а) Пусть $q^*$ — объем выпуска, максимизирующий функцию $\pi(q)$ при $q\ge 0$. Это эквивалентно утверждению, что $\pi(q^*)\ge \pi(q)$ для всех $q\ge 0$. Домножив на $(1-t)>0$, получим $(1-t)\pi(q^*)\ge (1-t)\pi(q)$ для всех $q \ge 0$, то есть $q^*$ — максимум функции $(1-t)\pi(q)$, то есть прибыли за вычетом налога, что и требовалось доказать.

В качестве альтернативного способа решения можно показать, что у двух функций прибыли (без налога и с налогом) производная равна 0 в одной и той же точке, но это не будет полным решением: а вдруг оптимальное $q$ равно 0; там уже производная нулю не обязана быть равна.

б) Дело в том, что фирмы максимизируют экономическую прибыль, а любой налог вводится на бухгалтерскую. В общем случае вводить налог на экономическую прибыль в моделях неправильно: нужно вводить налог только на бухгалтерскую часть, не трогая альтернативные издержки, которые несет фирма. Обычно нас это не волнует, так как, к примеру, мы предполагаем, что альтернативы этой фирмы тоже связаны с бизнесом и облагаются таким же налогом или же что альтернативные издержки являются константой. Но если альтернативные издержки зависят от $q$ и не связаны с бизнесом, который обложен налогом (владелец технопарка может вместо каждого часа работы играть в гольф или отправить своего сотрудника преподавать в университете и так увеличивать $\pi$), то снижение процентного налога сделает альтернативу менее привлекательной и создаст стимулы для сосредоточения на основной деятельности.

в) Простая модель. Предположим, что неявные издержки растут с ростом выпуска и не меняются при введении налога на прибыль. Прибыль фирмы $\pi(q)=TR-TC_я- TC_{ня}$. Условие максимизации прибыли без налога имеет вид $MR-MC_я-MC_{ня}=0 $, а с налогом на экономическую прибыль — $(MR-MC_я-MC_{ня})(1-t)= 0$, то есть то же самое. Если же вводить налог на бухгалтерскую прибыль, то условие примет вид $(MR-MC_я)(1-t)= MC_{ня}$. Если предположить, что выпуск останется без изменения (таким же, как без налога), то правая часть в последнем уравнении станет больше левой (и обе будут положительны), то есть «чистая предельная бухгалтерская прибыль» будет меньше «предельных неявных издержек». Значит, если чуть-чуть сократить выпуск, то неявные издержки снизятся сильнее, чем чистая бухгалтерская прибыль, то есть общая экономическая прибыль увеличится.

Нетрудно узнать, сколько фирмы будут готовы продавать товара при разных ценах. Функции предложения фирм и общая функция предложения выглядят следующим образом:
$$q_1(P)= \begin{cases}P-20, \text{если $P\ge 20$;}\\0, \text{если $P<20$.}\end{cases}$$
$$q_2(P)= \begin{cases}(P-10)^2, \text{если $P\ge 10$;}\\0, \text{если $P<10$.}\end{cases}$$
$$q_3(P)= \begin{cases}2P-10, \text{если $P\ge 5$;}\\0, \text{если $P<5$.}\end{cases}$$

$$Q_s(P)= \begin{cases}P^2-17P+70, \text{если $P\ge 20$;}\\P^2-18P+90, \text{если $10\le P< 20$;}\\2P-10, \text{если $5\le P< 10$;}\\0, \text{если $P<5$.}\end{cases}$$

Если покупатель назначает цену $P$, то он может купить не больше $100/P$ единиц товара. Поскольку функция предложения везде возрастает, то для максимизации количества купленной продукции покупателю нужно назначить такую цену, при которой его затраты (равные цене, умноженной на количество, которое готовы продать производители) в точности равны 100.

Составим три уравнения для трех ненулевых участков функции предложения.
$$P^2-17P+70 = 100/P \quad (P\ge 20)$$
Решить это уравнение в явном виде непросто и корни получаются «плохие», но это и не нужно. Заметим, что при $P=20$ левая часть (130) больше правой (5). Чтобы оставаться на этом участке функции предложения ($P\ge 20$), мы можем только увеличивать цену, но при этом левая часть будет расти (это парабола с ветвями вверх, вершина в точке $P=8{,}5$), а правая — уменьшаться, то есть значения двух выражений будут еще отдаляться друг от друга и никогда не станут равны.

$$P^2-18P+90 = 100/P \quad (10\le P< 20)$$
Корень $P=10$, являющийся одним из пограничных, подходит. В левой части уравнения парабола с ветвями вверх (вершина при $P=9$), в правой — ветвь гиперболы. Весь допустимый интервал $10\le P < 20$ лежит на возрастающей ветви параболы, а значит, там может быть не больше одного пересечения, и мы нашли единственное. Итак, ($P=10; Q=10$) — точка на кривой предложения, при которой расходы покупателя равны 100.

$$P^2-18P+90 = 100/P \quad (5\le P< 10)$$
В принципе, третье уравнение можно и не решать: если там и будут корни, то объем продаж уж точно не превысит 10. Если решить, то можно убедиться, что единственный положительный корень и есть при $P=10$.

Косвенный налог — это «клин», который государство вбивает между покупателем и продавцом: теперь цена, которую платит покупатель, достается продавцу не полностью, часть (в случае потоварного налога — сумма $t$ за каждую единицу продукции) уходит государству.

Проблема с косвенными налогами заключается в том, что с ними в равновесии продается и покупается меньше товара, чем без них. Когда налога нет, то (в условиях совершенного рынка) по цене $P^*$ продаются все единицы товара, которые покупатели ценят выше, чем продавцы тратят на производство. Когда совершается такая сделка, и покупатель, и продавец выигрывают: первый платит меньше (в крайнем случае не больше), чем сумму, в которую ценит товар, а второй получает больше (в крайнем случае не меньше), чем тратит на производство. Когда налога нет, то нет препятствий для совершения таких сделок, то есть все взаимовыгодные сделки совершаются (объем выпуска $Q^*$).

Когда есть косвенный налог, то будут совершены не все взаимовыгодные сделки, а только те, где разница между ценностью для покупателя и издержками продавца не меньше, чем ставка налога (объем выпуска $Q_T$). Например, если эта разница составляет 5 рублей, а $t=7$ рублей за штуку, то сделка не будет совершена (если вычесть налог из того, что согласен заплатить покупатель, то продавец будет терпеть убыток и не согласится на сделку), тогда как без налога была бы взаимовыгодной. Эта упущенная выгода становится безвозвратными потерями (теми самыми потерями мертвого груза), то есть убытками покупателей и продавцов, которые никому не достаются.

• Косвенные налоги существуют, потому что их проще собирать, чем прямые. Возможно, на собранные средства государство создаст какое-то общественное благо, которое иначе не было бы создано, и это перекроет все потери общества, так что сбор таких налогов имеет смысл.
• Нет никакой разницы, на кого вводится налог: в любом случае потребители платят на величину ставки налога больше, чем получают производители, и налоговое бремя делится между ними в пропорции, зависящей от вида кривых S и D, а не от того, на кого введен налог.
• Юный экономист не прав в том, что налоги — это всегда плохо (см. выше). Его объяснение, однако, неверно: налоги плохи не потому, что их неприятно платить (уплаченная сумма полностью достается государству, делая кому-то приятно), а потому, что искажают стимулы и блокируют некоторые взаимовыгодные сделки. Поэтому, похоже, хоть он и упоминает потери мертвого груза, он неверно понимает их смысл.
• Король прав в том, что каждый уплаченный рубль достается кому-то, но не прав, что при этом не возникает потерь. И даже если все собранные деньги будут потрачены очень эффективно, на благосостояние потребителей и производителей того товара, то котором собирался налог, уменьшится из-за блокирования некоторых взаимовыгодных сделок.

Пусть $S(x)$ — суммарное расстояние всех жителей страны до точки с координатой $x$. Докажем, что на отрезке $[0;1]$ функция $S(x)$ достигает своего минимума в точке 0,75.

Рассмотрим сначала точки $x$, такие, что $0 \le x < 0{,}75$. Докажем, что $S(x) > S(0{,}75)$. Расстояние между точками 0,75 и $x$ равно $0{,}75-x$. Следовательно, для 9 миллионов человек, живущих в городах Г и Д, путь до точки $x$ длиннее, чем путь до точки 0,75. В сумме эта разность расстояний составляет $9\,000\,000(0{,}75-x)$. В то же время для 6 миллионов человек, живущих в городах А, Б и В, путь до точки $x$ короче, чем путь до точки 0,75 в сумме на $6000000(0{,}75-x)$. Таким образом, $S(x) - S(0{,}75) = 3\,000\,000(0{,}75-x) > 0$. Заметим, что верно и более сильное утверждение: чем левее точка $x$ от точки 0,75, тем дольше до нее добираться в сумме всем жителям страны. Итак, в точках с координатой $x<0{,}75$ строить стадион смысла нет.

Пусть теперь $0{,}75 < x \le 1$. Докажем, что $S(x) > S(0{,}75)$. Расстояние между точками 0,75 и $x$ равно $x - 0{,}75$. Теперь в сумме для 10 миллионов человек (жителей городов А, Б, В, Г) путь до точки $x$ длиннее, чем путь до точки 0,75, на $10\,000\,000(x - 0,75)$, а для 5 миллионов человек, живущих в городе Д, путь до точки $x$ короче, чем путь до точки 0,75 на $5\,000\,000(x - 0,75)$. Отсюда следует, что $S(x) > S(0{,}75)$.

Таким образом, мы доказали, что функция $S(x)$ достигает своего минимума в точке 0,75, поэтому стадион следует построить в точке 0,75.

а) Пусть $q^*$ — объем выпуска, максимизирующий функцию $\pi(q)$ при $q\ge 0$. Это эквивалентно утверждению, что $\pi(q^*)\ge \pi(q)$ для всех $q\ge 0$. Домножив на $(1-t)>0$, получим $(1-t)\pi(q^*)\ge (1-t)\pi(q)$ для всех $q \ge 0$, то есть $q^*$ — максимум функции $(1-t)\pi(q)$, то есть прибыли за вычетом налога, что и требовалось доказать.

В качестве альтернативного способа решения можно показать, что у двух функций прибыли (без налога и с налогом) производная равна 0 в одной и той же точке, но это не будет полным решением: а вдруг оптимальное $q$ равно 0; там уже производная нулю не обязана быть равна.

б) Дело в том, что фирмы максимизируют экономическую прибыль, а любой налог вводится на бухгалтерскую. В общем случае вводить налог на экономическую прибыль в моделях неправильно: нужно вводить налог только на бухгалтерскую часть, не трогая альтернативные издержки, которые несет фирма. Обычно нас это не волнует, так как, к примеру, мы предполагаем, что альтернативы этой фирмы тоже связаны с бизнесом и облагаются таким же налогом или же что альтернативные издержки являются константой. Но если альтернативные издержки зависят от $q$ и не связаны с бизнесом, который обложен налогом (владелец технопарка может вместо каждого часа работы играть в гольф или отправить своего сотрудника преподавать в университете и так увеличивать $\pi$), то снижение процентного налога сделает альтернативу менее привлекательной и создаст стимулы для сосредоточения на основной деятельности.

в) Простая модель. Предположим, что неявные издержки растут с ростом выпуска и не меняются при введении налога на прибыль. Прибыль фирмы $\pi(q)=TR-TC_я- TC_{ня}$. Условие максимизации прибыли без налога имеет вид $MR-MC_я-MC_{ня}=0 $, а с налогом на экономическую прибыль — $(MR-MC_я-MC_{ня})(1-t)= 0$, то есть то же самое. Если же вводить налог на бухгалтерскую прибыль, то условие примет вид $(MR-MC_я)(1-t)= MC_{ня}$. Если предположить, что выпуск останется без изменения (таким же, как без налога), то правая часть в последнем уравнении станет больше левой (и обе будут положительны), то есть «чистая предельная бухгалтерская прибыль» будет меньше «предельных неявных издержек». Значит, если чуть-чуть сократить выпуск, то неявные издержки снизятся сильнее, чем чистая бухгалтерская прибыль, то есть общая экономическая прибыль увеличится.

а) По условию задачи данная сельскохозяйственная продукция не производится в стране, следовательно, равновесный объем продаж на рынке и будет объемом импорта. $300-4Р=-50+3Р$. Значит, $P=50$, объем импорта 100
б) Определим цену после введения квоты. При введении квоты $Q_S=60$. Значит, для нахождения цены необходимо приравнять функцию спроса к 60. $300-4Р=60$. Новая цена $Р=60$. Цены выросли на 10.
в) С целью давления на переговорах по сбыту экспортной продукции страны, в целях сокращения зависимости в отношении необходимых продуктов питания, запасы которых могут сократиться в случае плохих климатических условий или неблагоприятной политической ситуации
г) Необходимо, чтобы при введении тарифа цена установилась на уровне 60, и импорт составлял 60. Тариф это налог, взимаемый с иностранных производителей сельскохозяйственной продукции. $P_S=P_D-t$. Определим величину тарифа: $60=-50+3(60-t)$. $t= 70/3$. Другой вариант расчетов: $60-110/3=70/3$

Эта задача иллюстрирует простую идею о том, кто проигрывает, а кто выигрывает от неожиданной инфляции. Когда цены и зарплаты растут в $N$ раз, то индивид, не имеющий сбережений и кредитов, ничего не выиграет и не проиграет: он сможет купить столько же товаров и услуг, сколько раньше (это похоже на деноминацию — «обрезание» нулей с банкнот, только там обычно цены снижаются на несколько порядков). Таким образом, мы не можем ответить на вопрос, какое из предложений поддерживает Доминик: очевидных причин голосовать за то или за другое у него нет.

Если же у человека есть большой кредит, который он должен выплачивать (Марио), и этот кредит больше его сбережений, то неожиданная инфляция для него — хорошая новость. Хоть количество товаров и услуг, которые он сможет потребить на текущую зарплату и не меняется, меняется количество товаров и услуг, от которого нужно отказаться, чтобы выплатить остаток кредита (оно снижается в N раз из-за роста цен). Если буханка хлеба стоила 1 доллар, а стала стоить 2, то чтобы выплатить 500 тыс. долл. кредита, раньше нужно было потребить на 500 тыс. шт. меньше буханок, а теперь — на 250 тыс. шт. Конечно, с депозитом обратный эффект: теперь купить на сумму депозита можно будет меньше. Но кредит Марио значительно больше депозита, так что для него первый эффект больше, поэтому он, похоже, выдвинул предложение I.

Если у человека, наоборот, есть большой депозит (а кредит, если и есть, то на меньшую сумму), то он не будет рад неожиданной инфляции. Сумма на депозите не поменяется, а все цены вырастут в 2 раза, то есть на сумму депозита можно будет купить вдвое меньше товаров и услуг. С другой стороны, неожиданная дефляция — хорошая новость для такого человека. Рассуждения симметричны: теперь на сумму своего вклада, которая не снизится в 2 раза в отличие от цена и зарплат, он сможет купить в 2 раза больше товаров и услуг. По кредиту тоже надо будет выплачивать в 2 раза больше в реальном выражении, но кредит Бена меньше, чем депозит, так что пересилит положительный для него эффект. Следовательно, похоже, предложение II. исходит от Бена.

а) $$Q(L)=\begin{cases}L^2,\\16+2(L-4),\\24-(L-8),\end{cases}= \begin{cases}L^2, \text{если $L\le 4$;}\\8+2L, \text{если $4 8$.}\end{cases}$$

б) $$\pi(L)= \begin{cases}2L^2-wL, \text{если $L\le 4$;}\\16+4L-wL, \text{если $4 8$.}\end{cases}$$

Подстановкой значений зарплаты получаем функции прибыли. Графики для $w=2$ и $w=5$ представлены на рисунках.

в) По графикам можно определить, что $L^*(w=2)=8$, $L^*(w=5)=4$.

Можно определить это без графиков. При $L\le 4$ функция прибыли — парабола ветвями вверх, поэтому максимум там будет или в левом углу, или в правом. Легко убедиться, что в обоих случаях $\pi(4)>\pi(0)$, так что нанять следует как минимум 4 рабочих. На следующем участке при зарплате 2 функция возрастает (значит, надо нанимать как можно больше рабочих в рамках этого участка), а при зарплате 5 — убывает (значит, больше рабочих нанимать не нужно, если только дальше где-нибудь не будет драматического роста прибыли). После $L=8$ функция прибыли убывает, значит, больше работников не нужно нанимать.

Поскольку $k_{t+1}=s\times 24\sqrt{k_t}$, изменение производства между годами $t$ и $t+1$ можно посчитать как $y_{t+1}-y_t=24\sqrt{s\times 24\sqrt{k_t}}-24\sqrt{k_t}$. Легко убедиться, что эта величина будет положительной при $k_t<(24s)^2$. Уровень $k_{1982}=1$ соответствует этому условию, значит, сначала производство риса будет расти. Так что $k_t$ будет приближаться к уровню $(24s)^2$ по мере роста $t$, а если когда-либо станет ему равно, изменение выпуска станет равно 0 и меняться больше не будет. Действительно, при $k_t=(24s)^2$ выпуск в году $t+1$ будет равен выпуску в году $t$, а значит, не поменяется и уровень инвестиций ($k_{t+1}=k_t$), а значит, выпуск не поменяется и в году $t+2$ и т. д. Получаем, что производство в старости будет очень близко или равно $y^*=24\sqrt{(24s)^2}=576s$, а потребление $c^*=y^*\times (1-s)=576s\times(1-s)$.

а) Подставляя $s=1/4$ в эти результаты, получаем $y^*=576/4=144$, $c^*=144\times 3/4= 108$.
б) Подставляя $s=2/3$, получаем $y^*=576\times 2/3=384$, $c^*=384/3= 128$.
в) Функция $y^*=576s$ является возрастающей по $s$, значит, для максимизации выпуска нужно выбирать максимально возможное значение аргумента: $s=1$. Если можно питаться только грибами ($s=1$), то и отлично: чем больше риса мы оставляем каждый год на посев, тем больше его получается в следующем году.
г) $c^*=576s\times(1-s)$ — квадратичная парабола с ветвями вниз, она достигает максимума при $s=1/2$. Чтобы максимизировать производство, в предыдущем пункте нужно было как можно больше инвестировать и как можно меньше потреблять. Однако если выбор между потреблением риса и инвестициями делается только в пользу инвестиций, то это производство ради производства: потребляться рис никогда не будет. Значит, чтобы потреблять в старости больше, нужно инвестировать не весь собранный рис, а определенную его часть.
д) Если $s=1/2$, то максимальный уровень производства каждого фермера равен $y^*=576/2\hm=288$. Если выбрать другой $s$ (увеличить его, чтобы выросло производство), то потребление риса в долгосрочном периоде уменьшится, так что от роста не будет никакой радости. $k=144$ также изменить нельзя: в долгосрочном периоде оно всё равно вернется к $(24s)^2$. Рост числа фермеров не увеличит ВВП на душу населения. Остается только один источник роста — улучшение технологии благодаря техническому прогрессу. Мораль: на стадии накопления капитала страна может расти и без инноваций, но когда капитал достигнет какого-то стабильного уровня — только с ними.