10-11 классы

1. Задача 1 (СПбГУ 2016)

В Стране чудес на рынке производства эликсира «Выпей меня» присутствует $50$ одинаковых фирм- производителей. Все фирмы должны производить эликсир, строго следуя рецептуре приготовления и разливать в одинаковые флаконы.. Для каждой фирмы зависимость между издержками производства и объемом выпуска флаконов с эликсиром задана функцией $TC = 0,5 \cdot Q^2 + 4 \cdot Q + 18$, где $TC$ – стоимость производства в тыс. золотых монет, $Q$ – объем производства эликсира в тысячах штук флаконов.
Определите:

  1. Какой объем продукции будет предложен всеми производителями при установлении на рынке цены $P = 9$ золотых монет за флакон?
  2. Каковы равновесные параметры рынка (цена и объем продаж), если спрос на продукцию задан функцией $Q_D = 7000/P$?
  3. Каков коэффициент эластичности спроса при равновесной цене?
  4. Какова величина прибыли или убытков отдельной фирмы при установлении равновесия?
  5. Какой должна быть равновесная цена рынка, чтобы каждая отдельная фирма получала нулевую экономическую прибыль?
Решение

  1. $TC = 0,5 \cdot Q^2 + 4 \cdot Q + 18$; $MC = Q + 4$; $Q = - 4 + P$; для $50$ фирм $Q = - 200 + 50 \cdot P$; $P = 9$ руб.; $Q = 250$ тыс. шт.
  2. $Q = - 200 + 50 \cdot P = Q_D = 7000/P$; $50 \cdot P^2 - 200P - 7000 = 0$; $P^2 - 4P - 140 = 0$; $P = 14$ руб.; $Q = 500$ тыс. шт.
  3. $E = - 1 \cdot \frac{7000}{P^2} \cdot \frac{P}{7000/P} = - 1$
  4. Прибыль$ = TR - TC = 14 \cdot 10 - (0,5 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 18) = 32$ тыс. руб.
  5. Прибыль$ = TR - TC = 0$; $P \cdot Q - (0,5Q^2 + 4 \cdot Q + 18) = 0$; вместо $P$ подставляем выражение через объем $(Q + 4) \cdot Q - (0,5Q^2 + 4 \cdot Q + 18) = 0$; $Q = 6$; $P = 10$ руб.

2. Задача 2 (СПбГУ 2016)

У жителей Страны чудес изменились доходы. Реакция населения Страны чудес на изменения дохода такова, что при увеличении дохода на $1$% расходы на потребление снижаются на $0,6$%. На данное время расходы на потребление в Стране чудес составляют в среднем $70$% всего дохода.
Если доходы в ближайшее время увеличатся на $10$%, каким станет удельный вес расходов на потребление от всего дохода?
Решение

$C$ - расходы на потребление
$I$ - доходы
$C = 0,7 \cdot I$
$0,94 \cdot C = x \cdot 0,9 \cdot I$
$0,94 \cdot 0,7 \cdot I = x \cdot 0,9 \cdot I$
$x = \frac{0,94 \cdot 0,7}{0,9} = 0,731$
Расходы на потребление составят $73,1$% от всех доходов

3. Задача 3 (СПбГУ 2016)

Сельскохозяйственная артель в составе деда, бабки, внучки, Жучки, кошки и мышки получила субсидию в рамках программы государственной поддержки импортозамещения с целью выращивания новой большой-пребольшой репки, а также больших-пребольших разновидностей других огородных культур. В результате, помимо репки, у них выросли: гигантский лук, гигантская свёкла и картофель (почему-то обычных размеров). Со сбором картофеля проблем не возникло, однако оказалось, что вытягивать гигантский лук поодиночке могут только люди, а гигантская свёкла поддаётся только совместным усилиям двух человек (один человек и двое животных уже не справляются). Репку, как и в прошлый раз, оказалось возможно вытянуть только всем вместе, вшестером. В итоге от продажи урожая были выручены следующие суммы:
\begin{array}{c c}
Картофель & 45 000 \; руб. \\
Лук & 90 000 \; руб. \\
Свёкла & 30 000 \; руб. \\
Репка & 15 000 \; руб. \\
\end{array}
Дед предложил поделить итоговую сумму в $180 000$ руб. поровну между всеми огородниками. Но против подобной схемы выступила считающая себя "продвинутой" внучка, заметив, что люди, как обладающие большими возможностями и, соответственно, затратившие больше усилий, по справедливости должны и получить больше. Она предложила схему, по которой каждый человек получает $40 000$ руб., а каждое животное – $20 000$ руб. Если же её делёж не будет принят, внучка пригрозила в будущем году выйти из состава артели с выделением ей персонального участка в
размере $1/6$ от каждой грядки, от чего артель, разумеется, проиграет.
Окончательное решение было отложено до утра. Ночью хитрая мышка переговорила сначала с дедом и Жучкой, затем с бабкой и кошкой, предлагая проголосовать утром за схему дележа, предложенную изначально дедом, и доказывая, что артель сможет обойтись и без эгоистичной внучки в случае её ухода.
Установите, есть ли у мышки возможность убедить деда, бабку, Жучку и кошку, что артель способна успешно функционировать и без внучки, работая на участке площадью $5/6$ от изначальной, и если да - каким образом, если:

  1. цены и количество посаженных растений в будущем году считаются такими же, как в текущем;
  2. все участники переговоров (дед, бабка, Жучка, кошка и мышка) стремятся к максимизации собственного дохода;
  3. ни один из участников переговоров не поверит, что другой участник согласился на получение дохода меньшего, чем он был бы способен заработать сам вне артели;
  4. Жучка ни при каких обстоятельствах не поссорится с дедом, а кошка – с бабкой (то есть каждую пару «дед-Жучка» и «бабка-кошка» уместно рассматривать как единого участника артели);
  5. Бабка и кошка не знают, что мышка говорит деду и Жучке, и наоборот.
Решение

Такая возможность у мышки действительно есть, учитывая, что при обеих схемах раздела меняются доли только внучки и мышки; правда, для этого мышке придётся поступить не совсем честно. Рассмотрим возможности участников артели без внучки, при этом с математической точки зрения уместно считать, что их трое, а не пятеро, поскольку пары «дед-Жучка» и «бабка-кошка» рассматриваем как единых участников артели.
Итак, коллектив из мышки, а также пар «дед-Жучка» и «бабка-кошка» способен собирать любые овощи, кроме репки. При этом мы должны иметь в виду, что площадь общего участка уменьшается за счёт персонального участка внучки. Таким образом, из суммы в $180 000$ руб., которую заработали бы все герои вместе с внучкой, нужно вычесть стоимость репки, а затем уменьшить её на $1/6$.
$(180 000 – 15 000) \cdot 5/6 = 137 500$
При схеме раздела, предложенной внучкой, мышка должна получить $20 000$, а выигрыши пар складываются из выигрыша одного человека и одного животного:
$40 000 + 20 000 = 60 000$
Таким образом, во-первых, ни одна из пар не согласится на меньший выигрыш, во-вторых, никто не допустит, что мышка согласится получить меньше предлагаемого ей дедом, и в-третьих, не поверит, что другая пара согласится получить меньше, чем могла бы получить, вообще не сотрудничая с прочими членами артели. Последнее число определяется как доход от картофеля и лука (больше ничего одной паре не собрать) с участка, на который может рассчитывать одна пара (то есть $1/3$ огорода), то есть
$\frac{90 000 + 45 000}{3} = 45 000$
С другой стороны, сумма данных выигрышей составляет
$30 000 + 60 000 +45 000 = 135 000$
При этом коллектив, работая впятером, способен получить на $2 500$ больше этой суммы. Соответственно, при переговорах с парой «дед-Жучка» (конкретное распределение денег внутри пары несущественно) мышке достаточно предложить схему раздела:
\begin{array}{c c c}
Мышка & «дед-Жучка» & «бабка-кошка» \\
30 000 & (60 000 + 2 500) = 62500 & 45 000 \\
\end{array}
А при переговорах с парой «бабка-кошка», соответственно
\begin{array}{c c c}
Мышка & «дед-Жучка» & «бабка-кошка» \\
30 000 & 45 000 & 62 500 \\
\end{array}

4. Задача 4 (СПбГУ 2016)

В Стране чудес было единственное, но свое учебное заведение – Университет чудес, управлял им ректор.
Ректор Университета чудес решил повысить рейтинг руководимого им учебного заведения путём материального стимулирования публикационной активности сотрудников. Для этого была сформирована комиссия, предложившая выплачивать ежемесячно в течение года (12 месяцев) определённую надбавку: по $59$ золотых монет каждому сотруднику, опубликовавшему в престижных журналах в предшествующем году не менее $4$ статей, и по $39$ золотых монет – каждому сотруднику, опубликовавшему $3$ статьи, и с этой целью выделить из бюджета университета определённую сумму, кратную двенадцати. Однако оказалось, что выделенную сумму не удастся распределить полностью между сотрудниками ни при каком количестве претендентов на надбавку.
Какое наибольшее значение могла иметь эта сумма?
Решение

Пусть $n$ — предполагаемая ежемесячная выплата, пусть $x_0$ — число претендентов на первую надбавку и $y_0$ — число претендентов на вторую. Тогда $x_0$ и $y_0$ неотрицательны и $59x_0 + 39y_0 = n$ .
Докажем, что при любом $n > 59 \cdot 39 = 2301$ уравнение $59x + 39y = n$ имеет решение в натуральных числах. Отсюда будет следовать, что при любом $n \ge 58 \cdot 38 = 2204$ уравнение $59x_0 + 39y_0 = n$ имеет решение в неотрицательных целых числах.
Во-первых, заметим, что $59 \cdot 2 + 39 \cdot (-3) = 1$, откуда $59 \cdot (2n) + 39 \cdot (-3n) = n$. Следовательно, уравнение $59x + 39y = n$ имеет решение в целых числах при любом целом $n$. Если ($x_0$; $y_0$) — произвольное целое решение этого уравнения, то ($x_0 + 39$; $y - 59$) и ($x - 39$; $y + 59$) — тоже его решения. Поэтому среди целых решений этого уравнения можно выбрать решение ($x_0$ ; $y_0$) , для которого $1 \le x_0 \le 39$. Тогда $59x_0 \le 59 \cdot 39$. Если $n > 59 \cdot 39$, то $y_0 = \frac{n - 59x_0}{39} >0$, и, таким образом, ($x_0 ; y_0$) — решение уравнения $59x_0 + 39y_0 = n$ в натуральных числах.
Осталось доказать, что уравнение $59x_0 + 39y_0 = 2300$ не имеет решений в натуральных числах. Рассуждаем от противного. Пусть натуральные числа $x_0$ и $y_0$ таковы, что $59x_0 + 39y_0 = 2300$. Тогда $x_0$ делится на $39$, откуда $59x_0 + 39y_0 > 59 \cdot 39 = 2301$. Противоречие. Итак, $2203$ рублей — наибольшая сумма, кратная $12$, которая не может быть выплачена в месяц. Следовательно, наибольшее значение выделенной для надбавок суммы могло составить $2203 \cdot 12 = 26436$ рублей.

5. Задача 5 (СПбГУ 2016)

Фирмы «Светоч», «Колор» и «Художник» производят комплекты красок и мольберты. Производственные возможности каждой из фирм характеризуются следующими данными: фирма «Светоч» может выпускать за один рабочий день максимум $24$ комплектов красок или $16$ мольбертов, фирма «Колор» - $20$ комплектов красок или $30$ мольбертов, а фирма «Художник» - $10$ комплектов красок или $40$ мольбертов.
Фирмы поставляют на небольшой местный рынок художественных принадлежностей все производимые ими мольберты, являясь при этом единственными продавцами на этом рынке. Функция спроса на мольберты описывается уравнением: $Q_{мольбертов} = 100 - 8 \cdot P_{мольбертов}$, где $Q_{мольбертов}$ – это объем спроса на мольберты, а $P_{мольбертов}$ – цена мольбертов. Также известно, что на этом рынке равновесие достигается при цене $6$ денежных единиц.
Для расширения своего присутствия на местном рынке художественных принадлежностей владельцы этих фирм решили продавать производимые ими краски. Изучение рынка красок показало, что там действует достаточно много других поставщиков этой продукции, а продажи аналогичных комплектов красок осуществляются по одной и той же цене. Для освоения рынка красок фирмы решили объединить свои усилия. В первый день продаж красок стало известно, что фирма «Светоч» получила предельную выручку в размере $12$ денежных единиц.
Необходимо:

  1. Построить общую дневную границу производственных возможностей трех фирм после их объединения с указанием на соответствующих осях координатной плоскости числовых параметров, определяющих эту границу, а также дать исчерпывающие пояснения своих построений.
  2. Определить ежедневную суммарную выручку, получаемую каждой фирмой от продажи в этой стране производимых ею красок и мольбертов.
Решение

Выполнение задания 1.

  1. Общая кривая производственных возможностей строится исходя из правила – каждая фирма должна производить тот товар, который она может изготавливать с наибольшей эффективностью (производительностью). Для наглядности можно свести данные в условиях задачи производственные возможности фирм в таблицу:
    \begin{array}{|c|c|c|}
    \hline \\
    Название фирм & Краски & Мольберты \\
    \hline \\
    Светоч & 24 & 16 \\
    \hline \\
    Колор & 20 & 30 \\
    \hline \\
    Художник & 10 & 40 \\
    \hline
    \end{array}
    Из условий задачи и приведенной таблицы понятно, что фирма «Светоч» имеет преимущества в изготовлении красок ($24$ против $20$ у «Колор» и $10$ у «Художника»). Фирма «Художник» имеет
    преимущества в изготовлении мольбертов ($40$ против $16$ у «Светоч» и $30$ у «Колор»). А фирма «Колор» занимает серединное положение (т.е. может заниматься производством и красок и мольбертов).
  2. Исходя из этого, можно найти координаты точек, которые определят конфигурацию границы производственных возможностей:
    Точка 1.
    Все фирмы направляют все свои ресурсы на производство красок и, следовательно, не могут произвести ни одного мольберта:
    $Краски = 54 (24 + 20 + 10)$; $Мольберты = 0$.
    Точка 2.
    Все фирмы направляют все свои ресурсы на производство мольбертов и, следовательно, не могут произвести ни одного комплекта красок:
    $Краски = 0$; $Мольберты = 86 (16 + 30 + 40)$.
    Точка 3.
    Фирма «Светоч» производит краски (у нее преимущество в производстве красок), а фирмы «Колор» и «Художник» производят мольберты:
    $Стулья = 24$; $Диваны = 70 (30 + 40)$.
    Точка 4.
    Фирма «Художник» производит мольберты (у нее преимущество в производстве мольбертов), а фирмы «Колор» и «Светоч» производят краски:
    $Краски = 44 (24 + 20)$; $Мольберты = 40$.
  3. Строим по точкам границу производственных возможностей:
    \begin{array}{|c|c|c|}
    \hline \\
    & Краски & Мольберты \\
    \hline \\
    Точка 1 & 54 & 0 \\
    \hline \\
    Точка 2 & 0 & 86 \\
    \hline \\
    Точка 3 & 24 & 70 \\
    \hline \\
    Точка 4 & 44 & 40 \\
    \hline
    \end{array}

    Выполнение задания 2.
    1) Находим, сколько мольбертов производят все фирмы с учетом спроса на них при цене равновесия в $6$ ден.ед. Для этого подставляем в известную из условий задачи функцию спроса цену в $6$ ден. ед.:
    $Q_{мольбертов} = 100 - 8 \cdot 6 = 52$ мольберта
    Из эти $52$ мольбертов:
    - $40$ мольбертов произвела фирма «Художник» (это видно из построенного графика + она имеет преимущество в производстве мольбертов);
    - тогда $12$ мольбертов приходится на фирму «Колор»
    - фирма «Светоч» не производит мольбертов вообще (у нее преимущество в производстве красок).
    2) Находим, какое максимально возможное количество красок будет произведено и продано при произведенных фирмами $52$-ух мольбертов:
    - фирма «Художник» не произведет ни одного комплекта красок, т.к. она производит максимально возможное для нее количество мольбертов;
    - так как фирма «Светоч» не производила мольбертов вообще, то она должна в этом случае произвести максимально возможное количество комплектов красок (воспользовавшись своим преимуществом в производстве красок), т.е. – $24$ комплекта красок.
    - фирма «Колор» должна произвести $12$ комплектов красок, т.к. она не использовала все свои производственные мощности при производстве мольбертов. Цифра $12$ получается следующим образом:
    \bullet Альтернативная стоимость производства одного мольберта для фирмы «Колор» равна непроизведенному некоторому количеству комплектов красок, т.е. $20/30 = 2/3$ комплекта красок. Это означает, что при производстве одного мольберта фирма «Колор» несет потери в виде $2/3$ непроизведенного комплекта красок (или один мольберт стоит фирме $2/3$ комплекта красок)
    \bullet Альтернативная стоимость $12$-ти произведенных фирмой «Колор» мольбертов равна: $2/3 \cdot 12 = 8$ комплекта красок.
    \bullet Из условий задачи фирма «Колор» может максимально произвести $20$ комплектов красок. Значит при производстве ею $12$-ти мольбертов она должна оставшиеся ресурсы направить на производство красок, которые она произведет в количестве: $20 – 8 = 12$ комплектов красок.
    Таким образом, вместе фирма «Светоч» и фирма «Колор» произведут и выставят на рынок: $24 + 12 = 36$ комплектов красок (при этом фирма «Художник» полностью сосредоточена на производстве мольбертов в количестве = $40$ шт.). На графике это обозначено точкой $X$ с координатами ($52; 36$).
    3) Находим суммарную выручку каждой фирмы, которую они получают при реализации мольбертов и красок:
    - выручка = цена товара $\cdot$ количество проданного товара;
    - из условий задачи можно сделать вывод, что на рынке красок существует совершенная конкуренция, т.к. фирмы продают их по одной и той же цене. Отсюда следует, что цена комплекта красок равна предельной выручке. А так как из условий задачи известно, что фирма «Светоч» получила предельную выручку в $12$ ден. ед., то и цена комплекта красок равна $12$ ден. ед. ($P_{красок} = 12$ ден. ед.)
    - Для удобства определения суммарной выручки каждой фирмы составим таблицу:
    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline \\
    Фирма & Кол-во & Цена & Выручка & Кол-во & Цена & Выручка & Суммарная \\
    & комплектов & комплекта & от продажи & мольбертов & мольберта & от продажи & выручка \\
    & красок & красок & красок & & & мольбертов & фирмы \\
    \hline \\
    «Светоч» & 24 & 12 & 288 & 0 & 6 & 0 & 288 \\
    \hline \\
    «Колор» & 12 & 12 & 144 & 12 & 6 & 72 & 216 \\
    \hline \\
    «Художник» & 0 & 12 & 0 & 40 & 6 & 240 & 240 \\
    \hline
    \end{array}

8-9 классы

1. Задача 1 (СПбГУ 2016)

Спрос и предложение в государстве Сказочная страна на рынке Волшебных палочек заданы функциями $Q_D = 200/P$ и $Q_S = – 10 + P$, где $Q$ – объем товара (Волшебных палочек) в тысячах штук, $P$ – цена одной Волшебной палочки в золотых.
Определите:

  1. Каковы равновесные параметры рынка, т.е. цена и объем продаж Волшебных палочек?
  2. Каковы величины коэффициентов эластичности спроса и предложения в точке равновесия?
  3. Если для поддержания производства Волшебных палочек государство Сказочная страна выплачивает производителям рынка дотацию в размере $2$ золотых на каждую Волшебную палочку, какими станут равновесные параметры?
  4. Какими станут равновесные параметры, если вместо дотаций государство Сказочная страна введет потоварный налог на единицу продукции в размере $2$ монеты?
Решение

  1. Равновесную цену находим решением квадратного уравнения $Q_D = 200/P = Q_S = - 10 + P$; $P^2 - 10P - 200 = 0$;
    $P = 20$, $Q = 10$ тыс. шт.
  2. $E_S = +1 * \frac{20}{10} = 2$; $E_D = - \frac{200}{P^2} \cdot \frac{P}{200/P} = -1$;
  3. Введение дотации производителям изменяет функцию предложения (только свободный член) $Q_S = - 8 + P$. Решение квадратного уравнения дает равновесную цену $P^2 - 8P - 200 = 0$; $P = \frac{8 + (8^2 + 800)^{1/2}}{2}$;
    $P = 18,65$, $Q = 10,72$ тыс. шт.
  4. Введение потоварного налога изменяет функцию предложения (только свободный член) $Q_S = - 12 + P$. Решение квадратного уравнения дает равновесную цену $P^2 - 12P - 200 = 0$; $P = \frac{12 + (12^2 + 800)^{1/2}}{2}$;
    $P = 21,35$, $Q = 9,36$ тыс. шт.

2. Задача 2 (СПбГУ 2016)

Фирма «Быстро дойти до конца» занимается торговлей молодильных яблок на рынке Сказочной страны. Известны издержки этой транспортной фирмы:
Цена товара на оптовом складе $P_{опт} = 60$ золотых за кг, стоимость транспортировки в Долину былей и легенд $P_{тр} = 10$ золотых за кг, стоимость утилизации испорченного в дороге товара (вероятность того, что молодильные яблоки в дороге испортится - $10$%) $P_{утил} = 10$ золотых за кг.
Определите:

  1. Какой должна быть цена продукции в регионе, чтобы выйти на уровень безубыточности?
  2. Если в регионе цена на транспортируемый товар установилась на уровне $P = 80$ золотых за кг, какую прибыль получит фирма, изначально закупив $100$ тонн?
Решение

$TR = TC$
$TR = P \cdot Q \cdot 0,9$
$TC = (60 + 10 + 0,1 \cdot 10) \cdot Q = 71 \cdot Q$
$P = 71/0,9 = 78,88$;
Прибыль при закупке $100$ тонн и цене $80$ золотых $= TR - TC = (80 \cdot Q \cdot 0,9 - 71 \cdot Q) = (80 \cdot 0,9 - 71) \cdot 100 = 100$ тыс.

3. Задача 3 (СПбГУ 2016)

В банке «Супер» Сказочной страны принимают депозитные вклады под определенный процент годовых. Вклад ежемесячно капитализируется. Известно, что годовой доход составляет более $12$% и менее $13$%, а ежемесячный установленный процент является целым числом.
Определите размер ежемесячного процента, начисляемого на вклад и размер годового процента (ответ округлите до десятых долей процента).
Решение

$0.12 < (1 + P)^{12} - 1 < 0.13$ проверяем $1$% $1,01^{12} \sim 1,1268$, т.о. подходит

4. Задача 4 (СПбГУ 2016)

Сельскохозяйственная артель в составе деда, бабки, внучки, Жучки, кошки и мышки получила субсидию в рамках программы государственной поддержки импортозамещения с целью выращивания новой большой-пребольшой репки, а также больших-пребольших разновидностей других огородных культур. В результате, помимо репки, у них выросли: гигантский лук, гигантская свёкла и картофель (почему-то обычных размеров). Со сбором картофеля проблем не возникло, однако оказалось, что вытягивать гигантский лук поодиночке могут только люди, а гигантская свёкла поддаётся только совместным усилиям двух человек (один человек и двое животных уже не справляются). Репку, как и в прошлый раз, оказалось возможно вытянуть только всем вместе, вшестером. В итоге от продажи урожая были выручены следующие суммы:
\begin{array}{c c}
Картофель & 45 000 руб. \\
Лук & 90 000 руб. \\
Свёкла & 30 000 руб. \\
Репка & 15 000 руб. \\
\end{array}
Дед предложил поделить итоговую сумму в $180 000$ руб. поровну между всеми огородниками. Но против подобной схемы выступила считающая себя "продвинутой" внучка, заметив, что люди, как обладающие большими возможностями и, соответственно, затратившие больше усилий, по справедливости должны и получить больше. Она предложила схему, по которой каждый человек получает $40 000$ руб., а каждое животное – $20 000$ руб. Если же её делёж не будет принят, внучка пригрозила в будущем году выйти из состава артели с выделением ей персонального участка в
размере $1/6$ от каждой грядки, от чего артель, разумеется, проиграет.
Окончательное решение было отложено до утра. Ночью хитрая мышка переговорила сначала с дедом и Жучкой, затем с бабкой и кошкой, предлагая проголосовать утром за схему дележа, предложенную изначально дедом, и доказывая, что артель сможет обойтись и без эгоистичной внучки в случае её ухода.
Установите, есть ли у мышки возможность убедить деда, бабку, Жучку и кошку, что артель способна успешно функционировать и без внучки, работая на участке площадью $5/6$ от изначальной, и если да - каким образом, если:

  1. цены и количество посаженных растений в будущем году считаются такими же, как в текущем;
  2. все участники переговоров (дед, бабка, Жучка, кошка и мышка) стремятся к максимизации собственного дохода;
  3. ни один из участников переговоров не поверит, что другой участник согласился на получение дохода меньшего, чем он был бы способен заработать сам вне артели;
  4. Жучка ни при каких обстоятельствах не поссорится с дедом, а кошка – с бабкой (то есть каждую пару «дед-Жучка» и «бабка-кошка» уместно рассматривать как единого участника артели);
  5. Бабка и кошка не знают, что мышка говорит деду и Жучке, и наоборот.
Решение

Такая возможность у мышки действительно есть, учитывая, что при обеих схемах раздела меняются доли только внучки и мышки; правда, для этого мышке придётся поступить не совсем честно. Рассмотрим возможности участников артели без внучки, при этом с математической точки зрения уместно считать, что их трое, а не пятеро, поскольку пары «дед-Жучка» и «бабка-кошка» рассматриваем как единых участников артели.
Итак, коллектив из мышки, а также пар «дед-Жучка» и «бабка-кошка» способен собирать любые овощи, кроме репки. При этом мы должны иметь в виду, что площадь общего участка уменьшается за счёт персонального участка внучки. Таким образом, из суммы в $180 000$ руб., которую заработали бы все герои вместе с внучкой, нужно вычесть стоимость репки, а затем уменьшить её на $1/6$.
$(180 000 – 15 000) \cdot 5/6 = 137 500$
При схеме раздела, предложенной внучкой, мышка должна получить $20 000$, а выигрыши пар складываются из выигрыша одного человека и одного животного:
$40 000 + 20 000 = 60 000$
Таким образом, во-первых, ни одна из пар не согласится на меньший выигрыш, во-вторых, никто не допустит, что мышка согласится получить меньше предлагаемого ей дедом, и в-третьих, не поверит, что другая пара согласится получить меньше, чем могла бы получить, вообще не сотрудничая с прочими членами артели. Последнее число определяется как доход от картофеля и лука (больше ничего одной паре не собрать) с участка, на который может рассчитывать одна пара (то есть $1/3$ огорода), то есть
$\frac{90 000 + 45 000}{3} = 45 000$
С другой стороны, сумма данных выигрышей составляет
$30 000 + 60 000 +45 000 = 135 000$
При этом коллектив, работая впятером, способен получить на $2 500$ больше этой суммы. Соответственно, при переговорах с парой «дед-Жучка» (конкретное распределение денег внутри пары несущественно) мышке достаточно предложить схему раздела:
\begin{array}{c c c}
Мышка & «дед-Жучка» & «бабка-кошка» \\
30 000 & (60 000 + 2 500) = 62500 & 45 000 \\
\end{array}
А при переговорах с парой «бабка-кошка», соответственно
\begin{array}{c c c}
Мышка & «дед-Жучка» & «бабка-кошка» \\
30 000 & 45 000 & 62 500 \\
\end{array}

5. Задача 5 (СПбГУ 2016)

Правительству Сказочной страны Королева поставила задачу: уменьшить бюрократические препоны. Правительство государства посчитала, что первейшей проблемой, которую необходимотрешить в этой области является значительное сокращение документооборота за год. В результате по отчетам чиновников
Статистическое управление получило следующие результаты изменение объема документооборота за год:
1-ый квартал – уменьшение на $20$%;
2-ой квартал – увеличение на $40$%;
3-ий квартал – увеличение на $10$%;
4-ый квартал – уменьшение на $30$%.
Определите: увеличился ли или уменьшился документооборот, и на сколько процентов произошло это изменение.
Решение

$0,8 \cdot 1,4 \cdot 1,1 \cdot 0,7 = 0,8624$ - уменьшится
$(1 - 0,8624 ) \cdot 100 = 13.8$%