10 класс

1. Товар Х

Спрос на товар Х и его предложение заданы, соответственно, уравнениямиܳ $Q=400-4P$ и $Q=4P-80$, где $Q$ - количество единиц товара (в штуках), ܲ$P$ - цена одной единицы товара (в рублях). Правительство вводит потоварный налог с производителей в виде фиксированной суммы за каждую проданную единицу продукции, причем размер налога выбирается таким образом, чтобы поступления в государственный бюджет в результате его введения были максимальными. Определите равновесную цену, которую придется платить потребителям за каждую единицу товара после введения этого налога.
Решение

Функция предложения с учетом налога имеет вид: $Q=4(P-t)-80$ (1 балл)

Обратные функции спроса и предложения можно записать следующим образом:
$$\begin{array}{l} P=100-0,25Q \\ P=20+0,25Q+t \end{array}$$
Приравняв их друг к другу, находим равновесное количество товара, как функцию от ставки налога: $Q^*=160-2t$ (3 балла)

Суммарные поступления в государственный бюджет равны: $tQ=160t-2t^2$. (1 балл)

Это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, в точке вершины этой параболы поступления в государственный бюджет максимальны. (1 балл за это рассуждение. Если точка ищется с использованием производной, то также должно быть показано, что это точка максимума).

Найдя вершину, получаем: $t^*=40$ (1 балл)

Теперь можно получить соответствующее равновесное количество: $Q^*=160-2t^*=80$
После этого получаем искомую равновесную цену: $P^*=100-0,25\cdot 80$ (3 балла)

2. Безработица

В некоторой экономике численность экономически активного населения неизменна и равна 10 000 человек. Каждый месяц $1\%$ занятых теряет работу и $49\%$ безработных её находят. Известно, что в январе уровень безработицы в данной экономике составил $18\%$. Определите, сколько безработных будет в этой экономике через два месяца?
Решение

Обозначим $U_t$ - число безработных в месяце $t$.
Тогда число занятых равно $(10000-U_t) \textbf{ (1 балл)}$

В этом случае можно записать следующее соотношение:
\[\begin{align} U_{t+1} &=U_t+\text{Потерявшие работу}-\text{Нашедшие работу}\\
U_{t+1} & = U_t+0,01\cdot (10000-U_t)-0,49U_t\\
U_{t+1} &= 100+0,5U_t\end{align}\]
(В решении участника олимпиады это соотношение могло быть задано не в общем виде, а для конкретного месяца и не для числа безработных, а для уровней безработицы. Такие варианты, разумеется, тоже засчитывались. Однако в том или ином виде оно нужно для решения задачи, и его наличие оценивалось в 3 балла).

Таким образом, мы выяснили, как связано число безработных в два соседних месяца. Отметим, что в январе безработных было $U_1=10000\cdot0,18=1800$. Используя наше соотношение, легко найти количество безработных в следующем месяце (феврале): $$U_2=100+0,5U_1=100+0,5\cdot1800=1000 \textbf{ (3 балла)}$$
Аналогично найдём число безработных в марте: $$U_3=100+0,5U_2=100+0,5\cdot1000=600 \textbf{ (3 балла)}$$

3. Монополия

Фирма-монополист имеет функцию предельных издержек ܶ$MC=q^2-8q+19$. Её предельный доход задан уравнением $MR=10-2q$, где $q$ – количество единиц товара (в тоннах), $P$ – цена одной тонны товара (в рублях). Определите объём выпуска монополиста, при котором его прибыль будет максимальной.
Решение

Предельный доход равен предельным издержкам в точке: $q=3$ (2 балла).

Во всех остальных точках предельный доход меньше предельных издержек (4 балла, этот факт может быть показан путем решения соответствующего неравенства ИЛИ путем аккуратного изображения графиков $MR \text{ и } MC$ на одном рисунке).

Следовательно, прибыль фирмы убывает (не возрастает в точке $q=3$) с увеличением объёма выпуска. Поэтому наилучшим решением для фирмы будет нулевой объём выпуска. (4 балла)

4. "Сигма" и лицензия

Фирма «Сигма» производит некоторый товар и продает его на рынке совершенной конкуренции. Общие издержки производства товара имеют вид : $TC=\dfrac{q^2}{200}+8$, где $TC$ - общие издержки фирмы (д.е.), $q$ – объём выпуска фирмы (тонны). Кроме того, фирма должна платить за лицензию, лицензионный платеж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль. Определите минимальную цену единицы продукции фирмы, при которой её оптимальный выпуск будет положительным.
Решение

У фирмы есть возможность выбрать нулевой выпуск или положительный.
В первом случае она получит прибыль равную $PR(0)=-8$ (1 балл)
Во втором случае её прибыль составит: ܲ$PR=P\cdot Q-\dfrac{q^2}{200}-8-50$ (1 балл)

Относительно объёма выпуска это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, вершина этой параболы будет соответствовать максимальной прибыли.
Найдем её: ܳ$Q^*=100P$. Прибыль при данном объёме выпуска составит: $$\begin{array}{l} PR(Q^*)=P\cdot 100P-\dfrac{(100P)^2}{200}-8-50 \\ PR(Q^*)=50P^2-8-50 & \textbf{ (2 балла)}\end{array}$$

Ясно, что фирма согласится выбирать положительный объём выпуска только в том случае, если прибыль от этого варианта не меньше, чем от нулевого. Иными словами, только в том случае, если: $PR(Q^*) \geq PR(0)$ (3 балла за идею сравнения прибылей)
$$\begin{array}{l} 50P^2-8-50 \geq -8 \\ P \geq 1 & \textbf{ (3 балла)}\end{array}$$

11 класс

1. Товар Х

Спрос на товар Х и его предложение заданы, соответственно, уравнениямиܳ $Q=400-4P$ и $Q=4P-80$, где $Q$ - количество единиц товара (в штуках), ܲ$P$ - цена одной единицы товара (в рублях). Правительство вводит потоварный налог с производителей в виде фиксированной суммы за каждую проданную единицу продукции, причем размер налога выбирается таким образом, чтобы поступления в государственный бюджет в результате его введения были максимальными. Определите равновесную цену, которую придется платить потребителям за каждую единицу товара после введения этого налога.
Решение

Функция предложения с учетом налога имеет вид: $Q=4(P-t)-80$ (1 балл)

Обратные функции спроса и предложения можно записать следующим образом:
$$\begin{array}{l} P=100-0,25Q \\ P=20+0,25Q+t \end{array}$$
Приравняв их друг к другу, находим равновесное количество товара, как функцию от ставки налога: $Q^*=160-2t$ (3 балла)

Суммарные поступления в государственный бюджет равны: $tQ=160t-2t^2$. (1 балл)

Это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, в точке вершины этой параболы поступления в государственный бюджет максимальны. (1 балл за это рассуждение. Если точка ищется с использованием производной, то также должно быть показано, что это точка максимума).

Найдя вершину, получаем: $t^*=40$ (1 балл)

Теперь можно получить соответствующее равновесное количество: $Q^*=160-2t^*=80$
После этого получаем искомую равновесную цену: $P^*=100-0,25\cdot 80$ (3 балла)

2. Безработица

В некоторой экономике численность экономически активного населения неизменна и равна 10 000 человек. Каждый месяц $1\%$ занятых теряет работу и $49\%$ безработных её находят. Известно, что в январе уровень безработицы в данной экономике составил $18\%$. Определите, сколько безработных будет в этой экономике через два месяца?
Решение

Обозначим $U_t$ - число безработных в месяце $t$.
Тогда число занятых равно $(10000-U_t) \textbf{ (1 балл)}$

В этом случае можно записать следующее соотношение:
\[\begin{align} U_{t+1} &=U_t+\text{Потерявшие работу}-\text{Нашедшие работу}\\
U_{t+1} & = U_t+0,01\cdot (10000-U_t)-0,49U_t\\
U_{t+1} &= 100+0,5U_t\end{align}\]
(В решении участника олимпиады это соотношение могло быть задано не в общем виде, а для конкретного месяца и не для числа безработных, а для уровней безработицы. Такие варианты, разумеется, тоже засчитывались. Однако в том или ином виде оно нужно для решения задачи, и его наличие оценивалось в 3 балла).

Таким образом, мы выяснили, как связано число безработных в два соседних месяца. Отметим, что в январе безработных было $U_1=10000\cdot0,18=1800$. Используя наше соотношение, легко найти количество безработных в следующем месяце (феврале): $$U_2=100+0,5U_1=100+0,5\cdot1800=1000 \textbf{ (3 балла)}$$
Аналогично найдём число безработных в марте: $$U_3=100+0,5U_2=100+0,5\cdot1000=600 \textbf{ (3 балла)}$$

3. Монополия 2

Фирма-монополист имеет функцию общих издержек ܶ$TC=\dfrac{q^3}{3}-4q^2+19q+5$. Спрос на её продукцию задан уравнением $q=10-P$, где $q$ – количество единиц товара (в тоннах), $P$ – цена одной тонны товара (в рублях). Определите объём выпуска монополиста, при котором его прибыль будет максимальной.
Решение

Вариант решения №1
Функция прибыли имеет вид: $PR=(10-q)\cdot q-\left( \dfrac{q^3}{3}-4q^2+19q+5\right). \textbf{ (1 балл)}$
Производная прибыли равна: $PR'=10-2q-q^2+8q-19=-(q-3)^2. \textbf{ (3 балла)}$

Видно, что производная отрицательная во всех точках, кроме точки $q=3$, где она равна нулю. (3 балла)
Следовательно, прибыль фирмы убывает (не возрастает в точке $q=3$) с увеличением объёма выпуска. Поэтому наилучшим решением для фирмы будет нулевой объём выпуска. (3 балла)

Вариант решения №2
Предельный доход фирмы равен: $MR=10-2q$ (1 балл).

Предельные издержки фирмы равны: $MC=q^2-8q+19$ (1 балл).

Предельный доход равен предельным издержкам в точке: $q=3$ (2 балла).

Во всех остальных точках предельный доход меньше предельных издержек (3 балла, этот факт может быть показан путем решения соответствующего неравенства ИЛИ путем аккуратного изображения графиков $MR \text{ и } MC$ на одном рисунке).

Следовательно, прибыль фирмы убывает (не возрастает в точке $q=3$) с увеличением объёма выпуска. Поэтому наилучшим решением для фирмы будет нулевой объём выпуска. (3 балла)

4. Лицензионная

Выпуск фирмы (Q) следующим образом зависит от количества используемого капитала (K) и труда (L): $Q=10K^{0,5}L^{0,5}$. Цена единицы капитала равна 2 д.е., цена единицы труда равна 2 д.е. В краткосрочном периоде запас капитала фиксирован и равен 4 единицам. Кроме оплаты капитала и труда фирма должна платить за лицензию, лицензионный платёж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль. Определите минимальную цену единицы продукции фирмы, при которой её выпуск в краткосрочном периоде будет положительным.
Решение

Подставим количество капитала, которое по условию задачи фиксировано: $Q=20L^{0,5}$

Выразим количество труда: $L=\dfrac{Q^2}{400}$

Так как цены ресурсов составляют по две денежные единицы за каждый, функция издержек фирмы (без учета лицензионного платежа) может быть записана так:
$$TC=2L+2K=2\cdot\frac{Q^2}{400}+2\cdot4=\frac{Q^2}{200}+8$$
Таким образом, мы получили уравнение для общих издержек фирмы (пока без учета лицензии). (1 балл)

У фирмы есть возможность выбрать нулевой выпуск или положительный.
В первом случае она получит прибыль равную $PR(0)=-8$ (1 балл)
Во втором случае её прибыль составит: ܲ$PR=P\cdot Q-\dfrac{q^2}{200}-8-50$ (1 балл)

Относительно объёма выпуска это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, вершина этой параболы будет соответствовать максимальной прибыли.
Найдем её: ܳ$Q^*=100P$. Прибыль при данном объёме выпуска составит: $$\begin{array}{l} PR(Q^*)=P\cdot 100P-\dfrac{(100P)^2}{200}-8-50 \\ PR(Q^*)=50P^2-8-50 & \textbf{ (2 балла)}\end{array}$$

Ясно, что фирма согласится выбирать положительный объём выпуска только в том случае, если прибыль от этого варианта не меньше, чем от нулевого. Иными словами, только в том случае, если: $PR(Q^*) \geq PR(0)$ (2 балла за идею сравнения прибылей)
$$\begin{array}{l} 50P^2-8-50 \geq -8 \\ P \geq 1 & \textbf{ (3 балла)}\end{array}$$

7-9 классы

1. Спрос и предложение

Спрос и предложение на рынке некоторого товара являются линейными. При цене 67 рублей за единицу товара на рынке продается положительное количество товара и наблюдается дефицит в размере 33 единиц товара. При цене 107 рублей за единицу товара на рынке продается положительное количество товара и наблюдается избыточное предложение в размере 11 единиц товара. Определите равновесную цену товара.
Решение

Задачу можно решить двумя способами – аналитически и геометрически. Геометрический способ короче, однако мы приведём здесь оба.

Способ 1 - аналитический

Спрос задаётся линейной функцией: $Q^d(p)=a-b\cdot p$, где $Q^d$ – величина спроса, $р$ – цена,$ a>0$ и $ b>0$ – некоторые параметры функции спроса.

Предложение задаётся линейной функцией: $Q^s(p)=c+d\cdot p$, где $Q^s$ – величина предложения, $р$ – цена, $c \text{ и } d>0$ – некоторые параметры функции предложения.

Ситуация дефицита возникает, если при заданной цене $Q^d > Q^s$. Так как при цене $р=67$ $Q>0$, то величина дефицита вычисляется по формуле:
$$Deficit(p)= Q^d(p) - Q^s(p)=a-b\cdot p-c-d\cdot p=(a-c)-(b+d)\cdot p$$
И при $р=67$:
$$Deficit(67)= Q^d(67) - Q^s(67)=a-b*\cdot 67-c-d \cdot 67=(a-c)-(b+d)\cdot 67=33 \textbf{ (1 балл)}$$
Ситуация излишка возникает, если при заданной цене $Q^s> Q^d$. Так как при цене $р=107$ $Q>0$, то величина излишка вычисляется по формуле:
$$Surplus(p)= Q^s(p) – Q^d(p)=c+d\cdot p-a+b\cdot p=-(a-c)+(b+d)\cdot p$$
И при $р=107$:
$$Surplus(107)= Q^s(107) – Q^d(107)=c+d\cdot 67-a+b\cdot 67=-(a-c)+(b+d) \cdot 107=11 \textbf{ (1 балл)}$$
Произведём замену переменных: $(a-c)=x, (b+d)=y $
Тогда получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$$\begin{cases} x-67y=33 \\ -x+107y=11\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y=1,1 \\ x=106,7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b+d=1,1 \\ a-c=106,7\end{cases} \textbf{ (4 балла)}$$
При равновесной цене $(p^e)$ $Q^d=Q^s$, поэтому нет ни излишка, ни дефицита. Таким образом, в точке $p^e$ значения этих функций равны нулю:

$106,7 – 1,1\cdot p^e=0$ (1 балл)
$p^e=\dfrac{106,7}{1,1}=97$ (3 балла)

Способ 2 - геометрический


При решении данным способом обязательно наличие графика.
В данном случае отрезок AB отображает величину дефицита при цене 67 и его длина равна 33. Отрезок DE отображает величину излишка при цене 107, и его длина равна 11 (график, на котором указаны все нужные параметры, оценивался в 4 балла).

Треугольники ABC и DEC являются подобными. (1 балл)
Это означает, что коэффициент подобия треугольников равен соотношению подобных сторон, а именно: $k=\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{33}{11}=3$ (1 балл)

Это означает, что высоты CM и CN данных треугольников соотносятся также как 3:1.

Длина отрезка MN равна $107–67=40$. Обозначим длину отрезка CN за $z$. Тогда получаем следующее уравнение:
$$\begin{array}{l}3z+z=40 \\ z=10 & \textbf{(1 балл)} \end{array}$$
Получаем, что равновесная цена равна $107-10=97$ рублей. (3 балла)

2. Товар Х

Спрос на товар Х и его предложение заданы, соответственно, уравнениямиܳ $Q=400-4P$ и $Q=4P-80$, где $Q$ - количество единиц товара (в штуках), ܲ$P$ - цена одной единицы товара (в рублях). Правительство вводит потоварный налог с производителей в виде фиксированной суммы за каждую проданную единицу продукции, причем размер налога выбирается таким образом, чтобы поступления в государственный бюджет в результате его введения были максимальными. Определите равновесную цену, которую придется платить потребителям за каждую единицу товара после введения этого налога.
Решение

Функция предложения с учетом налога имеет вид: $Q=4(P-t)-80$ (1 балл)

Обратные функции спроса и предложения можно записать следующим образом:
$$\begin{array}{l} P=100-0,25Q \\ P=20+0,25Q+t \end{array}$$
Приравняв их друг к другу, находим равновесное количество товара, как функцию от ставки налога: $Q^*=160-2t$ (3 балла)

Суммарные поступления в государственный бюджет равны: $tQ=160t-2t^2$. (1 балл)

Это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, в точке вершины этой параболы поступления в государственный бюджет максимальны. (1 балл за это рассуждение. Если точка ищется с использованием производной, то также должно быть показано, что это точка максимума).

Найдя вершину, получаем: $t^*=40$ (1 балл)

Теперь можно получить соответствующее равновесное количество: $Q^*=160-2t^*=80$
После этого получаем искомую равновесную цену: $P^*=100-0,25\cdot 80$ (3 балла)

3. Монополия

Фирма-монополист имеет функцию предельных издержек ܶ$MC=q^2-8q+19$. Её предельный доход задан уравнением $MR=10-2q$, где $q$ – количество единиц товара (в тоннах), $P$ – цена одной тонны товара (в рублях). Определите объём выпуска монополиста, при котором его прибыль будет максимальной.
Решение

Предельный доход равен предельным издержкам в точке: $q=3$ (2 балла).

Во всех остальных точках предельный доход меньше предельных издержек (4 балла, этот факт может быть показан путем решения соответствующего неравенства ИЛИ путем аккуратного изображения графиков $MR \text{ и } MC$ на одном рисунке).

Следовательно, прибыль фирмы убывает (не возрастает в точке $q=3$) с увеличением объёма выпуска. Поэтому наилучшим решением для фирмы будет нулевой объём выпуска. (4 балла)

4. "Сигма" и лицензия

Фирма «Сигма» производит некоторый товар и продает его на рынке совершенной конкуренции. Общие издержки производства товара имеют вид : $TC=\dfrac{q^2}{200}+8$, где $TC$ - общие издержки фирмы (д.е.), $q$ – объём выпуска фирмы (тонны). Кроме того, фирма должна платить за лицензию, лицензионный платеж равен 50 д.е. и не зависит от объёма выпуска фирмы (но если фирма ничего не выпускает, то и лицензию оплачивать не нужно). Фирма стремится получить наибольшую прибыль. Определите минимальную цену единицы продукции фирмы, при которой её оптимальный выпуск будет положительным.
Решение

У фирмы есть возможность выбрать нулевой выпуск или положительный.
В первом случае она получит прибыль равную $PR(0)=-8$ (1 балл)
Во втором случае её прибыль составит: ܲ$PR=P\cdot Q-\dfrac{q^2}{200}-8-50$ (1 балл)

Относительно объёма выпуска это парабола с ветвями, направленными вниз, следовательно, вершина этой параболы будет соответствовать максимальной прибыли.
Найдем её: ܳ$Q^*=100P$. Прибыль при данном объёме выпуска составит: $$\begin{array}{l} PR(Q^*)=P\cdot 100P-\dfrac{(100P)^2}{200}-8-50 \\ PR(Q^*)=50P^2-8-50 & \textbf{ (2 балла)}\end{array}$$

Ясно, что фирма согласится выбирать положительный объём выпуска только в том случае, если прибыль от этого варианта не меньше, чем от нулевого. Иными словами, только в том случае, если: $PR(Q^*) \geq PR(0)$ (3 балла за идею сравнения прибылей)
$$\begin{array}{l} 50P^2-8-50 \geq -8 \\ P \geq 1 & \textbf{ (3 балла)}\end{array}$$