Возьмем какую-нибудь статическую игру с двумя игроками и конечным количеством действий и определим процесс ПИ(н)ДС:

1. Уберем все недоминируемые действия из игры, тем самым получив игру, состоящую только из доминируемых действий
2. Уберём все недоминируемые действия из новой игры
3. Продолжаем процесс, (1): пока не останется только по одному действию у каждого из игроков ИЛИ (2): пока не закончатся доминируемые действия, из которых можно сделать уменьшенную игру
4. Если находимся в ситуации (2), то выбирается самый ‘худший’ (самая маленькая сумма полезностей из всех вариантов) профиль действий

В обеих ситуациях у нас в итоге остается только один профиль действий, назовём его Равновесием ПИ(н)ДС (сокращенно РПИ(н)ДС)

a) Является ли РПИ(н)ДС равновесием Нэша?
b) Удаляются ли в процессе ПИ(н)ДС все доминирующие дествия? Удаляются ли только доминирующие действия?
c) Обязательно ли РПИ(н)ДС приводит к Паретто Неэффективному распределению? Обязательно ли РПИ(н)ДС является ‘худшим’ распределением с точки зрения суммарной полезности?

Рассмотрите следующую модель рецессионой экономики.

1. Численность экономически активного населения страны (так называемых работников) составляет 1 миллион человек и не меняется.
2. В конце нулевого месяца $(t = 0)$ безработица находится на своём естественном уровне, равном $u^*= 5\%$. Естественный уровень безработицы не меняется.
3. Экономика переживает спад, поэтому в начале каждого следующего из трёх месяцев $(t = 1;2;3)$ фирмы увольняют некоторое количество работников, в результате чего уровень безработицы повышается на 1 процентный пункт по сравнению с концом предыдущего месяца. При этом никто из безработных не получает предложения о трудоустройстве.
4. Продуктивность каждого трудоустроенного работника в конце нулевого месяца равна 100 ед/мес, что превышает продуктивность любого безработного в тот же момент времени.
5. Если работник в течение какого-то месяца является безработным, то к концу этого месяца его продуктивность падает в 1,25 раза в силу того, что он не практикуется.
6. Если работник в течение какого-то месяца является трудоустроенным, то за этот месяц его продуктивность не меняется.
7. Фактический совокупный выпуск $Y(t)$ в месяце t создаётся только трудоустроенными работниками и определяется как сумма их производительностей.
8. Потенциальный совокупный выпуск $Y^* (t)$ в месяце t определяется как общее количество единиц продукции, которое могло бы быть произведено экономикой за месяц t, если бы безработица была на своём естественном уровне.

a) Найдите величину фактического совокупного выпуска $Y(3)$
b) Оцените сверху величину потенциального совокупного выпуска $Y^* (3)$ максимально точно.
c) Оцените величину изменения потенциального выпуска за 3 месяца с $Y^* (0)$ до $Y^* (3)$ (эффект гистерезиса).

“Corgis&Коржик” – монополист на рынке сладостей. Фирма выпекает тортики и сама же их продаёт. У неё две группы клиентов, но невозможно предсказать, кто придёт в магазин завтра. Из-за этого функция спроса может каждый день выглядеть по-разному.

Вид функции спроса	$Q=20-4P$	$Q=10-P$
Вероятность	0.7	0.3

Поставщик товара изо всех сил старается привозить сырьё (муку, молоко и прочее) вовремя по сниженной цене, и тогда выпекание одного тортика стоит \$1. К сожалению, в 10% случаев происходят перебои в доставке, и сырьё приходится покупать по обычной цене. В этом случае производство одного тортика стоит \$2.

Руководство решило выставить некоторую фиксированную цену, одинаковую каждый день. Если главное для предприятия это максимально большая ожидаемая выручка, то какую цену следует выставить?$^1$
___________________________
$^1$ Подсказка: в этой задаче спрос на товар и издержки на его производство независимы друг от друга

В пригороде города-столицы Кер-Манговиль сотня фирм занимается производством ящиков для манго. Известно, что все фирмы имеют одинаковые издержки $TC=2q+\dfrac{q^2}{2}+1$, в то время как спрос на ящики задан как $Q=1200−100P$. Государству для проведения своих манговых реформ нужно собирать налоги.

а) Было решено ввести налог на каждую единицу произведённого товара этими фирмами в размере $t = 2$. Найдите величину общественных потерь.
б) Представим, что теперь местные власти решили ввести иной налог на производителей ящиков для манго: фирмы при ненулевом производстве должны заплатить налог $T = 7$. Найдите величину общественных потерь.

В городе Кер-Манговиль на рынке крема из манго можно выделить две группы продавцов: 20 фирм производят крем с издержками $TC_A=10q+q^2+1$, другие 10 фирм на рыке имеют издержки $TC_B=25q+\dfrac{q^2}{2}+1$, где $q$ – уровень производства фирмы. Спрос на крем из манго в этом городе представляет собой линейную зависимость: $Q=550−10P$.

в) Государство решило вести налог на производителей мангового крема: фирмы при ненулевом производстве должны заплатить налог $T = 50$. Найдите величину общественных потерь.
г) Представим, что теперь государство решило ввести налог на каждую единицу произведённого товара этими предприятиями в размере $t = 25$. Найдите величину общественных потерь.
д) Рассмотрим случай, если государство решило ввести налог в 20% от цены. Определите новое равновесие на рыке. Найдите изменение угла предложения на рынке мангового крема в точке равновесия.

В параллельной вселенной С-37 расстояние измеряют иначе, чем мы. Для нас очевидно, что расстояние на плоскости между двумя точками $(x_1;y_1 )$ и $(x_2;y_2 )$ можно найти по формуле:
\[\rho\bigl( (x_1;y_1);(x_2;y_2)\bigr)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\]
Однако в измерении С-37 люди измеряют расстояние следующим образом:
\[\rho\bigl( (x_1;y_1);(x_2;y_2)\bigr)=\max{\bigl(|x_1-x_2|;|y_1-y_2|\bigr)}\]
Представим, что через межпространственный портал вы попали в это измерение, и вам нужно решить следующую задачу:

Внутри равностороннего пятиугольника ABCDE, со стороной AB = 5, отмечена равноудалённая от всех вершин пятиугольника точка O. При этом CE пересекает DB в точке K, причём CK:CE = 1:2 BK:BD = 3:5. Также DA пересекает BE в точке H. Найдите длину KH.

Вы когда-нибудь мечтали стать руководителем крупного банка? Представим, что Вы являетесь им. Вам открыты на выбор две инвестиционные технологии, различающиеся, естественно, доходностью, которая определяется периодом инвестирования. Пусть существуют 3 периода $(T=i, \text{ где } i={0,1,2})$. Первый вариант подразумевает вложение средств в $T = 0$ и получение ровно такой же суммы в периоде $T = 1$. Напротив, вторая опция предлагает вложиться в $T = 0$ и выручить средства в $T = 2$, причём в размере $R\cdot S$,где S-сумма вложений, $R>1$. Если проект завершается раньше $T = 2$, то инвестор ничего не получает и теряет все вложения в данный проект.

Пусть существуют вкладчики, которые разделяются на два типа: рискованные и менее рискованные. Последние не предпочитают держать деньги на счёте: наличные для них спокойнее. Предположим, что функцию полезности вкладчиков: $u(x_i)=\dfrac{x_i^{1-\alpha}}{1-\alpha}$, где $x$-уровень потребления, $i={1,2}$ - тип вкладчика, $\alpha$ - некий параметр.

Пусть в $T=0$ вкладчик не знает к какому типу он относится, но начиная с $T=1$ и вероятностью $p$, он осознает, что он «менее рискованный». Такой вкладчик склонен забирать свой вклад в периоде $T=1$, предпочитая потратить деньги на текущее потребление. Однако вкладчик иного типа готов ждать до $T=2$ (при условии, что не боится за свои средства)$^2$. Как руководитель банка, вы хотите определить оптимальную инвестиционную стратегию при данных рисках.

А) Предположим, что депозиты вкладчиков $d_i \; (d_1\neq d_2)$, которые могут быть сняты. Изначально у банка находится в распоряжении сумма A, такая, что банк способен выдать только $d_1$. Определите условия, при которых банк может провести инвестиционную политику и не обанкротиться.
Б) Результат, полученный построением финансовой модели на основе данных условий и максимизации общей функции полезности по уровню потребления двух групп, привёл к следующему соотношению: $\dfrac{u' (x_1 )}{u' (x_2 ) } =R$.
Используя данное соотношение и условия из пункта A), определите оптимальные $d_1^*$ и $d_2^*$.
В) На основе условий прошлых пунктов и результатов, полученных Вами, объясните (интуитивно), почему данные значения являются оптимальными.

_______________________
$^2$ Вкладчик не боится банкротства банка, которое может случиться при большом набеге других вкладчиков в T=1.

Предположим, что фирма имеет рыночную власть на рынке труда, но продаёт произведённые товары на совершенно конкурентном рынке. Также предположим, что у фирмы фиксированное количество капитала в краткосрочном периоде, и закон предельной убывающей отдачи работает. Постройте график (если Вы можете это сделать) спроса на труд этой фирмы. Если Вы не можете это сделать, то объясните, почему нет.

Давайте рассмотрим какую-нибудь существую монополию. Например, компанию «Гектор и братья», которая единственная производит маршмеллоу со вкусом лакрицы. На эту монополию государство наложило налог на каждую единицу произведенного товара. Для простоты мы приведем график, где покажем MR (предельная выручка), Q – уровень производства и MC (предельные издержки).

МR(Q) – это гладкая функция, которая убывает с ростом выпуска. MC(Q) тоже гладкая функция, которая убывает с ростом выпуска, но она не такая крутая, как MR(Q).

а) Напишите уравнение максимизации прибыли выпуска маршмеллоу до введения налога $(Q_1)$.

б) Напишите уравнение максимизации прибыли выпуска маршмеллоу после введения налога $(Q_2)$.

в) Скажем, что у нас есть $f(Q)= MR(Q)-MC(Q)$. Используя полученные ответы в а) и б) напишите уравнение, которое будет включать в себя $f(Q_1),\; f(Q_2)$ и $T$.

г) Докажите математически, что налог будет вести к уменьшению выпуска продукции.

Рассмотрите следующую модель рецессионой экономики.

1. Численность экономически активного населения страны (так называемых работников) составляет 1 миллион человек и не меняется.
2. В конце нулевого месяца $(t = 0)$ безработица находится на своём естественном уровне, равном $u^*= 5\%$. Естественный уровень безработицы не меняется.
3. Экономика переживает спад, поэтому в начале каждого следующего из трёх месяцев $(t = 1;2;3)$ фирмы увольняют некоторое количество работников, в результате чего уровень безработицы повышается на 1 процентный пункт по сравнению с концом предыдущего месяца. При этом никто из безработных не получает предложения о трудоустройстве.
4. Продуктивность каждого трудоустроенного работника в конце нулевого месяца равна 100 ед/мес, что превышает продуктивность любого безработного в тот же момент времени.
5. Если работник в течение какого-то месяца является безработным, то к концу этого месяца его продуктивность падает в 1,25 раза в силу того, что он не практикуется.
6. Если работник в течение какого-то месяца является трудоустроенным, то за этот месяц его продуктивность не меняется.
7. Фактический совокупный выпуск $Y(t)$ в месяце t создаётся только трудоустроенными работниками и определяется как сумма их производительностей.
8. Потенциальный совокупный выпуск $Y^* (t)$ в месяце t определяется как общее количество единиц продукции, которое могло бы быть произведено экономикой за месяц t, если бы безработица была на своём естественном уровне.

a) Найдите величину фактического совокупного выпуска $Y(3)$
b) Оцените сверху величину потенциального совокупного выпуска $Y^* (3)$ максимально точно.
c) Оцените величину изменения потенциального выпуска за 3 месяца с $Y^* (0)$ до $Y^* (3)$ (эффект гистерезиса).

Пусть X и Y – случайные величины. Известно, что:

X	0.5	1	2
$P(X=x_i)$	p	1-2p	p

При этом $Y=\dfrac{1}{X}$
а) Найдите такое $p$, при котором X=Y выполняется всегда.
б) Найдите все возможные значения $p$, при которых X и Y распределены идентично.

а) Найдите остаток от деления $2^{100}$ на 255.

б) Найдите остаток от деления выражения $x^{2018}-2$ на $x^{253}-1$, при $x \gt 1$

В подземельях старой части города Фламберг искусные волшебники готовят зелье, в народе называемое «жидкой смертью». Однако рецепт его приготовления различен для тех, кто занимается белой и чёрной магией: 20 колдунов производят зелье с издержками $TC_A=10q+q^2+1$, другие 10 волшебников на рыке имеют издержки $TC_B=25q+\dfrac{q^2}{2}+1$, где $q$ – уровень производства для каждого волшебника, измеряемый в дюжине склянок. «Жидкая смерть» свободно торгуется на рынке зельеварений: спрос на это зелье в Фламберге представляет собой линейную зависимость: $Q=550−10P$. Местные власти в рамках программы по борьбе с высокой смертностью решили облагать производство этого эликсира налогом.

а) Представим, что власти решили вести налог на производителей эликсира: волшебники при ненулевом производстве должны заплатить налог T. Выведите функцию, показывающую зависимость величины общественных потерь от размера налога T.
б) Представим, что теперь государство решило ввести налог на каждую единицу произведённого товара этими колдунами в размере t. Выведите функцию, показывающую зависимость величины общественных потерь от размера налога t.
в) Рассмотрим случай, если власти решили ввести налог в $100\cdot\mu\%$ от цены. Выведите функцию, показывающую зависимость величины общественных потерь от размера налога $\mu$.

Румыния на карте мира может быть аппроксимирована как правильный круг с центром в городе Брашов. Представим, что экономический агент «фирмы» представлен в Румынии только равномерно «размазанными» по территории Румынии маленькими магазинчиками и банком Goldman Sacks, чьи банкоматы расположены возле каждого маленького магазинчика, и отделение которого находится в городе Брашов. Но все Румыны пользуются лишь банкоматами, поскольку транзакционные издержки от перемещения по Румынии слишком высоки, так что обычному человеку путешествовать по Румынии крайне невыгодно. Известно, что цены в Румынии ввиду этих издержек неуклонно растут от окраин к центру (это сильно влияет на цену перевозок). Goldman Sacks опубликовал статистику, согласно которой аналитики Сберабанка выяснили, что если разделить Румынию на бесконечность колец и каждому из них поставить последовательно в соответствие действительное число от нуля до единицы так, что Брашов получает 0, а граница 1, то в кольце, у номера которого последний знак этого действительного числа чётный (подразумевается, что нужно взять всю бесконечность знаков действительного числа после запятой, конечность знаков действительного числа делает его чётным) сохраняют 25% дополнительного дохода в банке, а среди жителей кольца, у номера которого последний знак нечётный, норма сохранения дополнительных средств в банке составляет 75%. Если мэрия города Брашов решит провести госзакупки на сумму, равную 2,6% текущего значения ВВП Румынии, во сколько раз он может максимально вырасти?