Обратим внимание, что на «средние» группы населения осталась $1 - 0,1 - 0,3 = 0,6$ доля всех доходов. Доля дохода каждой из «средних» групп не может быть меньше $0,1$ или больше $0,3$. (+1 балл)
Если $N = 3$, то «средняя» группа получает $0,6$ всех доходов $–$ это невозможно.
$N = 4$: в среднем «средние» группы получают $\frac{0,6}{N - 2} = \frac{0,6}{2} = 0,3$ долю всех доходов. Это не противоречит условию.
$N = 5$: в среднем они получают $\frac{0,6}{3} = 0,2$. Такое возможно.
И так далее, пока $0,1 \leq \frac{0,6}{N - 2} \leq 0,3$. Получим, что $N$ может принимать любые целые значения от $4$ до $8$. Тот же результат можно было получить, просто перебрав все $N$ до $9$ и указав, что дальнейший перебор нецелесообразен, так как вычисленная доля будет всё меньше. (+2 балла)
Теперь поймём, когда при каждом $N$ неравенство доходов (то есть коэффициент Джини) минимально. Так как неизвестны доли доходов только средних групп населения, то для минимального неравенства их доходы должны быть равны, иначе, перераспределив доход от более богатой группы населения к более бедной, можно будет снизить неравенство. (+2 балла) Тогда для любого $N$ население можно разделить на $3$ группы $–$ самая бедная с долей населения $\frac{1}{N}$, средняя с долей населения $\frac{N -2}{N}$ и богатая с долей населения $\frac{1}{N}$. (+1 балл)
Тогда коэффициент Джини, из его геометрического смысла, можно посчитать по формуле:
$$G = 1 - 2 \cdot \big(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{10} + \frac{7}{10}) \cdot \frac{N - 2}{N} + (\frac{7}{10} + 1) \cdot \frac{1}{N}\big) = \frac{N - 1}{5N} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5N}$$
(+2 балла за подсчет коэффициента Джини любым способом)

Функция возрастает по $N$ (+1 балл), а значит, выберем наименьшее $N$ из доступных, $4$. (+1 балл)
При этом коэффициент Джини составит $0,15$. (+1 балл)
Ответ: при $N = 4$ коэффициент Джини составит $0,15$.

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

9 класс

1. Про депозиты

Пусть депозит в банке страны $X$ приносит $i_{X} =10 %$ в год, а депозит в стране $Y$ приносит $i_{Y} %$ в год (начисление происходит раз в год в обеих странах). В первом году единица валюты $X$ стоила $33$ единицы валюты $Y$, а во втором году валюта $X$ укрепилась и стала стоить $45$ единиц валюты $Y$.

Вопрос 1 (5 баллов). Выберите, сколько ден. ед. страны $X$ получил владелец капитала из страны $X$ в начале второго года в зависимости от $i_{Y}$, если в начале первого года он положил $1$ ден. ед. на вклад в стране $Y$.

  1. $\frac{33(1-\frac{i_{Y}}{100})}{45}$
  2. $\frac{33(1+\frac{i_{Y}}{100})}{45}$
  3. $\frac{33+(1+\frac{i_{Y}}{100})}{45}$
  4. $\frac{33-(1+\frac{i_{Y}}{100})}{45}$

Вопрос 2 (6 баллов). Какую ставку в процентах стоит предлагать по депозитам банкам страны $Y$, чтобы обладателям капитала из страны $X$ было безразлично, в какой из стран сберечь денежные средства на год, если вклад открывается в начале первого года, а закрывается в начале второго?

Решение

Обозначим ставку по вкладу в стране $Y$ за $i_{Y}$. Если обладатель капитала из страны $X$ кладет $A$ ден. ед. на вклад в стране $Y$, он получает $\frac{33(1+\frac{i_{Y}}{100})}{45} \cdot A$. Ответ на вопрос 1: 2)
Чтобы ему было безразлично, в какой стране открыть вклад, дробь должна быть равна заработку при вкладе в стране $X$, $1,1$. $$1 + \frac{i_{Y}}{100} = 1,1 \cdot \frac{45}{33} = 1,5$$
$$i_{Y} = 50\%$$ Ответ на вопрос 2: 50

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

2. Рыцари и лорды

В стране Нильфгаард оружие покупают две непересекающиеся группы потребителей: рыцари и лорды. Спрос каждого рыцаря описывается функцией $q_1 = 6 - 2p$ . Всего рыцарей в стране насчитывается $25$ человек.

Вопрос 1 (2 балла). Выберите функцию суммарного спроса всех рыцарей.

  1. $Q_{1} = 50 - 25p$
  2. $Q_{1} = 25 - 50p$
  3. $Q_{1} = 150 - 50p$
  4. $Q_{1} = 150 - 25p$

Вопрос 2 (2 балла). Лордов, как водится, больше (паразитируют на обществе). Их в стране $50$ человек. Спрос на оружие каждого лорда описывается функцией $q_2 = 5 - p$. Выберите функцию суммарного спроса всех лордов.

  1. $Q_{2} = 250 - 25p$
  2. $Q_{2} = 150 - 50p$
  3. $Q_{2} = 250 - 50p$
  4. $Q_{2} = 150 - 25p$

Вопрос 3 (2 балла). Известно, что в равновесном состоянии на рынке было приобретено $240$ единиц оружия. Найдите равновесную цену.
Вопрос 4 (5 баллов). Определите долю расходов рыцарей в общих расходах на приобретение оружия. Ответ дайте в процентах, округлив до ближайшего целого.

Решение

Ответ на вопрос 1: 3)
Ответ на вопрос 2: 3)
Ответ на вопрос 3: 1,6
$ Q =
\begin{cases}
400 - 100p, \ 0 \leq p \leq 3 \\
250 - 50p, \ 3 \leq p \leq 5
\end{cases}$
$Q^{*} = 250$ $-$ по условию $$400 - 100p = 240$$ $100p = 160 \rightarrow p^{*} = 1,6$ (удовлетворяет условию $p \in [0; 3]$). В таком случае второе уравнение можем не проверять.
$$p^{*}Q^{*} = 240 \cdot 1,6 = 384$$
$$p^{*}Q_{1}^{*} = 1,6 \cdot (150 - 50 \cdot 1,6) = 112$$
Ответ на вопрос 4: $29\%$
Доля рыцарей: $0,291666 = 29\%$.

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

3. Кондитерская "Пекарёк"

Кондитерская «Пекарёк» выпускает самые вкусные слоёные пирожки в городе, поэтому считается своего рода десертным монополистом. Местные жители просто обожают начинать день со слоёного пирожка, но вечером деликатес пользуется заметно меньшей популярностью. Так, спрос на продукцию «Пекарька» во второй половине дня описывается зависимостью $Q = 240 - 2P$ , а в первой половине дня при любом значении цены жители готовы купить на $30\%$ слоёных пирожков больше, чем во второй.

Вопрос 1 (3 балла). Выберите общую ежедневную функцию спроса на деликатесы «Пекарька».

  1. $Q = 2,3 \cdot (-2P + 120)$
  2. $Q = 2,3 \cdot (-2P + 240)$
  3. $Q = 1,3 \cdot (-2P + 120)$
  4. $Q = 1,3 \cdot (-2P + 240)$

Вопрос 2 (4 балла). Средние издержки производства продукции при этом не зависят от времени суток: они постоянны и равны $60$. Выберите функцию дневной прибыли «Пекарька».

  1. $Q = 1,3 \cdot (P - 120) \cdot (-2P + 240)$
  2. $Q = 1,3 \cdot (P - 120) \cdot (-2P + 120)$
  3. $Q = 2,3 \cdot (P - 60) \cdot (-2P + 120)$
  4. $Q = 2,3 \cdot (P - 60) \cdot (-2P + 240)$

Вопрос 3 (4 балла). Определите, какую максимальную прибыль за целый день может получить «Пекарёк», если цена одного слоёного пирожка не должна меняться в течение всего дня.

Решение

Если "Пекарёк" установит цену на уровне $P$, то днём он реализует $(-2P + 240)$ пирожков, а утром $1,3 \cdot (-2P + 240)$, итого $2,3 \cdot (-2P + 240)$.
Ответ на вопрос 1: 2)
Запишем функцию прибыли "Пекарька".
Ответ на вопрос 2: 4)
$Pr = 2,3 \cdot (-2P + 240) \cdot P - 60\Big(2,3 \cdot (-2P + 240)\Big) = 2,3 \cdot (P - 60) \cdot (-2P + 240)$. Оптимальное $P$ равно $90$, так как это вершина параболы с ветвями вниз. $$Pr(90) = 2,3 \cdot 30 \cdot 60 = 69 \cdot 60 = 4140$$
Ответ на вопрос 3: 4140

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51

4. Планета Вулкан

Жители планеты Вулкан любят сыр, спрос на него на Вулкане описывается функцией $Q_{d} = 1300 - p$. При этом на самом Вулкане сыр производить сложно, потому что там жарко. Предложение сыра на Вулкане имеет вид $Q_{s} = -200 + 2p$. К счастью, в Объединённой федерации планет разрешена свободная торговля сыром, и на международном рынке можно купить или продать сколько угодно товара по цене $300$. Участие Вулкана в международном рынке не изменит цену.

Вопрос 1 (2 балла). Сколько сыра будет произведено на Вулкане?
Вопрос 2 (2 балла). Сколько сыра будет потреблено на Вулкане?
Вопрос 3 (7 баллов). Руководство Вулкана заботится о местных производителях сыра, поэтому раздумывает о введении потоварной пошлины на каждую ввезённую единицу сыра. Пусть благосостояние производителей сыра в $1,5$ раза важнее для правительства, чем благосостояние его потребителей, а величина сборов от пошлины так же важна, как благосостояние потребителей. Тогда общественное благосостояние Вулкана равно $W = CS + 1,5 \cdot PS + T$. Какой размер пошлины будет установлен в целях максимизации общественного
благосостояния?

Решение

$1300 - p =-200 + 2p$, $p = 500$. То есть равновесная цена на внутреннем рынке выше мировой. Вывод: $p = 300$. Тогда произведено $400$, а куплено $1000$.
Ответ на вопрос 1: произведено 400.
Ответ на вопрос 2: потреблено 1000.
Ответ на вопрос 3: 100

Если пошлина $t$ меньше двухсот, то новая цена $p = 300 + t$. Тогда $Q_{d} = 1000 - t$, $Q_{s} = 400 + 2t$. Излишек потребителя $CS = \frac{(1000 - t)^2}{2}$, а излишек производителя: $PS = (200 + t)^2$. Налоговые сборы равны $$T = t \cdot Q^{imp} = t \cdot \Big(1000 - t - (400 + 2t)\Big) = t(600 - 3t)$$ Тогда функция полезности правительства: $$\frac{(1000 - t)^2}{2} + \frac{3}{2}(200 + t)^2 + t(600 - 3t) = const + 200t - t^2$$ ($const$ не важна, поскольку мы ищем вершину). Ищем вершину, получается $t = 100$.

Ответ на вопрос 1: 33
Ответ на вопрос 2: 14
Ответ на вопрос 3: 51