1. При чем здесь AVC?

Фирма «AVC» является совершенным конкурентом как на рынке конечного продукта, так и на рынке труда. Труд является для данной фирмы единственным переменным фактором производства. Производственная функция фирмы имеет вид
$$Q=4+\sqrt[3]{L-64},$$
где $Q$ – объем выпускаемой продукции, $L$ – объем нанимаемого труда. На рынке конечного продукта установилась цена, равная 60.

При каком максимальном значении зарплаты одного работника фирма останется на рынке в краткосрочном периоде?

Решение

Решение 1 (простое, не требует знания производной):
Выведем функцию переменных издержек фирмы.
Выражая $L$ из производственной функции, получаем

$$L=(Q-4)^3+64=Q^3-12Q^2+48Q$$

Значит, $VC(Q)=wL=w(Q^3-12Q^2+48Q)$.
Значит, функция средних переменных издержек фирмы имеет вид
$AVC(Q)=wL=w(Q^2-12Q+48)=w((Q-6)^2+12)$.
Средние переменные издержки достигают минимума, когда выражение в квадрате равно нулю. Значит, минимум $\AVC$ равен $12w$.
Фирма останется на рынке, если цена не меньше, чем минимум средних переменных издержек, то есть если $12w \leq P=60$ . Отсюда $w\leq 5$.
Название фирмы является намеком на этот простой метод решения.

Решение 2 (громоздкое, требует знания производной и одного специального факта):
Есть такой факт: фирма останется на рынке, если зарплата не больше, чем максимум среднего продукта труда в денежном выражении.
Найдем этот максимум.
$$ARP_L=\frac{PQ}{L}=60 \frac{4+\sqrt[3]{L-64}}{L}\rightarrow\max$$
Производная этого выражения равна:
$$60 \frac{64-2L/3-4\sqrt[3]{(L-64)^2}}{L^2 \sqrt[3]{(L-64)^2}}$$
Обладая недюжинной интуицией, можно угадать корень этого выражения: $L=72$ .
Производная в этой точке меняет знак с плюса на минус, значит это действительно точка максимума.
Значит, максимальный средний продукт труда в денежном выражении равен
$60 \frac{4+\sqrt[3]{72-64}}{72}=5$

2. "Нащупывание" оптимальной ставки налога

Рынок виджетов совершенно-конкурентен. Государство хотело бы ввести на данном рынке потоварный налог, причем так, чтобы сумма налоговых сборов была максимальна. Проблема заключается в том, что оно не знает точно, какой вид имеют постоянно меняющиеся функции спроса и предложения виджетов. Оно обладает лишь информацией о том, что эти функции линейны; кроме того, в каждый момент времени оно может наблюдать равновесный объем и равновесную цену виджетов.
Изначально наблюдаемые цена и количество равны 100. Исходя из этого и прошлых наблюдений, статистический отдел оценил функции спроса и предложения как $Q_d=200-P$ и $Q_s=P$ соответственно.
Эти уравнения были затем использованы для определения ставки потоварного налога $t^{\star}$ , при которой сумма налоговых поступлений (для этих предполагаемых функций) максимальна.
Когда налог по ставке $t^{\star}$ был введен, оказалось, что цена, уплачиваемая потребителем, выросла до 125, а равновесное количество сократилось до 40.

(а) Найдите $t^{\star}$ и полученную государством сумму налоговых поступлений;
(б) Определите, какими уравнениями в действительности описываются спрос и предложение на рынке виджетов (в ответе запишите зависимости количества от цены, а не наоборот);
(в) Является ли полученная государством сумма налоговых поступлений действительно максимальной? Если нет, то найдите максимально возможную сумму налоговых поступлений.

Решение

(а) $t^{\star}=100$, $T=4000$; (б) $Q_d=340-2,4P$, $Q_s=20+0,8P$; (в) $T_{max}=\frac{12500}{3}>4000$ .

3. "Чудесный вкус" доставляет

Компания «Чудесный вкус» производит различные ароматические добавки для кулинарии и косметики. Среди ее продукции есть уникальная концентрированная добавка «Орхидея», единственным производителем которой является «Чудесный вкус». Производственный процесс «Орхидеи» и ее потребительские качества вынуждают компанию осуществлять выработку этого продукта и доставку его оптовому закупщику ежедневно, причем доставка должна осуществляться при специальном температурном режиме. Изучение спроса на «Орхидею» позволило определить, что ежедневная функция спроса имеет вид $x(p)=60-p/2$, где $x$ - объем потребления в кг, а $p$ - цена в тыс. рублей. «Чудесный вкус» может осуществлять доставку этого товара закупщику самостоятельно или пользуясь услугами транспортной компании. При самостоятельной доставке ежедневные расходы компании составляют $(x^2+\alpha x+\alpha^2)$ тыс. рублей, где $\alpha$ — показатель уровня загруженности дорог $(1\leq\alpha \leq 10)$ . Использование услуг транспортной компании влечет ежедневные расходы $(x^2+1000)$ тыс. рублей. Поскольку «Орхидея» является побочным продуктом одного из технологических процессов компании, можно считать, что предельные издержки его производства равны нулю. При каких значениях уровня загруженности дорог «Чудесный вкус» будет осуществлять доставку «Орхидеи» самостоятельно? (Считайте, что «Чудесный вкус» не может часть продукции доставлять самостоятельно, а часть — с помощью транспортной компании).
Решение

При любых $\alpha\in [1;10]$ компания будет осуществлять доставку самостоятельно.

4. Равновесие коэффициентов Джини

На некотором рынке есть три равные по численности группы потребителей, функции спроса которых одинаковы и задаются уравнением
$$Q_d=\frac{I}{3P},$$
где $I$ — совокупный доход группы, $P$ — рыночная цена. Доходы трех групп равны 10, 20 и 40 и внутри групп они распределены равномерно. Кроме того, на рынке есть две совершенно-конкурентные фирмы, функция предложения каждой из которых линейна и выходит из начала координат. Фирмы не несут постоянных издержек. Фирма, имеющая меньшую долю рынка, в равновесии производит 1 единицу продукции.

Один исследователь заметил интересный факт: в равновесии коэффициент Джини, который характеризует неравенство прибылей двух фирм, в точности равен коэффициенту Джини, который характеризует неравенство доходов потребителей.

Найдите равновесную цену.

Решение

Найдем коэффициент Джини, характеризующий неравенство доходов потребителей. Прямые подсчеты показывают, что он равен $\frac{2}{7}$.

По условию, функции предложения двух фирм задаются уравнениями $Q_s=aP$ и $Q_s=bP$ .
Не нарушая общности, будем считать, что $a Из геометрических соображений видно, что максимальная прибыль каждой фирмы равна половине выручки (треугольник равен половине площади прямоугольника), и значит, при цене $P$ она равна $\frac{P\cdot aP}{2}$ и $\frac{P\cdot bP}{2}$ для двух фирм соответственно. (Прибыль можно посчитать и с помощью восстановления $\TC$ из $\MC$). Таким образом, доля прибыли фирмы, получающей меньшую прибыль, в суммарной отраслевой прибыли, равна $\frac{{{\pi }_{1}}}{{{\pi }_{1}}+{{\pi }_{2}}}=\frac{0,5a{{P}^{2}}}{0,5a{{P}^{2}}+0,5b{{P}^{2}}}=\frac{a}{a+b}$, что не зависит от цены и потому существенно упростит наши расчеты.

Таким образом, коэффициент Джини, показывающий неравенство прибылей фирм, равен $\frac{1}{2}-\frac{{{\pi }_{1}}}{{{\pi }_{1}}+{{\pi }_{2}}}=\frac{1}{2}-\frac{a}{a+b}$. По условию, он равен «потребительскому» коэффициенту Джини, а значит, $\frac{1}{2}-\frac{a}{a+b}=\frac{2}{7}$, откуда
$\frac{a}{a+b}=\frac{3}{14}$.

С другой стороны отношение выпуска первой фирмы к рыночному выпуску также равно $\frac{aP}{aP+bP}=\frac{a}{a+b}=\frac{3}{14}$. Мы знаем, что выпуск первой фирмы (меньший из двух) равен 1, и значит, рыночный выпуск в равновесии равен $\frac{14}{3}$.
Наконец, в равновесии цена должна быть такой, чтобы величина рыночного спроса в точности равнялась этому рыночному выпуску:
$$\frac{10+20+40}{3P}=\frac{14}{3},$$
откуда $P=5$ .

При любых $\alpha\in [1;10]$ компания будет осуществлять доставку самостоятельно.