10 класс

1. Предложение фирмы

Издержки фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, заданы соотношением: $TC=\begin{cases}Q^2+5Q+4, & Q>0 \\ 0, & Q=0\end{cases}$ .
Выведите функцию долгосрочного предложения фирмы.
Решение

Фирма на рынке совершенной конкуренции будет производить товар в долгосрочном периоде, если выполняются два условия:
\[\begin{cases} P=MC(Q) & \textbf{(1 балл за формулировку условия)}\\ P \geq min(AC) & \textbf{(2 балла за формулировку условия)} \end{cases}\]
Используем первое условие:
\[\begin{array}{l} MC(Q)=2Q+5=P \\ Q=\dfrac{P-5}{2} & \textbf{(3 балла за вывод формулы)} \end{array}\]
Используем второе условие:
\[AC=Q+\dfrac{4}{Q}+5 \geq 2\sqrt{Q\cdot\dfrac{4}{Q}}+5=9=P \textbf{ (4 балла за нахождение минимума)}\]
Итого, функция предложения принимает следующий вид:
\[Q_s=\begin{cases} \dfrac{P-5}{2}, & P\geq 9 \\ 0, & P\lt9\end{cases} \quad \textbf{(1 балл за итоговую функцию)}\]

2. Фирма "Бордо"

Фирма «Бордо» может производить только целое число единиц некоторого товара. Выбирая только среди целочисленных объёмов выпуска, фирма решила производить 3 единицы. Общие издержки фирмы задаются соотношением $TC=2Q^2+3Q$. Спрос на рынке, на котором действует фирма, является линейным $P=a-bQ$, минимальная цена, при которой величина спроса равна нулю, равняется 30 у.е. Определите, в каких границах может лежать параметр $b$.
Решение

Исходя из того, что максимальная цена равна 30, следует, что $a=30$, и спрос принимает вид $P=30-bQ \textbf{ (2 балла)}$.
Прибыль фирмы равна:
\[\pi = PQ-TC=(30-bQ)Q-2Q^2-3Q \rightarrow \max \textbf{ (2 балла)}\]
Так как производится только целое число единиц товара, то значения параметра определяются из следующей системы:
\[\begin{array}{l} \begin{cases} \pi(4)\leq \pi(3) \\ \pi(2) \leq \pi(3) \end{cases} \quad \textbf{(4 балла)} \\ \begin{cases} 30 \leq 7b+17 \\ 30 \geq 5b+13 \end{cases} \end{array}\]
Итого $ b \in \left[\dfrac{13}{7}; \dfrac{17}{5} \right] \textbf{ (3 балла)}$.
Дополнительных ограничений из проверки принадлежности нецелочисленного оптимума отрезку от 2 до 4, а также положительности цены не возникает.

3. Торговля телефонами

В двух странах А и Б производят и потребляют модные телефоны. В стране А спрос на них предъявляют две группы. Спрос первой описывается уравнением $Q_d=40-4P_A$, спрос второй $Q_d=20-P_A$, где $P_A$ – цена на телефон в валюте страны А. Предложение описывается функцией $Q_s=\dfrac{1}{4}P_A$. В стране Б спрос описывается функцией $Q_d=30-2P_Б$, предложение $Q_s=P_Б-10$, где $P_Б$ – цена телефона в валюте страны Б. Между странами существует свободная торговля. Курс $E=\dfrac{P_A}{P_Б}$ фиксирован. Определите, при каком курсе $\dfrac{P_A}{P_Б}$ объём экспорта из страны Б в страну А составит 5 единиц.
Решение

Спрос в стране А:
$Q_{d_A}=\begin{cases}60-5P_A, &P_A\in [0;10] \\ 20-P_A, & P_A \in [10;20] \textbf{ (2 балла)}\end{cases}$

Первоначальное равновесие в точке $Q_A=4, P_A=16 \textbf{ (1 балл)}$

В стране Б равновесие в точке $Q_Б=\dfrac{10}{3}, P_Б=\dfrac{40}{3} \textbf{ (1 балл)}$

А импортирует товар, а Б экспортирует.
$\begin{array}{l} Im=Q_{d_A}-Q_{S_A}=20-\dfrac{5}{4}P_A \\ Ex=Q_{S_Б}-Q_{D_Б}=3P_Б-40 \\ \textbf{(по 2 балла за функции экспорта и импорта, всего 4 балла)}\\
Im=Ex=5 \\ 20-\dfrac{5}{4}P_A=5 \rightarrow P_A=12 \\ 3P_Б-40=5 \rightarrow P_Б=15 \\ \dfrac{P_A}{P_Б}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5} \textbf{ (3 балла)}\end{array}$

4. Налоги и субсидии

На конкурентном рынке спрос и предложение заданы, как $q_d(p)=30-p$ и $q_s(p)=2p.$ Государство, желая перераспределить доходы, вводит потоварный налог на производителей, а также потоварную субсидию для потребителей, причём государство стремится к тому, чтобы налоговые сборы были в два раза больше суммарных затрат на субсидию. Найдите зависимость равновесной цены от ставки потоварного налога.
Решение

При потоварном налоге и субсидии равновесная цена находится из решения уравнения:
$30-\left(p^*-s\right)=2\left(p^*-t\right)$, где $s$ - ставка субсидии, $t$ - ставка налога (3 балла).

Если налоговые сборы в два раза больше затрат на субсидии, то это интерпретируется так:
$tQ^*=2sQ^*$ (4 балла)

Решая эти уравнения в системе и выражая равновесную цену через ставку потоварного налога, получаем ответ:
$p^*=10+\dfrac{5}{6} t$ (4 балла)

11 класс

1. Товар Икс

На рынке товара $X$ действует монополия, издержки которой описываются функцией $TC=5Q$, где $Q$ – объём выпуска товара $X$. Обратная функция спроса на товар $X$ имеет вид $P=8-2Q$, где $P$ – цена за единицу товара $X$. В целях максимизации благосостояния общества государство решило ввести налог (или субсидию) в размере $t$ у.е. за единицу товара $X$. Какой должна быть ставка налога (или размер субсидии), если под общественным благосостоянием $(SW)$ государство понимает сумму излишка потребителей $(CS)$, прибыли фирмы $(\pi)$ и чистых налоговых сборов ($T$, за вычетом затрат на субсидию)?
Решение

Для более ясной интерпретации результата рассмотрим решение задачи в общем виде. Пусть c учётом налога:
\(\begin{equation} P_D=a-bQ \\ TC=(c+t)\cdot Q \end{equation}\)

Тогда функция прибыли имеет вид:
\(\pi = Q\cdot(a-bQ)-(c+t)\cdot Q=-bQ^2+(a-c-t)\cdot Q \textbf{ (2 балла)}\)

Это парабола ветвями вниз относительно Q, прибыль максимальна в вершине (1 балл за обоснование, 1 балл за правильные выпуск и цену):
\(Q^*=\dfrac{a-c-t}{2b}; \quad P^*=\dfrac{a+c+t}{2}\)

В условиях нашей задачи $a-c=3 \gt 0$, значит, до введения налога оптимум не в нуле:
\(\begin{array}{l} CS=\dfrac{a-P}{2}\cdot Q=\dfrac{a-c-t}{4}\cdot Q \\ \pi = TR-TC=\dfrac{a-c-t}{2}\cdot Q \\ T=t\cdot Q\end{array}\)

Тогда:

\(\begin{array}{l} SW=CS+\pi +T \\ SW=\dfrac{Q}{4}\cdot (3(a-c)+t)=\dfrac{1}{4}\cdot \left(-t^2-2(a-c)t+3(a-c)^2\right) \end{array}\)
(По 1 баллу за каждое выражение и за суммарную функцию. Всего 4 балла. Если слагаемые не были выписаны ранее, но функция верная, то за суммарную функцию всё равно ставить 4 балла)

Это парабола ветвями вниз относительно $t$. Оптимум в вершине, $t^*=c-a=-3$, то есть необходимо ввести субсидию в размере 3 у.е. (1 балл за обоснование, 2 за ответ).

2. Немного про Джини

В фирме «Равенство и Братство» есть только две группы работников: менеджеры и аналитики. Внутри группы каждому работнику выплачивается одинаковая заработная плата, причём зарплата аналитиков более низкая. Коэффициент Джини, характеризующий неравенство оплаты труда, в фирме «Равенство и Братство» равен $0{,}3$. В конкурирующей фирме «Рога и Копыта» структура персонала и оплаты труда аналогична, однако коэффициент Джини равен $0{,}5$. (Примечание: коэффициент Джини измерен в долях, то есть максимальное значение коэффициента Джини по используемой шкале равно 1). Фонд оплаты труда в обеих фирмах одинаковый и составляет 1 млн. руб. Известно, что зарплата менеджеров фирмы «Рога и Копыта» в 1,5 раза выше зарплаты менеджеров фирмы «Равенство и Братство». При этом доля аналитиков в обеих фирмах совпадает. Какова доля аналитиков в общем количестве персонала в фирмах?
Решение

Условие про 1 млн. руб. лишнее.
В случае, когда есть две однородные группы, кривая Лоренца выглядит так:

Сначала поясним, как найти индекс Джини, зная долю доходов бедных и долю их численности.
Площадь под кривой Лоренца равна:
\[\dfrac{1}{2}xy+\dfrac{y+1}{2}\cdot (1-x)=\dfrac{1}{2}(y-x+1)\]
Площадь между кривой равномерного распределения доходов и кривой Лоренца:
\[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}(y-x+1)=\dfrac{1}{2}(x-y)\]
Таким образом, индекс Джини равен: $G=\dfrac{\dfrac{1}{2}(x-y)}{\dfrac{1}{2}}=x-y$
$G=x-y$, где $x$ – доля бедных (в этом случае доля аналитиков), а $y$ – это доля фонда оплаты труда, приходящаяся на аналитиков (4 балла за соотношение). Фирму «Равенство и Братство» обозначим индексом 1, а «Рога и Копыта» – индексом 2. Можем записать следующие уравнения:
\[\begin{array}{l} 1-y_2=1{,}5\cdot(1-y_1) \\ y_2=1{,}5y_1-0{,}5 \quad \textbf{(3 балла)}\end{array}\]
Также известно, что $G_1=x-y_1, G_2=x-y_2$
Решая, получаем, что $x=3G_1-2G_2+1=3\cdot0{,}3-2\cdot0{,}5+1=0{,}9 \quad \textbf{(4 балла)}$

3. Рыночное предложение

На некотором рынке совершенной конкуренции действуют два типа фирм.

  1. Фирмы типа А в количестве 100 штук, каждая с функцией общих издержек $TC(A)=q^2+3q+300$
  2. Фирмы типа Б в количестве 50 штук, каждая с функцией общих издержек $TC(Б)=0{,}5q^2+4q+270$.

Выведите функцию рыночного предложения данной отрасли для краткосрочного периода.

Решение

Чтобы вывести функцию рыночного предложения, требуется вначале определить функцию предложения одной фирмы каждого типа. Для фирмы функция предложения совпадает с кривой предельных издержек, причём, начиная с точки пересечения этой кривой с кривой средних переменных издержек фирмы (включая эту точку ‒ точку минимума средних переменных издержек). Другими словами, функция предложения фирмы будет иметь вид $P=MC(q)$ (в случае, если $MC$ возрастают), исходя из условия максимизации фирмой прибыли на рынке совершенной конкуренции, но при этом должно выполняться условие $P \geq \min AVC(q)$, так как при $P \lt \min AVC(q)$ выходит, что при любом неотрицательном значении $q$ от выхода на рынок фирма получит только убытки, превышающие $FC$ , то есть будет верно $PR \lt -FC$. Это получается из следующей цепочки рассуждений:
\[\begin{equation}P\lt \min AVC \rightarrow P \lt AVC \rightarrow P\cdot q \lt AVC\cdot q \rightarrow TR \lt VC \rightarrow TR-VC \lt 0 \rightarrow \\ (TR-VC-FC)+FC\lt 0 \rightarrow PR+FC\lt0 \rightarrow PR\lt -FC\end{equation}\]
В этом случае фирме невыгодно выходить на рынок.
Таким образом, для фирмы каждого типа функция предложения будет иметь вид:
\[q(s)=\begin{cases}0, &\text{при } 0 \leq P \lt\min AVC \\ q(P), & \text{при } P\geq \min AVC \qquad \textbf{(1 балл)}\end{cases}\]
Исходя из этих условий, выведем теперь функцию предложения для одной фирмы каждого типа.

Для фирм типа А $AVC(q)=\dfrac{VC(q)}{q}=\dfrac{q^2+3q}{q}=q+3$. Минимум этой функции достигается при $q=0 \rightarrow \min AVC=3$.
Значит, при $P\lt3$ для фирмы типа А $q=0$. При $P \geq 3$ для максимизации прибыли фирма будет выбирать количество по принципу $P=MC(q)$.

Для фирм типа A $MC(q)=TC'(q)=2q+3$.
Тогда $P=2q+3 \rightarrow q=0{,}5P-1{,}5$.
Таким образом, предложение фирмы типа А имеет вид:
\[q(s)=\begin{cases}0, &\text{при } 0 \leq P \lt3 \\ 0{,}5P-1{,}5, & \text{при } P\geq 3 \qquad \textbf{(2 балла)}\end{cases}\]
и так как фирм типа А на данном рынке действует 100, то их совокупное предложение будет иметь вид: \(Q(s)=\begin{cases}0, &\text{при } 0 \leq P \lt3 \\ 50P-150, & \text{при } P\geq 3 \end{cases} \quad \textbf{(2 балла)}\).

Аналогично, для фирм типа Б $AVC(q)=\dfrac{VC(q)}{q}=\dfrac{0{,}5q^2+4q}{q}=0{,}5q+4$. Минимум этой функции достигается при $q=0 \rightarrow \min AVC=4$.
Значит, при $P\lt4$ для фирмы типа Б $q=0$. При $P \geq 4$ для максимизации прибыли фирма будет выбирать количество по принципу $P=MC(q)$.

Для фирм типа Б $MC(q)=TC'(q)=q+4$.
Тогда $P=q+4 \rightarrow q=P-4$.
Таким образом, предложение фирмы типа Б имеет вид:
\[q(s)=\begin{cases}0, &\text{при } 0 \leq P \lt4 \\ P-4, & \text{при } P\geq 4 \qquad \textbf{(2 балла)}\end{cases}\]
и так как фирм типа Б на данном рынке действует 50, то их совокупное предложение будет иметь вид: \(Q(s)=\begin{cases}0, &\text{при } 0 \leq P \lt4 \\ 50P-200, & \text{при } P\geq 4 \end{cases} \quad \textbf{(2 балла)}\).

Совокупное предложение на рынке найдём путём суммирования по горизонтали индивидуальных кривых предложения двух типов фирм (двух групп производителей):
\[Q(s)=\begin{cases}0, & \text{при } 0 \leq P \lt 3 \\ 50P-150, & \text{при } 3 \leq P \lt 4 \\ 100P-350, & \text{при } P \geq 4 \end{cases} \quad \textbf{(2 балла)}\]

4. Рэперская

Два известных рэпера совместно проводят концерты и выпускают альбомы. Используя арендованную студию весь год, рэпер MC Икс может записать не более 20-ти альбомов или подготовиться максимум к 10-ти концертам. Если ту же самую студию весь год будет использовать рэпер МС Игрек, он сможет записать не более 10-ти альбомов или подготовиться максимум к 15-ти концертам (рэперы могут совмещать два вида деятельности, а альтернативные издержки одного концерта для каждого из них являются постоянными). Известно, что в каждый момент времени студией может пользоваться только один из рэперов, а другую подходящую студию они найти точно не смогут. Для принятия решения о совместной деятельности рэперам необходимо представлять, какими будут их производственные возможности в течение года аренды студии. Выведите функцию, описывающую совместную КПВ MC Икса и MC Игрека, если для работы им нужно одинаковое оборудование.
Решение

Построим КПВ каждого рэпера:

Оценим альтернативные издержки подготовки единицы концерта каждым из рэперов:
\[\begin{array}{l} X: OC(1K)=2(A) \\ Y: OC(1K)=\dfrac{2}{3}(A) \\ \textbf{(1 балл за построение КПВ и вычисление альтернативных издержек)}\end{array}\]
Заметим, что для организации деятельности им необходимо использовать общий ресурс – арендованную студию, поэтому «объединять» их производственные возможности недопустимо (2 балла за данную мысль)

Очевидно, что при эффективном разделении труда MC Икс должен записывать альбомы, а МС Игрек – проводить концерты, так как альтернативные издержки проведения концертов ниже у МС Игрека (или с учётом его производственных возможностей) (1 балл за сравнение альтернативных издержек и определение специализации).

Тогда максимальное количество концертов, которое может быть организовано ими совместно, совпадает с максимальным количеством концертов МС Игрека (15), если студией весь год будет пользоваться Игрек. А максимальное количество альбомов – с максимальным количеством альбомов МС Икса (20), если студией весь год будет пользоваться Игрек (1 балл за определение максимальных объемов производства благ).

Поскольку оборудование на студии может использоваться как одним из них, так и другим, рассмотрим вариант деления оборудования.

Пусть $t$ – часть года, в течение которого МС Икс использует студию. Тогда за это время он сможет выпустить $20t$ альбомов.

Тогда МС Игрек будет использовать студию $(1–t)$ часть года и сможет провести $15(1–t)$ концертов (1 балл).
Имеем систему:
\[\begin{cases} A=20t \\ K=15(1-t) \\ 0\leq t \leq 1 \end{cases} \quad \textbf{(3 балла за составление системы)}\]
Выразим $t$ из первого уравнения и подставим его во второе:
\[\begin{cases} t=\dfrac{1}{20}A \\ K=15-\dfrac{3}{4}A \\ 0\leq A \leq 20 \end{cases} \quad \textbf{(2 балла за решение системы и ответ)}\]

7-8 класс

1. Волшебные лампы

Шёл Путешественник по пустыне и вдруг наткнулся на Продавца волшебных ламп. Продавец предложил ему выбор: либо купить лампу за 130 золотых монет, либо за количество золотых в 10 раз меньших, чем число покупателей в этом году. На вопрос, сколько же покупателей было у Продавца в этом году он ответил:

«Если к количеству моих покупателей прибавить 100, то полученное число будет без остатка делиться на количество месяцев году. Если количество моих покупателей возвести в квадрат, то одна десятая процента от полученного числа будет не меньше $110\%$ от количества моих покупателей. Если же каждый год число моих покупателей будет расти на $10\%$ по сравнению с предыдущим годом, то через 2 года оно не превысит 1600».

За сколько монет Путешественник в итоге купит лампу?

Решение

Пусть количество покупателей равно $n$. Заметим, что это число обязательно должно быть целым (полчеловека, четверть-человека и т.д. не существует). Запишем математически условие: «Если количество моих покупателей возвести в квадрат, то одна десятая процента от полученного числа будет не меньше $110\%$ от количества моих покупателей».
\[\begin{equation} 0,001n^2 \geq 1,1n \textbf{ (2 балла)}\\
0,01n \geq 11\\
n\geq 1100 \textbf{ (1 балл)}\end{equation}\]
Теперь разберёмся со вторым условием. За два года количество покупателей увеличится в 1,21 раз $(1{,}1\times 1{,}1)$ – 1 балл. Значит:
$$1,21n \leq 1600 \textbf{ (1 балл)}$$
Заметим, что при таком условии необходимо, чтобы $n$ делилось на 100, так как иначе увеличение каждый год на $10\%$ приведёт к нецелому числу человек, что невозможно. $\textbf{(2 балла)}$
Таким образом, с учётом указанных выше ограничений, $n$ может принимать значения: $1100, 1200, 1300$. (рассуждения такого рода 1 балл) Однако, так как $n + 100$ должно делиться без остатка на 12 (число месяцев в году), то остаётся только одно число – 1100. $\textbf{(1 балл)}$

Значит, стоимость волшебной лампы для Путешественника равна $1100/10 = 110$ золотых монет (1 балл), что меньше, чем 130. То есть будет выбран именно этот вариант. (1 балл, если не забыли сказать, что 110 меньше 130)

2. Цены на яблоки

Оксана живёт в Венгерии, её ежемесячный доход составляет 5000 венгриков, Полина живёт в Гринляндии и каждый месяц получает 60 гринчиков. Известно, что страны поддерживают постоянный курс валют, такой, что 1 гринчик равен 125-ти венгрикам. Цены на яблоки в Венгерии и Гринляндии также отличаются, и их соотношение соответственно равно $2 : 1$. Во сколько раз больше яблок может купить Полина?
Решение

Приведём доходы девушек к одной валюте, например, к гринчикам.
Тогда доход Оксаны $5000/125 = 40$ гринчиков (3 балла)
Найдём реальные доходы девушек в своих странах.

Оксана: $40/2 = 20$
Полина: $60/1 = 60$ (4 балла)

Реальный доход Полины в $60/20 = 3$ раза больше, чем реальный доход Оксаны, следовательно, она может купить в 3 раза больше яблок $\textbf{(4 балла)}$

3. Носки и перчатки

В городе М. недавно открылось предприятие по производству носков и перчаток, цель которого – максимизация прибыли. После трёх месяцев его работы гражданин Н., владелец компании, просмотрел отчётность и понял, что фирма работает неэффективно. Но разобраться сам, что же надо изменить, он не смог и обратился в Вашу компанию за помощью. Н. предоставил следующую информацию о компании.
«Если предприятие целый день будет производить только носки, то будет соткано 500 пар, каждую из которых можно будет продать за 35 рублей. Если производить только перчатки, то будет создано 300 пар, которые закупит соседний магазин по 45 рублей за пару (другого покупателя не найти). В то же время расходы на материалы для производства одной пары носков составят 15 рублей, а одной пары перчаток – 12 рублей. Считайте, что других расходов фирма не несёт и работает 25 дней в месяц. Фирма не может работать не целый день и произвести менее 500 пар носков или менее 300 пар перчаток. Фирма не может хранить произведённое или избавляться от произведённого путём, отличным от продажи».

  1. Как должно работать предприятие по производству носков и перчаток? Какую прибыль будет получать ежемесячно гражданин Н., если его предприятие будет работать эффективно?
  2. Разбираясь с данным делом, Вы узнали, что информация, предоставленная гражданином Н., была неполной. Он забыл рассказать про налог в $5 \%$, который фирма должна выплачивать, если её прибыль (до выплаты налога) в день составляет 10 000 руб. или больше. Изменится ли стратегия, которую Вы предложили в предыдущем пункте? Если нет, то почему? Если да, то как? Какую прибыль будет ежемесячно получать Н. в этом случае?
Решение

а). Найдём, какую прибыль ежедневно получает Н. в каждом из двух случаев.

Носки: $500\cdot(35-15)=10 000 \text{ руб.}\textbf{ (1 балл)}$
Перчатки: $300\cdot(45-12)=9 900 \text{ руб.}\textbf{ (1 балл)}$

Таким образом, фирме выгодно специализироваться на производстве носков. Значит, ежемесячная прибыль составит 250 000 руб. (3 балла)

б). Если фирма будет специализироваться на производстве носков, её ежедневная прибыль составит 10 000 руб., то есть в данном случае прибыль будет облагаться налогом по ставке $5 \%$. Значит, наши расчёты в пункте а) надо изменить.

Носки: $500\cdot(35-15)\cdot 0{,}95= 9500\text{ руб.}\textbf{ (2 балла)}$
Перчатки: $300\cdot(45-12)= 9900\text{ руб.}\textbf{ (1 балл)}$

Таким образом, фирме выгодно специализироваться на производстве перчаток. Значит, ежемесячная прибыль составит 247 500 руб. (3 балла)

4. Выбор вклада

Господин Б. хочет воспользоваться услугами банка и положить свои сбережения на срочный депозит. Помогите Б. выбрать вид вклада, если в городе располагаются два банка, каждый из которых предлагает свои $\%$ по вкладу:

Банк Вклад Год 1 Год 2
C "Вверх" $+5\%$ $+15\%$
P "Стоик" $+10\%$ $+11\%$
"Егоза" $+20\%$ $+1\%$

Начисление процентов по вкладу происходит раз в год (предполагается сложный процент). Помогите выбрать вклад и запишите, сколько рублей прибыли получит Б., вложив 100 рублей.

Решение

«Вверх»: $100\cdot1{,}05\cdot1{,}15=120{,}75 \text{ руб.}\textbf{ (3 балла)}$
«Стоик»: $100\cdot1{,}1\cdot1{,}11=122{,}1 \text{ руб.}\textbf{ (3 балла)}$
«Егоза»: $100\cdot1{,}2\cdot1{,}01=121{,}2\text{ руб.}\textbf{ (3 балла)}$

Следовательно, Б. выберет вклад «Стоик» в банке Р (2 балла)
Выгода, которую получит Б.: $122{,}1 – 100 = 22{,}1 \text{ руб.}$

9 класс

1. Налог на производителей

Рыночный спрос задаётся функцией $Q_D=10-2P$. Первоначально на рынке продавались 6 единиц товара. Затем на производителя ввели налог в размере $t=1{,}5$ за единицу товара. После этого было продано 5 единиц. Определите функцию предложения, считая её линейной.
Решение

1) Найдём цену потребителя до и после введения налога:
\(\begin{array}{l} P_0=2 \\ P_1=2{,}5 \textbf{ (по 2 балла за каждую, всего 4)}\end{array}\)

2) Приравняем спрос и предложение до и после введения налога:

\(\begin{array}{l} \begin{cases}Q_{S0}=a+bP \\ Q_{S1}=a+b(P-t)\end{cases} \\
\begin{cases} 6= a+2b \\ 5=a+b(2{,}5-1{,}5) \textbf{ (по 2 балла за каждое уравнение, 4 балла за систему)}\end{cases} \\
\begin{cases} a=6-2b \\ a=5-b \end{cases} \\
6-2b=5-b \\ b=1 \rightarrow a=4 \\ Q_S=4+P \textbf{ (3 балла за функцию)} \end{array}\)

2. Мушкетёры

Три мушкетёра короля могут за день спеть 6 весёлых песен или выиграть 12 дуэлей, работая все вместе. А молодой Д’Артаньян в день может выиграть только 2 дуэли или спеть 3 весёлые песни. Альтернативная стоимость исполнения песен по отношению к дуэлям и для мушкетеров, и для Д’Артаньяна является постоянной. После памятных событий Д’Артаньяна также приняли на службу к королю, и теперь «один за всех, и все за одного»!

Какое максимальное количество весёлых песен смогут петь Д’Артаньян и три мушкетёра в день, если для защиты чести короля им необходимо выигрывать строго 8 дуэлей в день?

Решение

Альтернативная стоимость одной дуэли у трёх мушкетёров равна 0,5 весёлой песни, а у Д’Артаньяна $\frac{3}{2}$ весёлой песни. Таким образом, три мушкетёра имеют сравнительное преимущество в победах на дуэлях, а Д’Артаньян – в распевании весёлых песен (3 балла). Построим уравнение КПВ в ситуации «один за всех, и все за одного»:

\[\text{Д}=\begin{cases}14-\dfrac{2}{3}\times\text{П}, & \text{П}<3 \\ 18-2\times\text{П}, & \text{П} \geq 3\end{cases}\]
(по 3 балла за каждую часть уравнения КПВ, всего 6 баллов)
\[\begin{array}{l} 8=18-2\times\text{П} \\ \text{П}=5 \textbf{ (2 балла)}\end{array}\]

3. Торговля телефонами

В двух странах А и Б производят и потребляют модные телефоны. В стране А спрос на них предъявляют две группы. Спрос первой описывается уравнением $Q_d=40-4P_A$, спрос второй $Q_d=20-P_A$, где $P_A$ – цена на телефон в валюте страны А. Предложение описывается функцией $Q_s=\dfrac{1}{4}P_A$. В стране Б спрос описывается функцией $Q_d=30-2P_Б$, предложение $Q_s=P_Б-10$, где $P_Б$ – цена телефона в валюте страны Б. Между странами существует свободная торговля. Курс $E=\dfrac{P_A}{P_Б}$ фиксирован. Определите, при каком курсе $\dfrac{P_A}{P_Б}$ объём экспорта из страны Б в страну А составит 5 единиц.
Решение

Спрос в стране А:
$Q_{d_A}=\begin{cases}60-5P_A, &P_A\in [0;10] \\ 20-P_A, & P_A \in [10;20] \textbf{ (2 балла)}\end{cases}$

Первоначальное равновесие в точке $Q_A=4, P_A=16 \textbf{ (1 балл)}$

В стране Б равновесие в точке $Q_Б=\dfrac{10}{3}, P_Б=\dfrac{40}{3} \textbf{ (1 балл)}$

А импортирует товар, а Б экспортирует.
$\begin{array}{l} Im=Q_{d_A}-Q_{S_A}=20-\dfrac{5}{4}P_A \\ Ex=Q_{S_Б}-Q_{D_Б}=3P_Б-40 \\ \textbf{(по 2 балла за функции экспорта и импорта, всего 4 балла)}\\
Im=Ex=5 \\ 20-\dfrac{5}{4}P_A=5 \rightarrow P_A=12 \\ 3P_Б-40=5 \rightarrow P_Б=15 \\ \dfrac{P_A}{P_Б}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5} \textbf{ (3 балла)}\end{array}$

4. Товар Кси

На рынке товара Кси присутствуют 6 потребителей со следующими функциями спроса:
\[\begin{array}{l} Q_D^1=12-3P \\ Q_D^2=15-4P \\ Q_D^3=20-4P \\ Q_D^4=20-5P \\ Q_D^5=25-5P \\ Q_D^6=29-4P \end{array}\]
И 3 производителя со следующими функциями предложения:
\[\begin{array}{l} Q_S^1=P \\ Q_S^2=2P-8 \\ Q_S^3=P-10 \end{array}\]
Государство вводит налог в размере 6 у.е. Сколько единиц товара будет продано на рынке в равновесии?
Решение

После введения налога цена будет равна $P_S+6 \textbf{ (1 балл)}$, т. е. не меньше 6. По такой цене готов покупать только последний потребитель (3 балла). При этом его максимальная цена меньше 8, и, за вычетом налога, продавать товар по такой цене готова только первая фирма (4 балла). В равновесии
\[\begin{array} 29-4P=P-6 \\ P^*=7 ; Q^*=1 \textbf{ (3 балла)}\end{array} \]