1-й тур: Задачи

1. Ошибка бухгалтера

В 2012 году генеральным директором фирмы X был Иван Иванович, а главным бухгалтером – Аристарх Ксенофонтович. Следуя стандартной стратегии максимизации прибыли, Иван Иванович выбрал объем выпуска, равный 20. По данным главного бухгалтера, прибыль составила 10. В 2013 году в результате интриг Иван Иванович и Аристарх Ксенофонтович поменялись должностями. Встав у руля фирмы, Аристарх Ксенофонтович придерживался более экстравагантной стратегии $-$ максимизации рентабельности (отношения прибыли к общим издержкам). Он выбрал объем выпуска, равный 30. По данным главного бухгалтера, рентабельность в 2013 году составила 25%

Известно, что величина прибыли и общих издержек фирмы X зависит только от ее выпуска, причем общие издержки принимают только строго положительные значения и строго возрастают по выпуску. Директор и бухгалтер понимают под издержками одно и то же, то есть у фирмы нет неявных затрат.

а) Найдите противоречие в условии, то есть докажите, что верно хотя бы одно из двух утверждений:

  • Хотя бы один из директоров выбрал неоптимальный объем выпуска (с точки зрения его стратегии);
  • Хотя бы один из бухгалтеров ошибся в расчетах.

б) Допустим, доподлинно известно, что оба директора выбрали оптимальные объемы выпуска. Определите, кто из бухгалтеров ошибся в расчетах.

Решение

а) Допустим, в условии все верно. Тогда прибыль в точке 30 не больше, чем в точке 20 (так как 20 – оптимальный объем с точки зрения максимизации прибыли).
Отсюда следует, что Аристарх, как гендиректор, действовал не оптимально. Если бы он выбрал не объем 30, а объем 20, то

  1. издержки бы строго упали;
  2. прибыль бы не уменьшилась.

Поскольку прибыль в обеих точках положительна, отношение прибыли к издержкам (рентабельность) точно бы строго выросла. Значит, Аристарх выбрал не оптимальный объем. Противоречие.
б) Допустим, оба объема выпуска действительно оптимальны. Чтобы рассуждение из решения (а) не давало противоречия, необходимо, чтобы прибыль в точке 20 была неположительной. Значит, Аристарх ошибся как бухгалтер. Однако если максимальная прибыль не положительна, то, очевидно, и максимальная рентабельность не положительна. Поэтому Иван Иванович тоже ошибся в расчетах. Ошиблись оба бухгалтера.

2. Счастье Джона Смита

В экономике страны Альфа функция краткосрочного совокупного предложения в 2014 году имеет вид $Y=\frac{2}{3} P$, где $P$ $-$ уровень цен в этой экономике в 2014 году, $Y$ — величина совокупного предложения в 2014 году (млн д. е.). Уравнение совокупного спроса описывается количественной теорией денег, причем известно, что скорость обращения денег постоянна и равна единице.

В этой стране очень хорошо развиты платежные системы, поэтому ее жители не пользуются наличными деньгами, и вся денежная масса определяется величиной депозитов. Денежная база в стране Альфа составляет 0,27 млн д. е. Коммерческие банки страны Альфа не держат избыточных резервов. А норма обязательных резервов в этой стране определяется центральным банком, точнее, его главой — Джоном Смитом. Этот господин устанавливает норму резервов так, чтобы максимизировать свое счастье. Его счастье положительно зависит от краткосрочного равновесного уровня ВВП, потому что за высокий ВВП Смита может похвалить президент. Кроме того, главу центрального банка раздражает нестабильность цен (как инфляция, так и дефляция). Будем считать, что уровень счастья Джона Смита описывается следующим уравнением: $U=Y^2-\pi^2$, где $\pi$ — уровень инфляции по отношению к прошлому году (в прошлом году общий уровень цен в этой стране был равен единице).

а) Какую норму резервов установит глава центрального банка?
б) Чему будет равна денежная масса в стране Альфа в 2014 году?
в) Чему будут равны равновесные уровни ВВП и инфляции?

Решение

Так как уровень цен в базовом периоде равен единице, то уровень инфляции в текущем периоде $\pi=P-1$. Учитывая этот факт, а также функцию совокупного предложения, можно записать счастье главы центрального банка, как функцию от уровня цен:

$$U=(\frac{2}{3}P)^2-(P-1)^2=\frac{4}{9}P^2-P^2+2P-1=-\frac{5}{9}P^2+2P-1$$
Это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, в вершине этой параболы счастье будет максимальным. Таким образом, главе ЦБ следует стремиться к достижению именно такого уровня цен:
$$P=\frac{2*9}{2*5}=1,8$$
Так как скорость обращения денег равна единице, то уравнение количественной теории денег (уравнение Фишера) имеет вид $M=PY$. Отсюда, зная уровень цен, можем найти оптимальную (с точки зрения главы ЦБ) величину денежной массы.
$$M=PY=\frac{2}{3}P^2=\frac{54}{25}$$
Денежная масса связана с денежной базой и нормой обязательных резервов следующим образом:
$$M=\frac{B}{rr}$$
Отсюда мы можем найти оптимальный (с точки зрения главы ЦБ) уровень нормы обязательных резервов:
$$rr=\frac{B}{M}=\frac{25}{54}\times 0,27 =0,125 $$

3. Витаминкин

Индивидуальный частный предприниматель Витаминкин участвует в государственном тендере на поставку ягодного варенья. Чтобы производить требуемое количество варенья, нужно 8 кг брусники и 4 кг черники ежедневно, а также свободное время Витаминкина, альтернативную стоимость которого он оценивает в 1000 рублей в день.
Витаминкин может получить ягоды, наняв одного из двух сборщиков. Сборщик А может собрать за рабочий день максимум 20 кг черники, при этом альтернативные издержки сбора 1 кг черники для него постоянны и равны 0,5 кг брусники. Сборщик В может собрать за рабочий день максимум 12 кг черники, альтернативные издержки сбора 1 кг черники для него постоянны и равны 2 кг брусники. Сборщики могут достичь такой высокой производительности только благодаря уникальному оборудованию по сбору ягод, которое Витаминкин им предоставит в случае найма — без этого оборудования производительность каждого из них на 30% ниже.
Каждый сборщик, будучи нанятым, получает фиксированную ежедневную зарплату от Витаминкина, а также имеет право продать излишек ягод (если он у него будет) по рыночной цене 100 р. за 1 кг (кроме того, по этой цене любые ягоды может покупать и продавать кто угодно в любом количестве). Витаминкин может нанять только одного работника, при этом он сначала объявляет зарплату, которую готов выплатить, а потом сборщик решает, будет он работать или нет. (Считайте, что если сборщику безразлично, то он соглашается работать.)
а) Какую минимальную ежедневную сумму за свои поставки варенья может Витаминкин запросить у государства, чтобы не оказаться в убытке?

б) (попробуйте ответить на этот пункт даже если вы не решили предыдущий) Предположим, что правила тендера на поставку варенья устроены следующим образом. Два участника (один из которых Витаминкин) независимо друг от друга подают заявки с суммами (ставками), за которые они готовы выполнить контракт. После этого конверты с заявками вскрываются, победителем объявляется тот, чья заявленная сумма меньше, но получает он за варенье не свою ставку, а ставку другого участника (проигравшего). Если ставки одинаковые, то победителем тендера будет объявлен Витаминкин. Витаминкин ничего не знает о своем конкуренте: ни его технологию производства, ни функцию издержек, ни ставку, которую конкурент положит в конверт — известно только, что ягоды он закупает за границей. Какую сумму следует Витаминкину написать в заявке, чтобы гарантированно не оказаться в убытке и по возможности максимизировать свою прибыль?

Решение

а) Поскольку у сборщиков есть возможность альтернативного заработка (продать собранный урожай по рыночной цене 100 рублей за кг), Витаминкин, минимизируя свои издержки, должен платить им такую сумму, чтобы в совокупности с суммой, вырученной от продажи излишков сборщиком, она не превышала альтернативный заработок сборщика. Сборщику же будет в этом случае безразлично, работать у Витаминкина или продавать собранную ягоду самостоятельно по рыночной цене. Кроме того, сборщики могут приобрести ягоды на рынке и продать их Витаминкину, как собранные самостоятельно, или сам Витаминкин может купить необходимое количество ягод на рынке. Поэтому следует оценить, какой из вариантов будет выгоднее каждой стороне.
Найдем сначала альтернативный заработок каждого сборщика. Учитывая одинаковую рыночную цену любой ягоды и постоянные альтернативные издержки, каждый сборщик будет продавать ту ягоду, которой сможет собрать больше.

Тип А: Вместо одного кг черники сборщик может собрать только 0,5 кг брусники, поэтому ему стоит собирать только чернику.
Учитывая, что без оборудования Витаминкина каждый сборщик работает на 30% хуже, сборщик А заработает самостоятельно $100*20*\frac{7}{10}= 1400$ рублей в день.

Вместо одного кг черники сборщик В может собрать 2 кг брусники, поэтому ему стоит собирать только бруснику. Учитывая, разницу в производительности, сборщик В заработает самостоятельно $100*12*2*\frac{7}{10}=1680$ рублей в день.

Предположим, что сам Витаминкин приобретает необходимое количество ягод на рынке. Тогда его расходы составят $100*(8+4)=1200 $
Норматив сбора для сборщика типа А лежит точно на его КПВ, а для сборщика типа В норматив сбора лежит внутри множества его производственных возможностей. В оптимальном для себя случае ни один сборщик не будет сам производить оба вида ягод, а будет закупать на рынке ту, в производстве которой он менее эффективен. Действительно, предположим, что, например, сборщик типа В собирает ненулевое количество черники. Тогда, уменьшив сбор черники на килограмм, он смог бы произвести 2 килограмма брусники, которые он продал бы за 200 рублей, а недостающий килограмм черники купил бы за 100 — его прибыль бы увеличилась.

Тогда сборщик типа А будет собирать только чернику в объеме 20 кг, продав 16 кг черники, он сможет купить 8 кг брусники (сдав норму Витаминкину) и заработать $(16-8)*100=800$ рублей. Тогда Витаминкин может заплатить сборщику типа А не более $1400-800=600$ рублей.

Сборщик типа В будет специализироваться на бруснике, собрав ее в объеме 24 кг, тогда продав $24-8=16$ кг брусники, он сможет купить 4 кг черники (сдав норму Витаминкину) и заработать $(16-4)*100=1200 рублей$. Тогда Витаминкин может заплатить сборщику типа В не более $1680-1200=480$ рублей.

Учитывая приведенные вычисления, будет нанят сборщик В и их фиксированный заработок составит 480 рублей. Учитывая стоимость времени Витаминкина, его издержки составят 1480 рублей, то есть для того, чтобы не оказаться в убытке, он должен запросить именно такую минимальную сумму.

б) Обозначим ставку, которую сделает Витаминкин, за $b_В$, а ставку конкурента — за $b_К$. Поскольку Витаминкин ничего не знает о своем конкуренте, он не может знать, какую ставку тот сделает. Рассмотрим разные варианты:

$b_К<1480$ Если конкурент сделал ставку, меньшую, чем возможные издержки Витаминкина, то Витаминкину невыгодно выигрывать аукцион: действительно, в случае победы он получит ставку $b_К$ и окажется в убытке. Чтобы этого точно не произошло, Витаминкин должен сделать ставку $b_В≥1480$.
$b_К>1480$ Если конкурент сделал ставку, большую, чем возможные издержки Витаминкина, то Витаминкину выгодно выигрывать аукцион: действительно, в случае победы он получит ставку $b_К$ и его прибыль будет положительна. При этом величина его прибыли не будет зависеть от его ставки, если $b_В≤b_К$. Чтобы точно получить прибыль в том случае, когда это возможно, Витаминки, следовательно, должен сделать ставку $b_В=1480$.
$b_К=1480$ В этом случае прибыль Витаминкина будет нулевая при любой его ставке.

Получаем, что $b_В=1480$ является оптимальной ставкой для Витаминкина независимо от действий конкурента.

4. Вещество и антивещество

2114 год. Электростанция X производит электроэнергию, для получения единицы которой нужно затратить по одной единице вещества и антивещества. Электростанция является единственным производителем электроэнергии в своем регионе; спрос на нее задан уравнением $Q=100-P$. Рынок вещества совершенно конкурентный, и цена на нем равна v. Антивещество же, напротив, является уникальным благом, которое может производить только Большой Адронный Коллайдер (БАК). Все рассмотренные фирмы максимизируют прибыль, при этом сначала цену устанавливает БАК, а потом электростанция. Все издержки БАКа, а также издержки электростанции, не связанные с закупкой сырья, будем считать фиксированными.

а) Допустим, в производстве энергии может использоваться любое вещество, и потому $v=0$. Найдите цену антивещества $P_a$, которую установит БАК, и цену электроэнергии, которую установит электростанция.
б) Пусть теперь $v>0$. Допустим, $v$ растет на один рубль, о чем становится известно БАКу. Верно, ли что средние переменные издержки производства единицы электроэнергии вырастут на рубль? Если нет, то вырастут ли они больше, чем на рубль, или меньше, чем на рубль? Ответьте, не производя расчетов.
в) Найдите цену антивещества и цену электроэнергии, если $v=10$.

Решение

а) Решим задачу для произвольного $v$ .
Найдем сначала спрос электростанции на антивещество.Пусть цена антивещества равна $a$ . Электростанция максимизирует прибыль: $\pi_{ЭС}=(100-Q)Q-(a+v)Q-FC \rightarrow max$
где $Q$ — объем производимой электроэнергии (который численно совпадает с объемами используемого вещества и антивещества). График целевой функции является параболой с ветвями вниз, и поэтому ее максимум достигается в вершине параболы: $Q=\frac{100-a-v}{2}=50-\frac{a+v}{2}$ Этим уравнением и задается спрос на антивещество.
Зная этот спрос, БАК будет максимизировать свою прибыль:
$\pi_{БАК}=(50-\frac{a+v}{2})a-FC \rightarrow max$
И вновь, график целевой функции является параболой с ветвями вниз, и потому максимум функции достигается в вершине параболы: $a=\frac{100-v}{2}$ .
Таким образом, при $v=0$ оптимальная цена антивещества равна 50. По этой цене электростанция купит 25 единиц антивещества, произведет 25 единиц электроэнергии, которые продаст по цене $100-25=75$ .

б) При росте цены вещества, БАКу будет выгодно изменить цену антивещества. Действительно, как следует из технологии производства, вещество и антивещество являются для электростанции факторами-комплементами, и потому при росте цены вещества спрос станции на антивещество сократится. В данном случае линия спроса на антивещество сдвинется параллельно вниз по оси цен на величину $\Delta V= 1$ руб. Падение спроса приведет к тому, что БАКу будет выгодно снизить цену на антивещество. Если БАК не изменит цену, то он окажется на эластичном участке новой функции спроса на свою продукцию, т.е. на антивещество. Значит, ему будет выгодно снизить цену до уровня, обеспечивающего получение максимума выручки. А так как по условию задачи все его издержки фиксированы, то рост выручки позволит ему увеличить прибыль, на которую он может рассчитывать в новых условиях. Иными словами, рост $V$ приведет к падению $a$. Значит, средние переменные издержки электростанции (величина $a+v$ ) вырастут на величину меньшую, чем прирост $v$ .
в) Просто подставим в наши формулы, полученные выше, $v=10$ . Получим, что БАК назначит цену антивещества, равную 45 (как видим, $a$ действительно снизилось при росте $v$ от нуля до 10). Электростанция при этом произведет 22,5 единицы электроэнергии и продаст их по цене 77,5.

5. Увольнение и зарплата

Результаты исследований реальных данных показывают, что человек, потерявший работу, скорее всего, будет получать меньшую зарплату на новом месте. При этом разница в заработной плате на старом и на новом месте отличается для разных групп работников. Объясните следующие закономерности.

а) Те, кто потерял работу в результате ликвидации предприятий, теряют меньше, чем уволенные с действующих предприятий.
б) Работники, уволенные после продолжительного срока работы, теряют больше, чем работники, проработавшие на старом месте недолго.
в) Работники интеллектуального труда («белые воротнички») теряют в заработной плате относительно больше, чем работники физического труда («синие воротнички»).

Решение

Различия можно объяснить сигналами, который подает история работника новому потенциальному работодателю, определяющему уровень заработной платы. Асимметрия информации между работником и работодателем заставляет последнего ориентироваться на факты, которые помогут ему выяснить уровень квалификации, надежность, честность работника.

а) Факт увольнения с действующего предприятия подает работодателю строго отрицательный сигнал – увольнение, скорее всего, связано именно с качествами работника, в отличие от закрытия предприятия, когда работу теряют все, вне зависимости от рабочих качеств.

б) В ходе работы, помимо общего человеческого капитала, накапливается также и специфический человеческий капитал – навыки и умения, релевантные именно на данном предприятии. Поэтому можно предложить два объяснения: 1) Уволить работника с высоким запасом специфических навыков дороже для предприятия, чем уволить работника без таковых – по причине того, что в первом случае предприятие будет вынуждено затрачивать средства на специфическую подготовку нового работника. Поэтому для потенциального работодателя большой стаж до увольнения может означать более серьезные причины для увольнения. 2) Даже если не пользоваться концепцией сигналов, у работников, чей заработок больше зависит от специфических навыков (как правило, это работники с большим стажем), человеческий капитал при переходе на новое место обесценивается сильнее.

в) Труд «синих воротничков», как правило, более стандартизирован, меньше зависит от специфических навыков и опыта. Таким образом, объяснение очень похоже на пункт б).

6. Производительность труда и НТП

Технологический прогресс по-разному влияет на производительность труда в разных отраслях. Например, для производства автомобиля сегодня нужно гораздо меньше человеко-часов труда, чем было нужно 100 лет назад, но парикмахеры не могут постричь за день в десятки раз больше людей, чем они стригли в начале XX века.

а) Объясните, как именно научно-технический прогресс влиял на технологии производства в этих отраслях, что обусловило эту разницу в динамике производительности труда.

б) Некоторые экономисты считают, что именно это различие приводит к тому, что стоимость таких услуг, как здравоохранение и образование, растет быстрее инфляции. Приведите логику этого аргумента.

в) С развитием Интернета широкое распространение получает дистанционное высшее образование. Чтение лекций онлайн позволяет университетам не ограничивать аудиторию слушателей теми, кто может приходить в аудитории. Используя логику этой задачи, объясните, как эти инновации, вероятно, повлияют на процесс, описанный в предыдущем пункте.

Решение

а) В отраслях, где производительность труда росла быстрее, капитал (станки, оборудование, компьютеры) заменял ручной труд. Чем дальше развиваются технологии, тем больше можно сделать при помощи одной единицы капитала (скажем, компьютера), а количество рабочей силы, которое нужно для обслуживание этой единицы, не возрастает. С другой стороны, такие отрасли, как парикмахерские услуги, здравоохранение и образование, являются трудоинтенсивными: изобретение более совершенных ножниц или лекарств не позволяет сократить количество рабочей силы, нужной для производства единицы товара или услуги.

б) Рост (реальных) зарплат в капиталоинтенсивных отраслях отражает рост производительности труда, описанный в пункте а). Работодатели в этих отраслях конкурируют за работников, что заставляет их повышать зарплаты, если работник производит больше в единицу времени. Но в этой конкуренции участвуют и работодатели из трудоинтенсивных отраслей: если парикмахер поймет, что он больше заработает на заводе, то он пойдет работать на завод. Чтобы удержать его, парикмахерская должна повышать ему реальную зарплату, но, в отличие от зарплаты на заводе, это повышение не будет обусловлено ростом производительности. Откуда же парикмахерская возьмет деньги на повышение реальной зарплаты сотрудников (то есть на то, чтобы она росла быстрее инфляции?). Она будет вынуждена соответственно повысить цены для конечных потребителей или уйти с рынка. То же относится к здравоохранению и образованию.

в) Проведение лекций через интернет повышает производительность труда профессоров: они смогут передавать материал большему числу студентов в единицу времени. Следуя аргументу предыдущего пункта, можно сказать, что с переходом образования в группу отраслей, в которых инновации повышают производительность труда, эффект не обеспеченного ростом производительности роста зарплат снизится, и образование при прочих равных условиях будет дорожать не так быстро.

2-й тур: Задачи

1. Эффективная зарплата в Средиземье

В аграрном королевстве Рохан есть всего одно промышленное предприятие «Роханское серебро», которое добывает серебро и продает его за рубеж. Спрос на продукцию предприятия описывается зависимостью: $q=400-2p$, где $q$ — количество серебра, которое добывает и продает «Роханское серебро» (в килограммах), $p$ — цена одного килограмма серебра (в роханских марках).

Зависимость между количеством нанятых работников и выпуском «Роханского серебра» имеет вид: $q=A \cdot L$, где $A$ — производительность труда одного работника, $L$ — количество работников.

Владелец этого предприятия Грима Гнилоуст может нанять любое количество работников. Более того, работники согласятся работать у него за любую положительную ставку заработной платы, которую он сам назначит, так как живут они бедно и рады любой возможности заработать. Гриму не волнуют проблемы работников, он просто стремится максимизировать свою прибыль. Однако он заметил, что производительность труда работников положительно зависит от величины выплачиваемой им заработной платы: если работникам платить больше, то они лучше питаются, лучше одеваются, лучше заботятся о своем здоровье и в результате лучше работают. Эта зависимость может быть представлена формулой:
\[
A =
\begin{cases}
1-10/w, & \text{если } w>10,\\
0, & \text{если } w\le 10,
\end{cases}
\]
где $w$ — заработная плата одного работника (в роханских марках).
$а)$ Сколько работников наймет Грима и какую зарплату установит для каждого из них?
$б)$ Представим, что война, которая последние годы бушевала в окрестностях Рохана, наконец закончилась. Поэтому торговые партнеры Рохана меньше заинтересованы в закупках вооружений и могут позволить себе покупать больше серебра, из-за чего спрос на продукцию «Роханского серебра» существенно вырос. Как это скажется на заработной плате каждого из работников?}

Решение

(а) Будем рассматривать случай, когда $w>10,$ так как, если заработная плата равна 10 маркам или ниже, то производительность труда каждого работника и, следовательно, выпуск фирмы будут равны нулю.
В этом случае $A=1-10/w$ и, следовательно, $w=10/(1-A).$
Запишем прибыль фирмы следующим образом:
$$PR=TR-TC=(200-0,5q)*q-AC*q$$
$AC$ — средние издержки фирмы, которые в нашем случае не зависят от объема выпуска:
$$AC=TC/q=wL/q=wL/AL=w*1/A=10/(1-A)*1/A=10/(A-A^2 ).$$
Прибыль фирмы отрицательно зависит отAC, следовательно, фирма будет выбирать такое значение $A$, при котором величина $AC$ минимальна. Для этого нужно, чтобы стоящее в знаменателе выражение $A-A^2$ было максимально. Это парабола с ветвями направленными вверх, поэтому ее максимум будет достигаться в вершине: $A=0,5.$ Следовательно, минимальное значение $AC=40$ и достигается при $w=10/(1-A)=20.$
Таким образом, функция прибыли фирмы имеет вид:
$$PR=(200-0,5q)*q-40*q=160q-〖0,5q〗^2$$
Это парабола, ветви которой направлены вниз, следовательно, максимум прибыли достигается в ее вершине, то есть при q=160.
Осталось выяснить количество нанимаемых работников:
$q=A*L => 160=0,5*L => L=320$
(б) Заметим, что в начале решения этой задачи, выбирая оптимальную заработную плату, мы никак не использовали информацию о спросе. Таким образом, изменение спроса не повлияет на заработную плату (хотя и может повлиять на количество нанимаемых фирмой работников).

2. Самокатный сговор

На рынке самокатов работает единственная фирма Альфа с функцией издержек $TC_\alpha (q_\alpha )=1{,}5q_\alpha^2$, обратная функция спроса на самокаты имеет вид $P(Q)=20-0{,}5Q$. В результате появления новой технологии изготовления самокатов на рынок этого товара готова выйти фирма Вега, владеющая патентом на новую технологию. Функция издержек компании Вега имеет вид $TC_\beta (q_\beta)=6q_\beta$. Компания Альфа находится в хороших отношениях с местными чиновниками, поэтому вход на рынок самокатов для фирмы Вега закрыт. Вега предложила компании Альфа сделку, при которой обе компании совместно принимают решение о рыночной цене товара, максимизируя совокупную прибыль, при этом каждой компании достается ровно половина этой прибыли. Согласится ли Альфа на сделку с компанией Вега?
Решение

Фирма Альфа согласится на сделку, только прибыль Альфы составляет $Π_A=17,5*5-1,5*25=50.$
Найдем совокупную прибыль компаний, если сделка будет совершена. Для этого решим задачу
$Π(Q_A+Q_B )=(20-1/2 (Q_A+Q_B ))(Q_A+Q_B )-1,5Q_A^2-6Q_B→max$
Максимум совокупной прибыли будет достигнут в том случае, когда совокупные издержки компаний будут минимальны (иначе тот же объем продукции можно было бы выпустить с меньшими затратами, получив большую прибыль). При этом при положительных объемах производства товаров каждой фирмой, минимальные совокупные издержки могут быть достигнуты, только если $MC(Q ̃_A)=MC(Q ̃_B)$ (иначе можно выпустить последнюю произведенную единицу продукции в той компании, чьи предельные издержки при данном объеме выпуска меньше, сократив при этом совокупные расходы на производство объема $(Q ̃_A+Q ̃_B).$ Тогда
$MC(Q ̃_A)=3Q ̃_A=MC(Q ̃_B )=6$, откуда $Q ̃_A=2$. Т.е., при совокупном выпуске продукции в количестве более 2 единиц, предельные издержки компаний будут равны, если завод Альфа выпускает только 2 единицы продукции. Дальнейшее повышение объемов выпуска компанией Альфа приведет к тому, что ее предельные издержки возрастут, в то время, как предельные издержки компании Вега останутся неизменными и равными 6. Если же совокупный объем выпуска компаний менее 2 единиц продукции, то предельные издержки компании Альфа меньше, чем предельные издержки компании Вега, при любом распределении выпусков, что требует выпуска всего объема продаж (до 2 единиц) компанией Альфа для минимизации совокупных издержек.
Тогда функцию совокупных издержек можно представить в виде:
$\begin{equation*}
TC(Q) =
\begin{cases}
1,5Q^2, &\text{если $Q≤2$}\\
6+6(Q-2), &\text{если $Q>2$}
\end{cases}
\end{equation*}$
При этих издержках задача максимизация совокупной прибыли имеет вид:
$\begin{equation*}
\begin{cases}
(20-1/2 Q)Q-1,5Q^2→max, &\text{если $Q≤2$}\\
(20-1/2 Q)Q-6Q+6→max, &\text{если $Q>2$}
\end{cases}
\end{equation*}$
Для каждого интервала график максимизируемой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, что гарантирует нам достижение максимума в вершине параболы. Легко убедиться, что максимум прибыли достигается при $Q^*=14$, при этом $P^*=13$, откуда совокупная прибыль равна 13*14-6*14+6=104. В этом случае фирма Альфа получит 104/2=52 д.е. прибыли, что было бы больше, чем она получала до входа на рынок фирмы Вега.

3. Строительство заводов

В некоторой стране есть 100 единиц труда. Их можно направить на производство Икса или Игрека. Завод для производства Икса уже построен, и на нем для производства единицы Икса требуется одна единица труда. Завод для производства Игрека в стране пока отсутствует; строительство завода потребует дополнительных затрат труда.
а) Допустим, существует три технологии производства Игрека. Данные о них приведены в таблице:

*

Технология Издержки на строительство завода Затраты труда на единицу Игрека
1 10 ед. труда 2
2 25 ед. труда 1
3 40 ед. труда 0,5

Страна может построить любое целое количество заводов любого типа (лишь бы хватило труда). Постройте КПВ страны. Объясните свое решение и укажите координаты точек излома КПВ.
б) Допустим, существует множество технологий производства Игрека. Чтобы добиться затрат труда на единицу Игрека в размере $l$ ($l\in[1/4;4]$), нужно построить завод стоимостью $10-\sqrt{l}$ единиц труда. Как и прежде, страна может построить любое целое количество заводов любого типа (лишь бы хватило труда). Определите уравнение КПВ страны и постройте ее график.

Решение

Общие для обоих пунктов соображения:
0) Допустим, страна хочет произвести единиц Икса. Вторая координата на КПВ в точке X показывает максимально возможное производство Игрека при условии, что производится X единиц Икса. Таким образом, чтобы найти КПВ, нам нужно решить следующую задачу: при каждом значении X понять, сколько и каких заводов нужно построить стране, и как распределить между ними производство Игрека, так чтобы суммарное производство Игрека было максимальным.
1) Заметим, что при любом X страна не будет строить больше одного завода по производству Игрека. Предположим противное – построено несколько заводов и на них в сумме произведен некий объем Y Игрека. Обозначим за $c_{min}$ минимальные удельные затраты труда на один Игрек среди построенных заводов. Тогда если бы страна построила всего один завод с удельными затратами $c_{min}$ , и произвела на нем объем Y Игрека, то затраты труда как на производство Игрека, так и на строительство заводов были бы меньше. Высвободившийся труд можно направить на производство дополнительных единиц Игрека, а значит, изначальное решение не было оптимальным. Противоречие.
2) Таким образом, задача сводится к тому, чтобы при каждом понять, (единственный) завод какого типа нужно строить стране, чтобы максимизировать производство Игрека.
а) Зафиксируем X. После производства Икса у страны остается в распоряжении 100-X единиц труда. Если построить завод с первой технологией, то страна сможет произвести $\frac{100-X-10}{2}=45-X/2$ единиц Игрека. Если построить завод со второй технологией, то страна сможет произвести $\frac{100-X-25}{1}=75-X$ единиц Игрека. Если построить завод с третьей технологией, то страна сможет произвести $\frac{100-X-40}{1/2}=120-2X$ единиц Игрека.
То, какой завод строить, определяется просто тем, какое из чисел $45-X/2$, $75-X$, $120-2X$ больше при данном .
Проще всего это сделать, построив графики этих трех прямых. Искомой КПВ будет ломаная линия, являющаяся «верхней огибающей» трех этих графиков. Проведя такой анализ, видим, что при $X \leqslant 45 $ надо строить завод с третьей технологией, при $45 \leqslant X \leqslant 60 $- завод со второй технологией, а при $60 \leqslant X \leqslant 90 $ - завод с первой технологией. При у страны нет достаточного количества ресурсов для постройки заводов), и максимальное производство Игрека будет равняться нулю.
Таким образом, уравнение КПВ имеет вид

$\begin{equation*}
Y =
\begin{cases}
120-2X, &\text{если X<45}\\
75 - X, &\text{если $45 \leqslant X \leqslant 60$}\\
45 - X/2, &\text{если $60 < X \leqslant 90$}\\
0, &\text{если $90 < X \leqslant 100$}
\end{cases}
\end{equation*}$

Ее график – это ломаная с точками излома (45, 30), (60,15), (90,0).
1.png
б) Если страна тратит $(10-√l)$ единиц труда на постройку завода, то для производства Y единиц продукции Игрек потребуется $lY$ рабочей силы. Значит, общая рабочая сила раскладывается на слагаемые, задействованные в разных видах деятельности, следующим образом:
$(10-\sqrt{l})+X+lY=100$. Отсюда $Y=(90+\sqrt{l}-X)/l=(90-X)/l+\frac{1}{\sqrt{l}}$.
1) Заметим, что при $X≤90$ эта функция убывает по $l$, то есть если мы хотим произвести меньше 90 единиц Х, то нужно выбирать минимально возможный $l=1/4$. КПВ тогда будет иметь уравнение $Y=362-4X$.
2) Функцию Y можно записать как $Y=(90-X) t^2+t$, где $t=\frac{1}{\sqrt{l}}$. Если $X>90$, то это парабола с ветвями вниз относительно $t$, вершина которой достигается при $t=1/(2X-180)$. Согласно условию задачи, $t$ должно попасть в отрезок [1/2; 2], что эквивалентно попаданию X в отрезок [90,25; 91]. Получаем, что на данном участке уравнение КПВ имеет вид $Y=1/(4X-360)$.
3) Что происходит при X∈(90;90,25)? Парабола, описанная выше, достигает своей вершины вне этих множеств, значит, нужно выбрать ближайшую к вершине точку, то есть $l=1/4$. При этом соответствующий участок КПВ будет описываться уравнением $Y=362-4X$.
4) Что если X∈(91;100]? Во-первых, заметим, что если страна произведет $X>92$, то не сможет построить ни одного завода, так как $10-\sqrt{l}$∈[8;9,5] — на строительство завода нужно не меньше 8 единиц труда. Значит, для производства ненулевого Y нужно произвести не больше 92 единиц X. Осталось рассмотреть X∈(91;92]. При таких значениях X парабола, описанная выше, достигает своей вершины вне допустимого множества, значит, нужно выбрать ближайшую к вершине точку, то есть $l=4$. При этом соответствующий участок КПВ будет описываться уравнением $Y=23-X/4$.
В итоге имеем уравнение КПВ:
$\begin{equation*}
Y =
\begin{cases}
362-4X, &\text{если X<90,25}\\
\frac{1}{4X-360}, &\text{если $90,25 \leqslant X \leqslant 91$}\\
23 - X/4, &\text{если $60 < X \leqslant 90$}\\
0, &\text{если $X>92$}
\end{cases}
\end{equation*}$

График выглядит следующим образом:

2.jpg

В месте вхождения КПВ в ось X линия выглядит так крупным планом:

3.jpg

4. Валютные риски

Хоккейный клуб «Ледовая лига» из страны X после продолжительных переговоров с хоккейным клубом страны Y подписал договор на приобретение услуг хоккеиста Сидни Виннера. Сидни Виннер считается самым перспективным игроком в мировом хоккее, поэтому отступная сумма за него составляет 30 млн долларов. У «Ледовой лиги» есть необходимая сумма, но, чтобы не оставаться без средств на текущие траты, команде удалось убедить клуб из страны Y разделить оплату на два транша: 15 млн долларов сейчас (в момент времени $t=0$) и 15 млн долларов через год (в момент $t=1$).

Валютой страны X является ␢, ставка процента по депозитам в ␢ составляет 25 % годовых, текущий обменный курс равен 1,2 доллара за ␢ (\$/␢). Оплатив первый транш, «Ледовая лига» рассматривает различные варианты перевода своих средств в доллары для осуществления второго платежа. Менеджеры «Ледовой лиги» получили секретную информацию, что за год ␢ существенно подешевеет из-за вводимых против страны X международных санкций. Они решили действовать с расчетом на этот сценарий, поэтому хотят застраховать валютные риски команды и заключить контракт, согласно которому доллары будут куплены в момент $t=1$, но цена покупки будет установлена в момент $t=0$. На рынке есть следующие предложения таких контрактов:

    $A.$ Forex-опцион, который дает право купить 15 млн \$ в момент $t=1$ по курсу, действующему в момент заключения контракта. Стоимость контракта, которую нужно оплатить сразу (в $t=0$), составляет 0,01 ␢ за каждый купленный по контракту доллар.
    $B.$ Фьючерсный контракт, по которому покупатель должен купить, а продавец должен продать через год сумму 15 млн \$ по курсу 1,25 \$/␢ (оплачивается в момент $t = 1$). Стоимость такого контракта составляет 1 млн ␢, который должен быть погашен сразу.

$а)$ Какой из этих контрактов вы посоветуете заключить фирме для минимизации приведенных текущих затрат?
$б)$ Олигарх из страны X является большим поклонником «Ледовой лиги». Узнав о готовящейся сделке, он предложил немедленно оплатить все затраты, связанные с заключением контракта $A$ или $B$ (по выбору клуба), которые команда понесет непосредственно в момент $t=0$. В качестве небольшой ответной услуги олигарх требует бесплатно предоставить ему и его друзьям 20 мест на VIP-трибуне в течение всего сезона. Годовые абонементы на эти места обычно продаются в начале сезона ($t=0$) и стоят по $P$ ␢ каждый. При каких значениях $P$ «Ледовой лиге» стоит согласиться на предложение олигарха?

Решение

а) Посчитаем, чему равны приведенные текущие затраты при заключении каждого контракта.
Контракт A.
Сразу нужно заплатить 0,01×15000=150тыс. ␢ , еще через год нужно заплатить 15000/1,2=12500тыс. ␢ . Учитывая ставку процента, можно посчитать приведенную стоимость:
$$PV_A=150+12500/1,25=10150 тыс. ␢ .$$
Контракт B.
Сразу нужно заплатить 1000тыс. ␢ , еще через год нужно заплатить 15000/1,25=12000тыс. ␢ . Учитывая ставку процента, можно посчитать приведенную стоимость:
$$ PV_B=1000+12000/1,25=10600 тыс. ␢ .$$
Получаем, что контракт А более выгоден.
б) Посчитаем текущую приведенную стоимость затрат по контрактам, если текущие расходы оплачивать не нужно:
$$PV_A=12500/1,25=10050 тыс. ␢ .$$

$$PV_B=12000/1,25=9600 тыс. ␢ .$$
Получается, что теперь контракт B более выгоден, причем экономия по сравнению с отсутствием олигарха составляет 10150-9600=550 тыс. ␢ . Чтобы предложение олигарха было выгодно, эта экономия должна быть не меньше, чем альтернативные издержки, которые нужно понести, предоставив олигарху абонементы, то есть:
$$550≥20×P$$
$$P≤27,5тыс. ␢ .$$

5. Монетарная политика

Меры кредитно-денежной политики (КДП) могут воздействовать на реальный выпуск, уровень занятости и уровень цен. Однако центральный банк не оказывает прямого влияния на поведение фирм и населения: сначала меры КДП воздействуют на поведение финансовых посредников, которые совершают операции на денежном, валютном и фондовом рынках, а затем изменения на финансовых рынках воздействуют на поведение фирм и населения. Выделяют несколько основных каналов воздействия КДП на поведение экономических агентов: изменение процентной ставки, изменение валютного курса, широкий канал банковского кредитования, изменение инфляционных ожиданий и другие. Характер и сила влияния кредитно-денежной политики на макроэкономические показатели зависит от многих условий.

Иногда изменение ставки рефинансирования (учетной ставки) не влияет или почти не влияет на макроэкономические показатели. Используя логические цепочки, объясните, почему это может быть так, используя приведённые ниже характеристики, от которых зависит действенность канала процентной ставки:
а) чувствительность и нечувствительность инвестиций к ставке процента (укажите, что может влиять на эту характеристику);
б) чувствительность и нечувствительность потребительских расходов к ставке процента (укажите, что может влиять на эту характеристику);
в) доля процентных расходов фирм в общих издержках (укажите, от чего в экономике может зависеть эта характеристика);
г) банковская система страны (размер банков, уровень доходности активов банков, распространённость различных видов кредитных договоров и т.-д.).

Решение

а) Чувствительность и нечувствительность инвестиций к ставке процента (укажите, что может влиять на чувствительность инвестиций)
Ответ:

Цепочка: $i↓⟹i↓≈r↓+π^e⟹I^D↑⟹AD↑⟹Y↑,P↑$
Чем менее чувствительны инвестиции к ставке процента, тем меньше будет изменяться величина инвестиционного спроса при изменении ставки процента. При снижении ставки процента на один процентный пункт $ΔI1<ΔI2$
Что влияет на чувствительность инвестиций к ставке процента?
Уровень конкуренции на отечественном рынке: если производители обладают монопольной силой, то рост затрат они могут перекладывать на плечи потребителя, не изменяя нормы прибыли. Если же степень конкуренции высокая, то рост затрат отчасти ложится на плечи производителя, так как он боится потерять свою долю рынка. Степень неравенства доступа на рынок заёмных средств, лёгкость получения кредита в банке, условия кредитования (плавающая ставка или фиксированная, наличие альтернативных источников финансирования помимо банковских кредитов), параметры финансового рынка, уровень определённости, ожидаемая доходность инвестиционного проекта и другие факторы.
б) Чувствительность и нечувствительность потребительских расходов к ставке процента (укажите, что может влиять на чувствительность потребительских расходов)
Цепочка: $i↓⟹i↓≈r↓+π^e⟹C^D↑,C^D↓⟹AD↑,↓⟹Y↑,↓P↑,↓$
Чем меньше чувствительность потребительских расходов к ставке процента, тем меньше будет изменяться потребительский спрос при изменении ставки процента. При снижении ставки процента на один процентный пункт $ΔC1<ΔC2$
Что влияет на чувствительность потребительских расходов к ставке процента?
Влияние процентной ставки является неоднозначным и зависит от поведения домашних хозяйств: предпочитают ли они сберегать или занимать на рынке финансовых ресурсов. Изменение совокупных потребительских расходов будет зависеть от соотношения заёмщиков и кредиторов в стране. Ограничения по заимствованию, условия кредитования (плавающая или фиксированная ставка), недоверие населения к банковской системе. ЦБ влияет на краткосрочные ставки процента, а многие решения о расходах (покупка оборудования, покупка дома, квартиры и т.д.) более чувствительны к долгосрочным процентным ставкам, которые определяются инфляционными ожиданиями и реальной ставкой процента, и текущая КДП может не оказать влияние на макропоказатели.
в) Доля процентных расходов фирм в общих издержках (укажите от чего в экономике может зависеть доля процентных расходов фирм в общих издержках)
Цепочка:$i↓⟹MC↓⟹AS↑⟹Y↑,P↓$
Влияние ставки процента на выпуск тем сильнее, чем больше доля затрат фирм на выплату процентов.
От чего зависит доля процентных расходов фирм в общих издержках?
Предприятия отраслей производства товаров длительного пользования и строительства часто используют внешние источники финансирования. Поэтому эти виды деятельности более чувствительны к ставке процента. Чем большая доля ВВП приходится на такие отрасли, тем более действенным является канал процентной ставки.
Уровень конкуренции на отечественном рынке: если производители обладают монопольной силой, то рост затрат они могут перекладывать на плечи потребителя, не изменяя нормы прибыли.
г) Банковская система страны (размер банков, уровень доходности активов банков, распространённость различных видов кредитных договоров и т.д.)
Изменение ЦБ ставки рефинансирования приводит к изменению рыночных краткосрочных ставок процента. Изменение этих процентных ставок влияет на стоимость кредитных и капитальных ресурсов.
Избыточная ликвидность, степень неравенства доступа на рынок заёмных средств, недостаточная развитость финансового рынка, прозрачность и понятность формирования процентных ставок, много банков, которые имеют много «плохих кредитов»
Небольшие банки покрывают нехватку ликвидности за счёт займов на рынке межбанковского кредитования и большую часть пассивов используют для кредитования, поэтому они в большей степени подвержены влиянию КДП.

6. Задача про такси

В некоторых городах рынок такси подвергается жесткому регулированию: власти ограничивают количество выдаваемых лицензий и фиксируют тарифы. Компании и частные водители, не получившие специальную лицензию, в зависимости от города либо вообще не могут оказывать услуги такси, либо могут работать только по вызову, а не «подбирать» людей на улицах. Конкуренцию традиционным такси, работающим через диспетчера, составляют такие сервисы, как Uber.com или Яндекс.Такси, которые позволяют клиентам найти ближайший автомобиль с помощью геолокационного приложения на смартфоне.

а) Почему государство вмешивается в рынок такси, а не дает цене и объему продаж определяться взаимодействием спроса и предложения? Назовите не более двух причин, которые кажутся вам самыми важными.

б) Там, где тарифы не регулируются, наблюдается следующая закономерность: в крупных мегаполисах цена поездки, как правило, определяется показателями счетчика (которые зависят от расстояния и времени, проведенного в пути), а в небольших городах диспетчер или водитель такси часто готов назвать цену поездки сразу в момент заказа. Чем объясняется эта разница? Приведите самую важную, на ваш взгляд, причину.

в) Сервис Uber.com, позволяющий найти друг друга водителям и пассажирам и берущий в виде комиссии 20 % стоимости поездки, придерживается политики surge pricing — динамического ценообразования, в ходе которого цены повышаются в периоды высокого спроса, стимулируя большее число водителей выйти на работу. Из-за этой политики в предпраздничные дни, во время снегопада или поломки метро цены могут быть в 7-8 раз выше обычных, что нередко вызывает критику в адрес компании и обвинения в завышении цен и вымогательстве. Всё это ухудшает репутацию компании, в конечном счете снижая долгосрочный спрос на ее услуги. Предложите политику ценообразования, которая помогла бы справиться с этими репутационными потерями, не уменьшив при этом доступность такси в периоды повышенного спроса. Объясните, с какими выгодами и издержками будет связана такая политика.

Решение

а) Возможные варианты:

  1. Если бы конкуренция на рынке такси была свободной, то недобросовестные водители, экономящие, например, на безопасности пассажира, могли бы выиграть в ней, поскольку качество ненаблюдаемо сразу при заказе машины или остановке ее на улице. Недобросовестные водители предлагали бы цену ниже, а, поскольку недобросовестных и добросовестных клиенту отличить сложно, на рынке остались бы только недобросовестные.
  2. Если разрешить водителям и компаниям назначать цены самим, то получившийся рынок не будет рынком совершенной конкуренции: когда потребитель «ловит» машину на улице, он не может сопоставить ее цену с теми, которые могли бы предложить другие водители, не находившиеся в тот момент поблизости, и выбрать минимальную. Таксисты, таким образом, могли бы пользоваться монопольным положением и завышать цены, производя общественно неоптимальное количество поездок.
  3. Когда таксист подвозит пассажира, плохо знакомого с городом, у него возникает стимул использовать неоптимальный маршрут, чтобы сумма на счетчике оказалась больше. Этот стимул возникает только в том случае, если он не уверен, что сможет быстро найти следующего клиента. Квотирование количества автомобилей, которые могут подбирать людей на улицах, отчасти решает эту проблему: таксист может быть уверен, что, довезя клиента быстро, он, скорее всего, сразу же получит новый заказ.

б) Время, которое займет поездка, и расстояние, которое нужно будет преодолеть, в маленьких городах более предсказуемо, чем в больших, где средняя скорость передвижения по улицам зависит от пробок, которые часто непредсказуемы. Поэтому издержки, которые компания такси или сам водитель понесут, оказывая услугу, более четко определены в маленьких городах, что позволяет однозначно определять цену поездки сразу.

в) Будучи посредником между покупателями и продавцами, компания как бы взимает адвалорный «налог» в размере 20%. Если бы ставка этого «налога» снижалась с ценой поездки (то есть он был бы регрессивным), то повышение цен для покупателей было бы менее значительным в пиковые периоды. Более того, в периоды повышенного спроса компания могла бы выдавать «субсидию», покрывающую разницу между ценами спроса и предложения, которая стимулировала бы водителей выехать на работу, даже если оплата для покупателей не повышается. В эти моменты компания несла бы убытки, но зато ее репутация была бы лучше, что повышало бы долгосрочный спрос во всех периодах.
Иногда компании розничной торговли снижают цены на некоторые виды продукцииниже издержек, чтобы покупатели пришли в магазин и купили не только эту продукцию, но и другую, что могло бы повысить общую прибыль. Эта политика, называемая loss leader, применима и для Uber.com: поездки в моменты пикового спроса вполне могли бы играть роль таких «лидеров».