Человек ходит в магазин несколько раз в день. Во время первого похода в магазин его спрос описывается функцией: $Q_d=100*(1-0.1P)$. Продавец может установить ему любую цену и человек купит количество товара согласно своей функции спроса. Во время второго похода в магазина его функция спрос будет иметь вид: $Q_d=(100-Q_1)(1-0.1P)$, где $Q_1$ - количество товара, купленное в первый поход. Функция спроса имеет такой вид, так как фактически максимальное количество товара сократилось на количество товара, которое уже есть у человека. Продавец снова устанавливает цену (возможно отличающуюся от первой) и человек покупает товар в соответствии с новой функцией спроса. Получаем, что в $i$-ый поход спрос будет описываться функцией: $(100-\sum_{j=1}^{i-1}Q_j)(1-0.1P)$.
Предположим, что у продавца есть на складе количество товара, большее 100.
1)Какую цену установит продавец в последний период?
2)Предположим, что человек ходит в магазин 3 раза. Какие цены необходимо установить продавцу?
3)Предположим, что человек ходит в магазин $n$ раз. Какие цены необходимо устанавливать продавцу?
Предположим, что у продавца теперь нет ничего на складе. Предположим, что он может закупать товар по цене 2.
4)Предположим, что человек ходит в магазин 3 раза. Какие цены необходимо установить продавцу?
5)Предположим, что человек ходит в магазин $n$ раз. Какие цены необходимо устанавливать продавцу?
Предположим, что продавец также является производителем товара. Издержки на производства товара описываются функцией $TC=Q^2$.
6)Предположим, что человек ходит в магазин 3 раза. Какие цены необходимо установить продавцу?
7)Предположим, что человек ходит в магазин $n$ раз. Какие цены необходимо устанавливать продавцу?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
1) $P=5$
2) $P_{1}=\frac{445}{64}\approx \ 6,9; P_{2}=6,25; P_{3}=5$
3) $P_{n}=5; P_{i}=5+0,05P_{i+1}^{2}$
4)$P_{1}=7,312; P_{2}=6,8; P_{3}=6$
5) $P_{n}=5; P_{i}=5+0,05P_{i+1}^{2}$
6)$P_{1}\approx \ 9,837; P_{2}\approx \ 9,836; P_{3}\approx \ 9,835$
7) Насколько я понимаю, этот пункт решения не имеет.
Теперь, собственно, само решение:
1) Допустим, что за все периоды, кроме последнего было продано $Q*$ единиц товара. Тогда функция выручки за последний период имеет вид: $TR=(100-Q*)(1-0,1p)p$
$TR'=(100-10Q*)(1-0,2p)=0$
$p=5$ - независимо от того, сколько походов совершил покупатель до этого.
2) Для решения можно выписать функцию прибыли по трём переменным и максимизировать.
Но, решив пункт 3 можно сократить себе работу:)
3) Заметим, что независимо от n, цены в последний, предпоследний и так далее (т.e. $P_{n-i}=const$ при конкретном i для любого n). Докажем это методом математической индукции.
База индукции - в пункте 1.
Пусть утверждение верно для n периодов. Сделаем обозначения: $p_{1}, p_{2} ... p_{n}$ - цены для n периодов, которые обеспечивают максимальную прибыль, $\pi_{1}$ - максимальная прибыль, $q_{1}, q_{2} ... q_{n}$ - количество проданного товара в этот период.
Докажем утверждение для n+1 периодов. (Обозначения те же, но буквы заглавные)
Пусть в первом периоде мы назначили цену $P_{1}$. Тогда $Q_{1}=100-10P_{1}$;
$Q_{2}=(100-Q_{1})(1-0,1P_{2})=\frac{100-Q_{1}}{100}q_{1}$
$Q_{3}=(100-Q_{1}-Q_{2})(1-0,1P_{3})=(100-Q_{1}-\frac{100-Q_{1}}{100}q_{1}})(1-0,1P_{3})=\frac{100-Q_{1}}{100}q_{2}$
Рассуждая аналогично:
$Q_{n+1}=\frac{100-Q_{1}}{100}q_{n}$
Выпишем функцию прибыли для n+1 периода:
$\pi_{2}= \sum_{i=1}^{n+1}P_{i}Q_{i}=100P_{1}-10P_{1}^2+ \sum_{i=2}^{n+1}P_{i}\frac{100-Q_{1}}{100}q_{i}=100P_{1}-10P_{1}^2+ \frac{100-Q_{1}}{100}\sum_{i=2}^{n+1}P_{i}q_{i}=100P_{1}-10P_{1}^2+ \frac{100-Q_{1}}{100}*\pi_{1}=100P_{1}-10P_{1}^2+\frac{P_{1}}{10}*\pi_{1}$ - очевидно, что чем больше $\pi_{1}$, тем больше и максимальное значение $\pi_{2}$. А максимальное значение $\pi_{1}$ принимается как раз при $p_{1}, p_{2} ... p_{n}$, поэтому можно утверждать, что $P_{2}=p_{1}; P{3}=p_{2} ...P{n+1}=p_{n}$, т.е. $P{i+1}=p{i}$ для любого i, что и требовалось доказать.
При этом функция $\pi_{2}=100P_{1}-10P_{1}^2+\frac{P_{1}}{10}*\pi_{1}$ имеет максимум при $P_{1}= \frac{100+0,1pi_{1}}{20}$. Из этого следует, что $\pi_{1}=200P_{1}-1000$.
Функцию $\pi_{1}$ можно представить в виде $\pi_{1}=(100+0,1\pi_{3})P_{2}-10P_{2}^2$, максимум которой достигается также при $\pi_{3}=200P_{2}-1000$. Значит, $\pi_{1}=(100+0,1(200P_{2}-1000))P_{2}-10P_{2}^2=10P_{2}^2$. Подставляем это в выражение для $P_{1}$:
$P_{1}= \frac{100+0,1pi_{1}}{20}=P_{1}= \frac{100+P_{2}^2}{20}$
Именно таким образом зависит цены в двух идущих друг за другом периодах.
Поэтому ответ можно дать в виде: $P_{n}=5; P_{i}=5+0,05P_{i+1}^{2}$
4) Аналогично 2.
5) Пункт решается так же, как и 3. Интересно, что от появления издержек меняется только цена в последнем периоде, а зависимость между ценами в двух соседних периодах остаётся такой же)
6) Приходится оптимизировать по 3м переменным. Выводить функцию прибыли, считать частные производные, приравнивать их к нулю, доказывать, что это действительно максимум функции. Числа получаются не очень приятные, лично я для расчёта пользовался MS Excel.